高中数学：2_4《等比数列》测试（新人教A版必修5） 3页

基础过关 第3课时 等比数列 ‎1．等比数列的定义：＝q（q为不等于零的常数）．‎ ‎2．等比数列的通项公式：‎ ‎⑴ an＝a1qn－1 ⑵ an＝amqn－m ‎ ‎3．等比数列的前n项和公式：‎ ‎ Sn＝ ‎ ‎4．等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝ （或b＝ ）．‎ ‎5．等比数列{an}的几个重要性质：‎ ‎⑴ m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．‎ ‎⑵ Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列．‎ ‎⑶ 若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝ ．‎ 典型例题 例1. 已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．‎ 解：∵{an}是等比数列， ‎ ‎∴a1·an＝a2·an－1，‎ ‎∴，解得或 若a1＝2，an＝64，则2·qn－1＝64‎ ‎∴qn＝32q 由Sn＝，‎ 解得q＝2，于是n＝6‎ 若a1＝64，an＝2，则64·qn－1＝2‎ ‎∴qn＝‎ 由Sn＝‎ 解得q＝，n＝6‎ 变式训练1.已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝ ．‎ 解：64或1 ‎ ‎ 由 或 ∴ q2＝或q2＝2，∴ a11＝a7 q2，∴ a11＝64或a11＝1‎ 例2. 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项．‎ 解：若q＝1，则na1＝40，2na1＝3280矛盾，∴ q≠1．∴ ‎ 两式相除得：qn＝81，q＝1＋‎2a1‎ 又∵q>0，∴ q>1，a1>0‎ ‎∴ {an}是递增数列．‎ ‎∴ an＝27＝a1qn－1＝‎ 解得 a1＝1，q＝3，n＝4 ‎ 变式训练2.已知等比数列{an}前n项和Sn＝2n－1，{an2}前n项和为Tn，求Tn的表达式．‎ 解：(1) ∵a1＋‎2a22＝0，∴公比q＝‎ 又∵S4－S2＝，‎ 将q＝－代入上式得a1＝1，‎ ‎∴an＝a1qn－1＝(－) n－1 (n∈N*)‎ ‎(2) an≥(－) n－1≥()4 ‎ n≤5‎ ‎∴原不等式的解为n＝1或n＝3或n＝5．‎ 例3. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．‎ 解：设这四个数为a－d，a，a＋d， ‎ 依题意有： ‎ 解得： 或 ‎ ‎∴ 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．‎ 变式训练3.设是等差数列的前项和，，则等于（ ）‎ A. 15 B. ‎16 C. 17 D. 18‎ 答案： D。解析：由得，再由。 ‎ 例4. 已知函数f(x)＝(x－1)2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1)，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，b1＝f(q－1)，b3＝f(q＋1)，‎ ‎(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2) 设数列{cn}对任意的自然数n均有：，求数列{cn}前n项和Sn．‎ 解：(1) a1＝(d－2)2，a3＝d2，a3－a1＝2d 即d2－(d－2)2＝2d，解之得d＝2‎ ‎∴a1＝0，an＝2(n－1)‎ 又b1＝(q－2)2，b3＝q2，b3＝b1q2‎ 即q2＝(q－2)2 q2，解之得q＝3‎ ‎∴b1＝1，bn＝3n－1‎ ‎(2) ‎ Sn＝C1＋C2＋C3＋…＋Cn ‎＝4(1×3°＋2×31＋3×32＋…＋n×3 n－1)‎ 设1×3°＋2×3´＋3×32＋…＋n×3 n－1‎ ‎31×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3 n ‎－21＋3＋32＋33＋…＋3 n－1－n×3 n＝－3 n·n ‎∴Sn＝2n·3n－3n＋1‎ 变式训练4.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是 等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．‎ ‎⑴求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎⑵设数列{cn}对任意正整数n，均有，求c1＋c2＋c3＋…＋c2007的值．‎ 解：⑴由题意得（a1＋d）(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d>0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝3n－1．‎ ‎ ⑵当n＝1时，c1＝3 当n≥2时，∵∴ 故 ‎ ‎ 归纳小结 ‎1．在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，适用公式Sn＝，且要注意n表示项数；当q＝1时，适用公式Sn＝na1；若q的范围未确定时，应对q＝1和q≠1讨论求和．‎ ‎2．在等比数列中，若公比q > 0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．‎ ‎3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为x－d，x，x＋d，再依题意列出方程求x、d即可．‎ ‎4．a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量．‎