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- 2021-06-10 发布
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第四讲 指数与指数函数
1.下列说法正确的个数为( )
①nan=(na)n=a(n∈N*);
②分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘;
③函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数;
④若am0,且a≠1),则m0,a≠1)的定义域和值域都是[ - 1,0],则a+b= .
5.[2015福建,15,4分][文]若函数f (x)=2|x - a|(a∈R)满足f (1+x)=f (1 - x),且f (x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于 .
考法1 指数幂的运算
1计算:
(1)( - 338) - 23+(0.002) - 12 - 10×(5 - 2) - 1+(2-3)0;
(2)a3b23ab2(a14b12)4a - 13b13(a>0,b>0);
(3)若x12+x - 12=3,求x32+x - 32 - 3x2+x - 2 - 2的值.
(1)原式=( - 1) - 23×(338) - 23+(1500) - 12-105 - 2+1=(278) - 23+50012 - 10×(5+2)+1=49+105 - 105 - 20+1= - 1679.
(2)原式=(a3b2a13b23)12ab2a - 13b13=a32+16 - 1+13·b1+13 - 2 - 13=ab - 1.
(3)由x12+x - 12=3,两边平方,得x+x - 1=7,
∴x2+x - 2=47.∴x2+x - 2 - 2=45.
由(x12+x - 12)3=33,得x32+3x12+3x - 12+x - 32=27.
∴x32+x - 32=18,∴x32+x - 32 - 3=15.
∴x32+x - 32 - 3x2+x - 2 - 2=13.
考法2 指数函数的图象及应用
2(1)已知函数y=kx+a的图象如图2 - 4 - 1所示,则函数y=ax+k的图象可能是
图2 - 4 - 1
(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 .
(1)由y=kx+a的图象→确定k,a的取值范围→y=ax+k的图象
(2)函数y=2x+1的图象→作关于x轴对称的图形→|y|=2x+1即为上述曲线→观察与y=b相交情况→求b的取值范围
(1)由函数y=kx+a的图象可得k<0,0 - 1,所以 - 10且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是 .
考法3 指数函数的性质及应用
命题角度1 比较大小
3 [2016全国卷Ⅲ,7,5分][文]已知a=243,b=425,c=2513,则( )
A.b0时,10在x∈( - ∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围为 .
(1)因为f (x)=3x - (13)x,且定义域为R,所以f ( - x)=3 - x - (13) - x=(13)x - 3x= - [3x - (13)x]= - f (x),即函数f (x)是奇函数.
又y=3x在R上是增函数,y=(13)x在R上是减函数,所以f (x)=3x - (13)x在R上是增函数.故选A.
(2) 从已知不等式中分离出实数a,得a> - [(14)x+(12)x].
因为y=(14)x,y=(12)x均为减函数,
所以y= - [(14)x+(12)x]为增函数.
所以当x≤1时, - [(14)x+(12)x]≤ - 34.
所以实数a的取值范围为( - 34,+∞).
解后反思
解题中注意利用指数函数的单调性实现问题的转化.
3.[2019湖南五市十校联考]若f (x)=ex - ae - x为奇函数,则满足f (x - 1)>1e2 - e2的x的取值范围是( )
A.( - 2,+∞) B.( - 1,+∞)
C.(2,+∞) D.(3,+∞)
命题角度3 与指数函数有关的复合函数问题
5已知函数f (x)=(13)ax2 - 4x+3.
(1)若a= - 1,则f (x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ;
(2)若f (x)有最大值3,则a的值为 ;
(3)若f (x)的值域是(0,+∞),则a的值为 .
(1)当a= - 1时,f (x)=(13) - x2 - 4x+3,
令u= - x2 - 4x+3= - (x+2)2+7,
则该函数在( - ∞, - 2)上单调递增,在( - 2,+∞)上单调递减.而y=(13)u在R上单调递减,
所以函数f (x)在( - ∞, - 2)上单调递减,在( - 2,+∞)上单调递增,
即函数f (x)的单调递增区间是( - 2,+∞),单调递减区间是( - ∞, - 2).
(2)令h(x)=ax2 - 4x+3,则f (x)=(13)h(x),
因为f (x)有最大值3,所以h(x)有最小值 - 1,
因此必有a>0,12a - 164a= - 1,解得a=1,即当f (x)有最大值3时,a的值为1.
(3)令g(x)=ax2 - 4x+3,由f (x)的值域是(0,+∞)知,g(x)=ax2 - 4x+3的值域为R,则必有a=0.
4.[改编题]已知函数f (x)=2|2x - m| (m为常数).若f (x)在[2,+∞)上单调递增,则m
的取值范围是 .
易错 忽略对底数a的分类讨论而出错
6已知函数y=a2x+2ax - 1(a>0,且a≠1),当x≥0时,则函数的值域为 .
易忽略对底数a的分类讨论而出错.(1)当a>1时,如果x≥0,那么ax≥1;(2)当01时,∵x≥0,∴t≥1,∴当a>1时,y≥2.
当01时,函数的值域是[2,+∞);
当01和01时,函数f(x)在[ - 1,0]上单调递增,
由题意可得f( - 1)= - 1,f(0)=0,即a - 1+b= - 1,a0+b=0,显然无解.
所以a+b= - 32.
5.1 因为f(1+x)=f(1 - x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=1,所以函数f(x)=2|x - 1|的图象如图D 2 - 4 - 1所示,因为函数f(x)在[m,+∞)上单调递增,所以m≥1,所以实数m的最小值为1.
图D 2 - 4 - 1
1.(1)(0,1) 曲线y=|2x - 1|与直线y=b的图象如图D 2 - 4 - 2所示,由图象可得,如果曲线y=|2x - 1|与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).
图D 2 - 4 - 2
(2)( - ∞,0] 因为函数y=|2x - 1|的单调递减区间为( - ∞,0],所以k≤0,即k的取值范围为( - ∞,0].
(3)(0,12) y=|ax - 1|的图象是由y=ax先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的.
当a>1时,两图象只有一个交点,不合题意,如图D 2 - 4 - 3(1);当00时,11.因为当x>0时,bx1,可得ab>1,所以a>b.所以11e2 - e2=
f( - 2),所以x - 1> - 2,解得x> - 1,故选B.
4.( - ∞,4] 令t=|2x - m|,则t=|2x - m|在[m2,+∞)上单调递增,在( - ∞,m2]上单调递减.因为f(x)=2t在R上为增函数,所以若函数f(x)=2|2x - m|在[2,+∞)上单调递增,则m2≤2,即m≤4,所以m的取值范围是( - ∞,4].
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