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  • 2021-06-10 发布

高中数学:2_4《等比数列》测试(新人教A版必修5)

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基础过关 第3课时 等比数列 ‎1.等比数列的定义:=q(q为不等于零的常数).‎ ‎2.等比数列的通项公式:‎ ‎⑴ an=a1qn-1 ⑵ an=amqn-m ‎ ‎3.等比数列的前n项和公式:‎ ‎ Sn= ‎ ‎4.等比中项:如果a,b,c成等比数列,那么b叫做a与c的等比中项,即b2= (或b= ).‎ ‎5.等比数列{an}的几个重要性质:‎ ‎⑴ m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,则 .‎ ‎⑵ Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成 数列.‎ ‎⑶ 若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列,则{an}的公比q= .‎ 典型例题 例1. 已知等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求项数n和公比q的值.‎ 解:∵{an}是等比数列, ‎ ‎∴a1·an=a2·an-1,‎ ‎∴,解得或 若a1=2,an=64,则2·qn-1=64‎ ‎∴qn=32q 由Sn=,‎ 解得q=2,于是n=6‎ 若a1=64,an=2,则64·qn-1=2‎ ‎∴qn=‎ 由Sn=‎ 解得q=,n=6‎ 变式训练1.已知等比数列{an}中,a1·a9=64,a3+a7=20,则a11= .‎ 解:64或1 ‎ ‎ 由 或 ∴ q2=或q2=2,∴ a11=a7 q2,∴ a11=64或a11=1‎ 例2. 设等比数列{an}的公比为q(q>0),它的前n项和为40,前2n项和为3280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项.‎ 解:若q=1,则na1=40,2na1=3280矛盾,∴ q≠1.∴ ‎ 两式相除得:qn=81,q=1+‎2a1‎ 又∵q>0,∴ q>1,a1>0‎ ‎∴ {an}是递增数列.‎ ‎∴ an=27=a1qn-1=‎ 解得 a1=1,q=3,n=4 ‎ 变式训练2.已知等比数列{an}前n项和Sn=2n-1,{an2}前n项和为Tn,求Tn的表达式.‎ 解:(1) ∵a1+‎2a22=0,∴公比q=‎ 又∵S4-S2=,‎ 将q=-代入上式得a1=1,‎ ‎∴an=a1qn-1=(-) n-1 (n∈N*)‎ ‎(2) an≥(-) n-1≥()4 ‎ n≤5‎ ‎∴原不等式的解为n=1或n=3或n=5.‎ 例3. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.‎ 解:设这四个数为a-d,a,a+d, ‎ 依题意有: ‎ 解得: 或 ‎ ‎∴ 这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.‎ 变式训练3.设是等差数列的前项和,,则等于( )‎ A. 15 B. ‎16 C. 17 D. 18‎ 答案: D。解析:由得,再由。 ‎ 例4. 已知函数f(x)=(x-1)2,数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1),若a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q-1),b3=f(q+1),‎ ‎(1) 求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2) 设数列{cn}对任意的自然数n均有:,求数列{cn}前n项和Sn.‎ 解:(1) a1=(d-2)2,a3=d2,a3-a1=2d 即d2-(d-2)2=2d,解之得d=2‎ ‎∴a1=0,an=2(n-1)‎ 又b1=(q-2)2,b3=q2,b3=b1q2‎ 即q2=(q-2)2 q2,解之得q=3‎ ‎∴b1=1,bn=3n-1‎ ‎(2) ‎ Sn=C1+C2+C3+…+Cn ‎=4(1×3°+2×31+3×32+…+n×3 n-1)‎ 设1×3°+2×3´+3×32+…+n×3 n-1‎ ‎31×31+2×32+3×33+…+n×3 n ‎-21+3+32+33+…+3 n-1-n×3 n=-3 n·n ‎∴Sn=2n·3n-3n+1‎ 变式训练4.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是 等比数列{bn}的第二项,第三项,第四项.‎ ‎⑴求数列{an}与{bn}的通项公式;‎ ‎⑵设数列{cn}对任意正整数n,均有,求c1+c2+c3+…+c2007的值.‎ 解:⑴由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0) 解得d=2,∴an=2n-1,bn=3n-1.‎ ‎ ⑵当n=1时,c1=3 当n≥2时,∵∴ 故 ‎ ‎ 归纳小结 ‎1.在等比数列的求和公式中,当公比q≠1时,适用公式Sn=,且要注意n表示项数;当q=1时,适用公式Sn=na1;若q的范围未确定时,应对q=1和q≠1讨论求和.‎ ‎2.在等比数列中,若公比q > 0且q≠1时,可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项.‎ ‎3.若有四个数构成的函数,前三个成等差数列,后三个成等比数列时,关键是如何巧妙地设这四个数,一般是设为x-d,x,x+d,再依题意列出方程求x、d即可.‎ ‎4.a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量.‎

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