【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-7离散型随机变量及其分布列学案 12页

‎§11.7　离散型随机变量及其分布列 考纲展示►　‎ ‎1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个离散型随机变量的分布列．‎ ‎2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．‎ 考点1　离散型随机变量的分布列的性质 ‎1.随机变量的有关概念 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序________，这样的随机变量叫做离散型随机变量．‎ 答案：一一列出 ‎2．离散型随机变量的分布列 ‎(1)概念 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2,3，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，如下表：‎ X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．‎ ‎(2)性质 ‎①pi________，i＝1,2,3，…，n；‎ ‎②i＝1.‎ 答案：(2)①≥0‎ ‎3．常见离散型随机变量的分布列 ‎(1)两点分布 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎________‎ p 若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为________．‎ ‎(2)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝________，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎______‎ ‎______‎ ‎…‎ ‎______‎ 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．‎ 答案：(1)1－p　成功概率 ‎(2)　　　 ‎(1)[教材习题改编]已知离散型随机变量ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ n P ‎…‎ 则k的值为________．‎ 答案：1‎ 解析：由＋＋…＋＝1，得k＝1.‎ ‎(2)[教材习题改编]设随机变量X等可能取1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________.‎ 答案：10‎ 解析：由题意知×3＝0.3，∴n＝10.‎ ‎[典题1]　设离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ m 求：(1)2X＋1的分布列；‎ ‎(2)|X－1|的分布列．‎ ‎[解]　由分布列的性质知，‎ ‎0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.‎ 首先列表为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2X＋1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎|X－1|‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 从而由上表得两个分布列为 ‎(1)2X＋1的分布列为 ‎2X＋1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎(2)|X－1|的分布列为 ‎|X－1|‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎[点石成金]　1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证各个概率值均为非负数．‎ ‎2．若X是随机变量，则η＝|X－1|等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列．‎ 考点2　离散型随机变量分布列的求法 离散型随机变量的分布列易错点：随机变量的取值不全；分布列的概率之和不为1.‎ 下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的是________．‎ 答案：③‎ 解析：利用离散型随机变量的分布列的性质可排除①，②，④.‎ 离散型随机变量的分布列：随机变量的取值；求概率；列表检验．‎ 某射手射击一次所得环数X的分布列如下：‎ X ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ 现该射手进行两次射击，以两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ，则ξ的分布列为________．‎ 答案：‎ ξ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.01‎ ‎0.24‎ ‎0.39‎ ‎0.36‎ 解析：ξ的可能取值为7,8,9,10.P(ξ＝7)＝0.12＝0.01，P(ξ＝8)＝2×0.1×0.4＋0.42＝0.24，‎ P(ξ＝9)＝2×0.1×0.3＋2×0.4×0.3＋0.32＝0.39，‎ P(ξ＝10)＝2×0.1×0.2＋2×0.4×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36，‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.01‎ ‎0.24‎ ‎0.39‎ ‎0.36‎ ‎[典题2]　某商店试销某种商品20天，获得如下数据：‎ 日销售量(件)‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．‎ ‎(1)求当天商店不进货的概率；‎ ‎(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．‎ ‎[解]　(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝＋＝.‎ ‎(2)由题意知，X的可能取值为2,3.‎ P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；‎ P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ P ‎[点石成金]　求离散型随机变量分布列的步骤 考点3　超几何分布 ‎ ‎ ‎[典题3]　为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．‎ ‎(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；‎ ‎(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列．‎ ‎[解]　(1)由已知得，‎ P(A)＝＝.‎ 所以事件A发生的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎[点石成金]　超几何分布的两个特点 ‎(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；‎ ‎(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.‎ ‎[2017·山东济南调研]PM2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．‎ 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：‎ PM2.5日均值(微克/立方米)‎ ‎[25，‎ ‎35]‎ ‎(35，‎ ‎45]‎ ‎(45，‎ ‎55]‎ ‎(55，‎ ‎65]‎ ‎(65，‎ ‎75]‎ ‎(75，‎ ‎85]‎ 频数 ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；‎ ‎(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．‎ 解：(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则 P(A)＝＝.‎ ‎(2)依据条件，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，‎ P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．‎ ‎∴P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝.‎ 因此ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎[方法技巧]　1.随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．‎ ‎2．分布列性质的两个作用 ‎(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．‎ ‎(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．‎ ‎3．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率．‎ ‎[易错防范]　掌握离散型随机变量的分布列的注意事项 ‎(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．‎ ‎(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？‎ 解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而 P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；‎ P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；‎ P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；‎ P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；‎ P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；‎ P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；‎ P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)由(1)知，P(X≤18)＝0.44，P(X≤19) ＝0.68，故n的最小值为19.‎ ‎(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．‎ 当n＝19时，‎ E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.‎ 当n＝20时，‎ E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04 ＝4 080.‎ 可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.‎ ‎2．[2016·山东卷]甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0分．‎ 已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：‎ ‎(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；‎ ‎(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．‎ 解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，‎ 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，‎ 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．‎ 由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC.‎ 由事件的独立性与互斥性，得 P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD) ＋P(ABD) ＋P(ABC)‎ ‎＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()‎ ‎＝×××＋2××××＋×××＝.‎ 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.‎ ‎(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.‎ 由事件的独立性与互斥性，得 P(X＝0)＝×××＝，‎ P(X＝1)＝2××××＋×××＝＝，‎ P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，‎ P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，‎ P(X＝4)＝2××××＋×××＝＝，‎ P(X＝6)＝×××＝＝.‎ 可得随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P 所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 离散型随机变量的分布列答题模板 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ ‎[典例]　已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．‎ ‎(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；‎ ‎(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．‎ ‎[解]　(1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率P1＝×＝.‎ ‎(2)由题意，X的可能取值为200,300,400.‎ 则P(X＝200)＝＝；‎ P(X＝300)＝＋＝；‎ P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝.‎ ‎∴X的分布列如下：‎ X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ P ‎[答题模板]　求离散型随机变量分布列及期望的一般步骤：‎ 第一步：找出随机变量X的所有可能取值；‎ 第二步：求出X取每一个值时的概率；‎ 第三步：列出分布列．‎ ‎(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．‎ ‎(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．‎ ‎(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.‎ 方法点睛