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  • 2021-06-10 发布

高中数学选修2-3教学课件数学归纳法证明不等式

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思考 1 思考 2 复习引入 练习答案 1. 验证第一个命题成立 ( 即 n = n 0 第一个命题对应的 n 的值,如 n 0 = 1) ( 归纳奠基) ; 2. 假设当 n = k 时命题成立,证明当 n = k + 1 时命题也成立 ( 归纳递推) . 数学归纳法 : 关于正整数 n 的命题 ( 相当于多米诺骨牌 ), 我们可以采用下面方法来证明其正确性: 由 (1) 、 (2) 知,对于一切 n ≥ n 0 的自然数 n 都成立! 用上假设,递推才真 注意 : 递推基础不可少 , 归纳假设要用到 , 结论写明莫忘掉 . 答案 证明贝努利不等式你有第二种方法吗? 例 4 、已知 x >  1 ,且 x  0 , n  N * , n ≥ 2 . 求证: (1+ x ) n >1+ nx. ( 2 )假设 n = k ( k ≥ 2) 时,不等式成立,即 (1+ x ) k >1+ kx 当 n = k +1 时,因为 x >  1 ,所以 1+ x >0 ,于是 左边 =(1+ x ) k +1 证明 :(1) 当 n =2 时,左= (1 + x ) 2 =1+2 x + x 2 ∵ x  0 ,∴ 1+2 x + x 2 >1+2 x = 右 ,∴ n =2 时不等式成立 =(1+ x ) k (1+ x )>(1+ x )(1+ kx )=1+( k +1) x + kx 2 ; 右边 =1+( k +1) x . 因为 kx 2 > 0 ,所以左边>右边,即 (1+ x ) k +1 >1+( k +1) x . 这就是说,原不等式当 n = k +1 时也成立. 根据 (1) 和 (2) ,原不等式对任何不小于 2 的自然数 n 都成立 . 1 答案 2 答案 你能根据上面不等式推出均值不等式吗? 1. 求证 : 证 :(1) 当 n =1 时 , 左边 = , 右边 = , 由于 故不等式成立 . (2) 假设 n = k ( ) 时命题成立 , 即 则当 n = k +1 时 , 即当 n = k +1 时 , 命题成立 . 由 (1) 、 (2) 原不等式对一切 都成立 . 1. 求证 :

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