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- 2021-06-10 发布
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思考
1
思考
2
复习引入
练习答案
1.
验证第一个命题成立
(
即
n
=
n
0
第一个命题对应的
n
的值,如
n
0
=
1)
(
归纳奠基)
;
2.
假设当
n
=
k
时命题成立,证明当
n
=
k
+
1
时命题也成立
(
归纳递推)
.
数学归纳法
:
关于正整数
n
的命题
(
相当于多米诺骨牌
),
我们可以采用下面方法来证明其正确性:
由
(1)
、
(2)
知,对于一切
n
≥
n
0
的自然数
n
都成立!
用上假设,递推才真
注意
:
递推基础不可少
,
归纳假设要用到
,
结论写明莫忘掉
.
答案
证明贝努利不等式你有第二种方法吗?
例
4
、已知
x
>
1
,且
x
0
,
n
N
*
,
n
≥
2
.
求证:
(1+
x
)
n
>1+
nx.
(
2
)假设
n
=
k
(
k
≥
2)
时,不等式成立,即
(1+
x
)
k
>1+
kx
当
n
=
k
+1
时,因为
x
>
1
,所以
1+
x
>0
,于是
左边
=(1+
x
)
k
+1
证明
:(1)
当
n
=2
时,左=
(1
+
x
)
2
=1+2
x
+
x
2
∵
x
0
,∴
1+2
x
+
x
2
>1+2
x
=
右
,∴
n
=2
时不等式成立
=(1+
x
)
k
(1+
x
)>(1+
x
)(1+
kx
)=1+(
k
+1)
x
+
kx
2
;
右边
=1+(
k
+1)
x
.
因为
kx
2
>
0
,所以左边>右边,即
(1+
x
)
k
+1
>1+(
k
+1)
x
.
这就是说,原不等式当
n
=
k
+1
时也成立.
根据
(1)
和
(2)
,原不等式对任何不小于
2
的自然数
n
都成立
.
1
答案
2
答案
你能根据上面不等式推出均值不等式吗?
1.
求证
:
证
:(1)
当
n
=1
时
,
左边
= ,
右边
= ,
由于
故不等式成立
.
(2)
假设
n
=
k
( )
时命题成立
,
即
则当
n
=
k
+1
时
,
即当
n
=
k
+1
时
,
命题成立
.
由
(1)
、
(2)
原不等式对一切 都成立
.
1.
求证
: