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- 2021-06-10 发布
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核心素养测评二十一 三角函数的图象与性质
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数y=tan 3x的定义域为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由3x≠+kπ(k∈Z)得x≠+,k∈Z.
2. (2019·连云港模拟)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选B.因为f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x=1-2sin2x+6sin x
=-2+,又sin x∈[-1,1],所以当sin x=1时,f(x)取得最大值5.
3.已知函数f(x)=2sinx+θ+θ∈是偶函数,则θ的值为( )
- 14 -
A. B. C. D.
【解析】选B.因为f(x)为偶函数,
所以θ+=kπ+(k∈Z),
又θ∈,所以θ+=,
解得θ=,经检验符合题意.
4.设函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)在x=时取得最大值,则函数g(x)=cos(2x+φ)的图象 ( )
A.关于点对称 B.关于点对称
C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称
【解析】选A.因为x=时,f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)取最大值,所以φ=,
即g(x)=cos,对称中心,对称轴x=-.
5.(多选)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),(ω>0,0<φ<π),f=,f=0且f(x)在(0,π)上单调.下列说法正确的是 ( )
A.ω=
- 14 -
B.f=
C.函数f(x)在上单调递增
D.函数y=f(x)的图象关于点对称
【解析】选AC.由题意得函数f(x)的最小正周期为T=,
因为f(x)在(0,π)上单调,
所以=≥π,解得0<ω≤1.
因为f=,f=0,
所以解得
所以f(x)=2sin.
对于选项A,显然正确.对于选项B,
f=2sin=2sin =,故B不正确.
对于选项C,当-π≤x≤-时,0≤x+≤,
- 14 -
所以函数f(x)在上单调递增,故C正确.
对于选项D,f=2sin=
2sin≠0,所以点不是函数f(x)图象的对称中心,故D不正确.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知函数f(x)=(1+cos 2x)sin 2x(x∈R),则f(x)的最小正周期为________;当x∈时,f(x)的最小值为________.
【解析】因为f(x)=(1+cos 2x)sin 2x=(1+cos 2x)·
==-=-cos 4x,所以f(x)的最小正周期为T==;因为
x∈,所以4x∈[0,π],所以cos 4x∈[-1,1],因此,f(x)=-cos 4
x∈.
即f(x)的最小值为0.
答案: 0
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7.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)在区间上的值域为________.
【解析】由已知得g(x)=sin 2
=sin,
因为0≤x≤,所以0≤2x≤π,
所以-≤2x-≤,所以-≤
sin≤1.g(x)的值域为.
答案:
8.(2018·北京高考)设函数f(x)=cosωx-(ω>0),若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________.
【解析】由已知,当x=时,f(x)取得最大值,
由三角函数图象与性质,ω-=0+2kπ(k∈Z),
即ω=+8k(k∈Z),
- 14 -
又ω>0,所以当k=0时,ω有最小值为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·北京模拟)已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x+(x∈R).
(1)求f(x)的周期及单调增区间.
(2)若x∈时,求f(x)的最大值与最小值.
【解析】(1)f(x)=sin 2x-cos 2x=sin,
所以f(x)的周期T=π,
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z得
单调递增区间为,k∈Z.
(2)0≤x≤⇒-≤2x-≤,
所以当x=0时,f(x)min=-;
当x=时,f(x)max=1.
10.(2019·厦门模拟)已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)的图象与x轴的两个相邻交点是A(0,0),B(6,0),C是函数f(x)图象的一个最高点.a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,满足(a+c)(sin C-sin A)=(a+b)sin B.
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(1)求函数f(x)的解析式.
(2)将函数f(x)的图象向左平移1个单位后,纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
【解析】(1)由题意得sin φ=0,所以φ=0,=6,
所以ω===,
由正弦定理得(c+a)(c-a)=(a+b)b,
整理得=-,即cos C=-,
又C∈(0,π),所以C=.
在△ABC中,易知AC=BC,所以A=,
取AB的中点D易得CD=,即M=,
所以f(x)=sinx.
(2)函数f(x)图象向左平移1个单位,得f(x+1)=sin,纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍,得g(x)=sin,
由2kπ+≤+≤2kπ+(k∈Z),
- 14 -
解得4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z).所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(15分钟 35分)
1.(5分)(2019·广东六校联考)已知A是函数f(x)=sin+cos的最大值,若存在实数x1,x2使得对任意实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.f(x)=sin+
cos=sin 2 018x+cos 2 018x+cos 2 018x+sin 2 018x
=sin 2 018x+cos 2 018x=2sin,所以A=f(x)max=2,f(x)的最小正周期T==.
又存在实数x1,x2使得对任意实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,所以f(x2)=f(x)max,
f(x1)=f(x)min,
所以A|x1-x2|的最小值为A×T=.
- 14 -
2.(5分)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且满足f(-x)=-f(x),则函数f(x)的单调递增区间为________.
【解析】因为f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)
=2sin的最小正周期为π,且满足f(-x)=-f(x),所以ω=2,φ=-,
所以f(x)=2sin 2x,
令2x∈(k∈Z),解得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
答案:(k∈Z)
3.(5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则φ=________.
【解析】由f(x)的最小正周期大于2π,得>.
又f=2,f=0,得=-=,
所以T=3π,则=3π⇒ω=,
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所以f(x)=2sin(ωx+φ)=2sin.
由f=2sin=2
⇒sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z.又|φ|<,取k=0,得φ=.
答案:
4.(10分)已知函数f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx-(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递减区间.
(2)若f(x)>,求x的取值集合.
【解析】(1)f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx-=(1+cos 2ωx)+sin 2ωx-=cos 2ωx+sin 2ωx=sin.因为周期为=π,所以ω=1,所以f(x)=sin.由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,
k∈Z,所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(2)f(x)>,即sin>,由正弦函数的性质得+2kπ<2x+<+2kπ,
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k∈Z,解得-+kπ-,
若x∈,则2x∈,
2x-∈,
①若2m-<即m<,
则f(x)在[-,m]上的最大值小于,不合题意.
- 14 -
②若2m-≥即m≥,
当2x-=即x=时,f(x)在[-,m]上取得最大值,符合题意,综上,m的最小值为.
方法二:
显然m>-,因为f(x)在[-,m]上的最大值为,
所以y=sin(2x-)在[-,m]上的最大值为1,
又因为当且仅当2x-=+2kπ,即x=+kπ(k∈Z)时,y=sin(2x-)=1.
所以[-,m]∩{x|x=+kπ(k∈Z)}≠,
令+kπ≥-(k∈Z)得k≥-,即k=0,1,2,…所以x=+0×π=∈[-,m],即m≥,所以m的最小值为.
1.函数y=|tan x|的单调递增区间为________,单调递减区间为________.
【解析】作出函数y=|tan x|的图象,如图.
观察图象可知,函数y=|tan x|的单调递增区间为,k∈Z;单调递减区间为,k∈Z.
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答案:,k∈Z ,k∈Z
2. (2019·无锡模拟)已知函数f(x)=sin(2x+θ)-cos(2x+θ)(-π<θ<0)的图象关于点对称,记f(x)在区间上的最大值为n,且f(x)在[mπ,nπ](m