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  • 2021-06-10 发布

数学卷·2018届江西省宜春市樟树中学高二下学期第一次月考数学试卷(理科) (解析版)

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‎2016-2017学年江西省宜春市樟树中学高二(下)第一次月考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知R是实数集,M={x|<1},N={y|y=+1},N∩∁RM=(  )‎ A.(1,2) B.[0,2] C.∅ D.[1,2]‎ ‎2.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立. 现已知当n=7时该命题不成立,那么可推得(  )‎ A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立 C.当n=8时该命题不成立 D.当n=8时该命题成立 ‎3.设,是向量,则“||=||”是“|+|=|﹣|”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知a,b,c是互不相等的非零实数,若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+c=0至少有一个方程有两个相异实根,反证假设应为(  )‎ A.三个方程中至多有一个方程有两个相异实根 B.三个方程都有两个相异实根 C.三个方程都没有两个相异实根 D.三个方程都没有实根 ‎5.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行,若数列{}的前n项和为Sn,则S2014的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎?‎ ‎54‎ 由上表求得回归方程=9.4x+9.1,当广告费用为3万元时,销售额为(  )‎ A.39万元 B.38万元 C.38.5万元 D.39.373万元 ‎7.长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,B1C、C1D与底面ABCD所成的角分别为45°、60°,则长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的体积为(  )‎ A.π B.π C.π D.π ‎8.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为(  )‎ A.4 B.3 C.2﹣2 D.2‎ ‎9.已知函数f(x)=x2sinx+2xcosx,x∈(﹣2π,2π),则其导函数f′(x)的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.在闭区间[﹣4,6]上随机取出﹣个数x,执行如右图所示的程序框图,则输出的x不小于39的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.下列命题中,正确命题的个数是(  )‎ ‎①命题“∃x∈R,使得x3+1<0”的否定是““∀x∈R,都有x3+1>0”.‎ ‎②双曲线﹣=1(a>0,a>0)中,F为右焦点,A为左顶点,点B(0,b)且=0,则此双曲线的离心率为.‎ ‎③在△ABC中,若角A、B、C的对边为a、b、c,若cos2B+cosB+cos(A﹣C)=1,则a、c、b成等比数列.‎ ‎④已知,是夹角为120°的单位向量,则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=.‎ A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ‎12.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,四个顶点构成的四边形的面积为12,直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M(﹣2,1),则直线l的斜率为(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎ ‎ 二.填空题(本大题共有4个小题,每题5分,共20分)‎ ‎13.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=  .‎ ‎14.若a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则a2+b2=c2,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体O﹣ABC中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,S为顶点O所对面的面积,S1,S2,S3分别为侧面△OAB,△OAC,△OBC的面积,则S,S1,S2,S3满足的关系式为  .‎ ‎15.设M是,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积,‎ 的最小值是  .‎ ‎16.已知函数f(x)=,若方程f(x)+k=0有三个不同的解a,b,c,且a<b<c,则ab+c的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.[])‎ ‎17.设p:实数x满足(x﹣a)(x﹣3a)<0,其中a>0.q:实数x满足.‎ ‎(1)若a=1且p∧q为真,求实数x的取值范围;‎ ‎(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.‎ ‎18.某学校高三年级800名学生在一次百米测试中,成绩全部在12秒到17秒之间,抽取其中50个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[12,13),第二组[13,14),…,第五组[16,17],如图是根据上述分组得到的频率分布直方图.‎ ‎(1)若成绩小于13秒被认为优秀,求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数;‎ ‎(2)请估计本年级800名学生中,成绩属于第三组的人数;‎ ‎(3)若样本中第一组只有一名女生,第五组只有一名男生,现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组,求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率.‎ ‎19.已知向量,向量 ‎,函数.‎ ‎(1)求f(x)的解析式及单调增区间;‎ ‎(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=2,c=4,且f(A)恰是f(x)在上的最大值,求A,b和△ABC的面积S.‎ ‎20.对于数列{an}、{bn},Sn为数列{an}的前n项和,且Sn+1﹣(n+1)=Sn+an+n,a1=b1=1,bn+1=3bn+2,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;‎ ‎(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎21.在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,腰长为2,D、E分别是边AB、BC的中点,将△BDE沿DE翻折,得到四棱锥B﹣ADEC,且F为棱BC中点,BA=.‎ ‎(1)求证:EF⊥平面BAC;‎ ‎(2)在线段AD上是否存在一点Q,使得AF∥平面BEQ?若存在,求二面角Q﹣BE﹣A的余弦值,若不存在,请说明理由.‎ ‎22.已知圆M:(x+1)2+y2=,圆N:(x﹣1)2+y2=,动圆D与圆M外切并与圆N内切,圆心D的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程;‎ ‎(2)若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点,直线y=x为C的一条渐近线.‎ ‎①求双曲线C的方程;‎ ‎②过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合),当,且λ1+λ2=﹣时,求Q点的坐标.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年江西省宜春市樟树中学高二(下)第一次月考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知R是实数集,M={x|<1},N={y|y=+1},N∩∁RM=(  )‎ A.(1,2) B.[0,2] C.∅ D.[1,2]‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算.‎ ‎【分析】先化简两个集合M、N到最简形式求出M,N,依照补集的定义求出CRM,再按照交集的定义求出N∩CRM.‎ ‎【解答】解:∵M={x|<1}={x|x<0,或x>2},N={y|y=+1}={y|y≥1 },‎ CRM={x|0≤x≤2},‎ 故有 N∩CRM={y|y≥1 }∩{x|0≤x≤2}‎ ‎=[1,+∞)∩[0,2]‎ ‎=[1,2],‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎2.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立. 现已知当n=7时该命题不成立,那么可推得(  )‎ A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立 C.当n=8时该命题不成立 D.当n=8时该命题成立 ‎【考点】数学归纳法.‎ ‎【分析】本题考查的知识点是数学归纳法,由归纳法的性质,我们由P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,由此类推,对n>k的任意整数均成立,结合逆否命题同真同假的原理,当P(n)对n=k不成立时,则它对n=k﹣1也不成立,由此类推,对n<k的任意正整数均不成立,由此不难得到答案.‎ ‎【解答】解:由题意可知,原命题成立则逆否命题成立,‎ P(n)对n=7不成立,P(n)对n=6也不成立,‎ 否则n=6时,由由已知推得n=7也成立.‎ 与当n=7时该命题不成立矛盾 故选A.‎ ‎ ‎ ‎3.设,是向量,则“||=||”是“|+|=|﹣|”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】充要条件;向量的模.‎ ‎【分析】根据向量模相等的几何意义,结合充要条件的定义,可得答案.‎ ‎【解答】解:若“||=||”,则以,为邻边的平行四边形是菱形;‎ 若“|+|=|﹣|”,则以,为邻边的平行四边形是矩形;‎ 故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.已知a,b,c是互不相等的非零实数,若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+c=0至少有一个方程有两个相异实根,反证假设应为(  )‎ A.三个方程中至多有一个方程有两个相异实根 B.三个方程都有两个相异实根 C.三个方程都没有两个相异实根 D.三个方程都没有实根 ‎【考点】反证法与放缩法.‎ ‎【分析】用反证法证明某个命题成立时,应假设命题的反面成立,即假设命题的否定成立,写出题中命题的否定.‎ ‎【解答】解:用反证法证明某个命题成立时,应假设命题的反面成立,即假设命题的否定成立.‎ 命题“三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+‎ b=0至少有一个方程有两个相异实根”的否定为:‎ ‎“三个方程都没有两个相异实根”,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行,若数列{}的前n项和为Sn,则S2014的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】利用导数的几何意义赇 出f(x)=x2+x,从而得到an===,由此利用裂项求和法能求出S2014.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=x2+bx,∴f′(x)=2x+b ‎∵直线3x﹣y+2=0的斜率为k=3,‎ 函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行,‎ ‎∴f′(1)=2+b=3,解得b=1,‎ ‎∴f(x)=x2+x,‎ ‎∴an===,‎ ‎∴Sn=(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)=1﹣=,‎ ‎∴S2014=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎?‎ ‎54‎ 由上表求得回归方程=9.4x+9.1,当广告费用为3万元时,销售额为(  )‎ A.39万元 B.38万元 C.38.5万元 D.39.373万元 ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】‎ 算出x的平均数,y的平均数,利用线性回归方程,得到自变量为3时的预报出结果.‎ ‎【解答】解:设当广告费用为3万元时,销售额为m,‎ 由题意, ==3.5, =,‎ 代入=9.4x+9.1,可得=9.4×3.5+9.1,‎ ‎∴m=39.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,B1C、C1D与底面ABCD所成的角分别为45°、60°,则长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的体积为(  )‎ A.π B.π C.π D.π ‎【考点】球的体积和表面积.‎ ‎【分析】先求出BC=DC=,再由长方体的对角线公式,算出长方体对角线AC1的长,从而得到长方体外接球的直径,结合球的体积公式即可得到,该球的体积.‎ ‎【解答】解:∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,B1C、C1D与底面ABCD所成的角分别为45°、60°,‎ ‎∴BC=DC=,‎ ‎∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上,‎ ‎∴球的一条直径为,可得半径R=,‎ 因此,该长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的体积为V=πR3=π,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为(  )‎ A.4 B.3 C.2﹣2 D.2‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】a1,a3,a13成等比数列,a1=1,可得:a32=a1a13,即(1+2d)2=1+‎ ‎12d,d≠0,解得d.可得an,Sn.代入利用分离常数法化简后,利用基本不等式求出式子的最小值.‎ ‎【解答】解:∵a1,a3,a13成等比数列,a1=1,‎ ‎∴a32=a1a13,‎ ‎∴(1+2d)2=1+12d,d≠0,‎ 解得d=2.‎ ‎∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.‎ Sn=n+×2=n2.‎ ‎∴===n+1+﹣2≥2﹣2=4,‎ 当且仅当n+1=时取等号,此时n=2,且取到最小值4,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎9.已知函数f(x)=x2sinx+2xcosx,x∈(﹣2π,2π),则其导函数f′(x)的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎【分析】求出f′(x)的解析式,判断其奇偶性,单调性,特殊点,结合选项得出答案.‎ ‎【解答】解:f′(x)=2xsinx+x2cosx+2cosx﹣2xsinx=x2cosx+2cosx.‎ ‎∴f′(﹣x)=(﹣x)2cos(﹣x)+2cos(﹣x)=x2cosx+2cosx=f′(x),‎ ‎∴f′(x)是偶函数,图象关于y轴对称,排除A,B;‎ 又f′(0)=2≠0,排除D.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎10.在闭区间[﹣4,6]上随机取出﹣个数x,执行如右图所示的程序框图,则输出的x不小于39的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】几何概型;程序框图.‎ ‎【分析】根据程序框图求出x的取值范围,结合几何概型的概率公式进行求解即可.‎ ‎【解答】解:由程序框图知,第一次循环,n=1,满足条件n≤3,y=2x+1,n=2,‎ 第二次循环,n=2,满足条件n≤3,y=2(2x+1)+1=4x+3,n=3,‎ 第三次循环,n=3,满足条件n≤3,y=2(4x+3)+1=8x+7,n=4,此时不满足条件n≤3输出y=8x+7,‎ 由8x+7≥39得x≥4,‎ 即4≤x≤6,‎ 则对应的概率P==,‎ 故选:A ‎ ‎ ‎11.下列命题中,正确命题的个数是(  )‎ ‎①命题“∃x∈R,使得x3+1<0”的否定是““∀x∈R,都有x3+1>0”.‎ ‎②双曲线﹣=1(a>0,a>0)中,F为右焦点,A为左顶点,点B(0,b)且=0,则此双曲线的离心率为.‎ ‎③在△ABC中,若角A、B、C的对边为a、b、c,若cos2B+cosB+cos(A﹣C)=1,则a、c、b成等比数列.‎ ‎④已知,是夹角为120°的单位向量,则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=.‎ A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】①利用命题的否定,即可判断其真假;‎ ‎②利用双曲线的离心率的性质可判断其正误,‎ ‎③将cosB=﹣cos(A+C)代入已知,整理可得sinAsinC=sin2B,再利用正弦定理可判断③的正误;‎ ‎④利用向量的坐标运算与向量垂直的性质可判断其正误.‎ ‎【解答】解:①命题“∃x∈R,使得x3+1<0”的否定是““∃x0∈R,使得+1≥0”,故①错误;‎ ‎②,依题意,F(c,0),A(﹣a,0),∵点B(0,b),‎ ‎∴=(a,b),=(c,﹣b),‎ ‎∵•=0,‎ ‎∴ac﹣b2=0,而b2=c2﹣a2,‎ ‎∴c2﹣ac﹣a2=0,两端同除以a2得:e2﹣e﹣1=0,‎ 解得e=或e=(舍去),‎ 故②正确;‎ ‎③,在△ABC中,∵A+B+C=180°,‎ ‎∴cosB=﹣cos(A+C),‎ ‎∴原式化为:cos2B﹣cos(A+C)+cos(A﹣C)=1,‎ ‎∴cos(A﹣C)﹣cos(A+C)=1﹣cos2B,‎ ‎∵cos(A﹣C)﹣cos(A+C)=2sinAsinC,1﹣cos2B=2sin2B,‎ ‎∴sinAsinC=sin2B,‎ 由正弦定理得:b2=ac,故③a、c、b成等比数列错误;‎ ‎④,∵,是夹角为120°的单位向量,‎ ‎∴(λ+)⊥(﹣2)⇔(λ+)•(﹣2)=0⇔λ﹣2+(1﹣2λ)•=0⇔λ﹣2+(1﹣2λ)×1×1×(﹣)=0⇔2λ﹣2﹣=0,‎ ‎∴λ=.故④正确;‎ 综上所述,正确命题的个数是2个.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎12.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,四个顶点构成的四边形的面积为12,直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M(﹣2,1),则直线l的斜率为(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎【分析】由椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,四个顶点构成的四边形的面积为12,列出方程组求出a=2,b=,从而得到椭圆方程为,再由直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M(﹣2,1),利用点差法能求出直线l的斜率.‎ ‎【解答】解:∵椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,四个顶点构成的四边形的面积为12,‎ ‎∴,解得a=2,b=,‎ ‎∴椭圆方程为,‎ ‎∵直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M(﹣2,1),‎ ‎∴设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=﹣4,y1+y2=2,‎ 又,两式相减,得:(x1﹣x2)(x1+x2)+(y1﹣y2)(y1+y2)=0,‎ ‎∴﹣(x1﹣x2)+(y1﹣y2)=0,‎ ‎∴直线l的斜率k==.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二.填空题(本大题共有4个小题,每题5分,共20分)‎ ‎13.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则= 1 .‎ ‎【考点】余弦定理;二倍角的正弦;正弦定理.‎ ‎【分析】利用余弦定理求出cosC,cosA,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵△ABC中,a=4,b=5,c=6,‎ ‎∴cosC==,cosA==‎ ‎∴sinC=,sinA=,‎ ‎∴==1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎14.若a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则a2+b2=c2,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体O﹣ABC中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,S为顶点O所对面的面积,S1,S2,S3分别为侧面△OAB,△OAC,△OBC的面积,则S,S1,S2,S3满足的关系式为  .‎ ‎【考点】类比推理.‎ ‎【分析】本题考查的知识点是类比推理,在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时,我们常用的思路是:由平面几何中点的性质,类比推理空间几何中线的性质;由平面几何中线的性质,类比推理空间几何中面的性质;由平面几何中面的性质,类比推理空间几何中体的性质;或是将一个二维平面关系,类比推理为一个三维的立体关系,故类比平面内的勾股定理,我们可以推断四面体的相关性质.‎ ‎【解答】解:由a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则a2+b2=c2,‎ 类比到空间中:‎ 在四面体O﹣ABC中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,‎ S为顶点O所对面的面积,‎ S1,S2,S3分别为侧面△OAB,△OAC,△OBC的面积,‎ 则S,S1,S2,S3满足的关系式为:.‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎15.设M是 ‎,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积,的最小值是 18 .‎ ‎【考点】正弦定理;基本不等式;平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】由平面向量的数量积运算法则及∠ABC的度数,求出的值,再由sinA的值,利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积为1,即△MBC,△MCA,△MAB的面积之和为1,根据题中定义的,得出x+y=,利用此关系式对所求式子进行变形后,利用基本不等式即可求出所求式子的最小值.‎ ‎【解答】解:由,‎ 得,‎ 所以,‎ ‎∴x+y=,‎ 则,‎ 当且仅当时,的最小值为18.‎ 故答案为:18‎ ‎ ‎ ‎16.已知函数f(x)=,若方程f(x)+k=0有三个不同的解a,b,c,且a<b<c,则ab+c的取值范围是 (9,13) .‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断.‎ ‎【分析】先画出图象,再根据a<b<c,利用f(a)=f(b)=f(c),可得﹣log2a=log2b=﹣c+6,由此可确定ab+c的取值范围.‎ ‎【解答】解:根据已知函数f(x)=,‎ 画出函数图象:‎ ‎∵f(a)=f(b)=f(c),‎ ‎∴﹣log2a=log2b=﹣c+6,‎ ‎∴log2(ab)=0,0<﹣c+6<2,‎ 解得ab=1,8<c<12,‎ ‎∴9<ab+c<13.‎ 故答案为:(9,13).‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.[])‎ ‎17.设p:实数x满足(x﹣a)(x﹣3a)<0,其中a>0.q:实数x满足.‎ ‎(1)若a=1且p∧q为真,求实数x的取值范围;‎ ‎(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】分别化简p:a<x<3a,q:2<x<3.‎ ‎(1)当a=1时,p:1<x<3.要使p∧q为真,则须满足,解得即可.‎ ‎(2)由p是q的必要不充分条件,可得(2,3)⊂(a,3a)即,解得即可.‎ ‎【解答】解:依题意知:p:a<x<3a,,∴,即2<x<3.‎ ‎(1)当a=1时,p:1<x<3‎ 要使p∧q为真,则须满足,解得:2<x<3;‎ ‎(2)∵p是q的必要不充分条件 ‎∴(2,3)⊊(a,3a)‎ ‎∴,解得:1≤a≤2.‎ ‎ ‎ ‎18.某学校高三年级800名学生在一次百米测试中,成绩全部在12秒到17秒之间,抽取其中50个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[12,13),第二组[13,14),…,第五组[16,17],如图是根据上述分组得到的频率分布直方图.‎ ‎(1)若成绩小于13秒被认为优秀,求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数;‎ ‎(2)请估计本年级800名学生中,成绩属于第三组的人数;‎ ‎(3)若样本中第一组只有一名女生,第五组只有一名男生,现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组,求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率.‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.‎ ‎【分析】(1)由频率分布直方图,得成绩小于13秒的频率为0.06,由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数.‎ ‎(2)由频率分布直方图,得第三组[14,15)的频率为0.38,由此能估计本年级800名学生中,成绩属于第三组的人数.‎ ‎(2)由频率分布直方图及题设条件得到第一组中有1名女生2名男生,第五组中有3名女生1名男生,由此能求出所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率.‎ ‎【解答】解:(1)由频率分布直方图,得成绩小于13秒的频率为0.06,‎ ‎∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为:‎ ‎0.06×50=3(人).‎ ‎(2)由频率分布直方图,得第三组[14,15)的频率为0.38,‎ ‎∴估计本年级800名学生中,成绩属于第三组的人数为:‎ ‎800×0.38=304(人).‎ ‎(2)由频率分布直方图,得第一组的频率为0.06,第五组的频率为0.08,‎ ‎∴第一组有50×0.06=3人,第五组有50×0.08=4人,‎ ‎∵样本中第一组只有一名女生,第五组只有一名男生,‎ ‎∴第一组中有1名女生2名男生,第五组中有3名女生1名男生,‎ 现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组,‎ 基本事件总数n==12,‎ 所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生,包含的基本事件个数m==7,‎ ‎∴所求概率为p=.‎ ‎ ‎ ‎19.已知向量,向量,函数.‎ ‎(1)求f(x)的解析式及单调增区间;‎ ‎(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=2,c=4,且f(A)恰是f(x)在上的最大值,求A,b和△ABC的面积S.‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.‎ ‎【分析】(1)利用向量的数量积运算结合降幂公式及辅助角公式即可求得f(x)的解析,再由复合函数的单调性求得函数的单调区间;‎ ‎(2)求出f(x)在上的最大值,得到A的值,利用正弦定理求得C,进一步得到B,再由面积公式求得△ABC的面积.‎ ‎【解答】解:(1)∵,,‎ ‎∴函数=(sinx+,)•(sinx,﹣1)‎ ‎=sinx(sinx+)+=‎ ‎==‎ ‎=sin(2x﹣)+2.‎ 由,k∈Z.‎ 得,k∈Z.‎ ‎∴f(x)的单调增区间为[,];‎ ‎(2)∵x∈,∴2x∈[,].‎ 则f(x)在上的最大值为3.‎ 即f(A)=3,∴sin(2A﹣)+2=3,2A﹣=,得A=.‎ 又a=2,c=4,‎ ‎∴由,得sinC=1,∴C=.‎ 则B=.‎ ‎∴△ABC的面积S=.‎ ‎ ‎ ‎20.对于数列{an}、{bn},Sn为数列{an}的前n项和,且Sn+1﹣(n+1)=Sn+an+n,a1=b1=1,bn+1=3bn+2,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;‎ ‎(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【考点】数列的求和;数列递推式.‎ ‎【分析】(1)由Sn+1﹣Sn=an+2n+1,则an+1﹣an=2n+1,利用“累加法”即可求得an=n2,由bn+1+1=3(bn+1),可知数列{bn+1}是以2为首项,以3为公比的等比数列,即可求得{bn}的通项公式;‎ ‎(2)由(1)可知:cn===,利用“错位相减法”即可求得数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(1)由Sn+1﹣(n+1)=Sn+an+n,‎ ‎∴Sn+1﹣Sn=an+2n+1,‎ ‎∴an+1﹣an=2n+1,‎ ‎∴a2﹣a1=2×1+1,‎ a3﹣a2=2×2+1,‎ a4﹣a3=2×3+1,‎ ‎…‎ an﹣an﹣1=2(n﹣1)+1,‎ 以上各式相加可得:an﹣a1=2×(1+2+3+…+n﹣1)+(n﹣1),‎ ‎∴an=2×+(n﹣1)+1=n2,‎ ‎∴an=n2,‎ ‎∵bn+1=3bn+2,即bn+1+1=3(bn+1),‎ b1+1=2,‎ ‎∴数列{bn+1}是以2为首项,以3为公比的等比数列,‎ bn+1=2×3n﹣1,‎ ‎∴bn=2×3n﹣1﹣1;‎ ‎(2)由(1)可知:cn===,‎ ‎∴Tn=c1+c2+…+cn=+++…+,‎ Tn=+++…+,‎ ‎∴Tn=2++++…+﹣,‎ ‎=2+﹣,‎ ‎=﹣,‎ ‎∴Tn=﹣,‎ 数列{cn}的前n项和Tn,Tn=﹣.‎ ‎ ‎ ‎21.在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,腰长为2,D、E分别是边AB、BC的中点,将△BDE沿DE翻折,得到四棱锥B﹣ADEC,且F为棱BC中点,BA=.‎ ‎(1)求证:EF⊥平面BAC;‎ ‎(2)在线段AD上是否存在一点Q,使得AF∥平面BEQ?若存在,求二面角Q﹣BE﹣A的余弦值,若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】(1)取AB中点H,连结DH、HF,在等腰Rt△ABC中,由已知可得AD=BD=1,则DH⊥AB,由线面垂直的判定可得DE⊥平面ADB,进一步得到AC⊥平面ADB,则AC⊥DH,可得DH⊥平面ABC,然后证明DEFH是平行四边形,得EF∥DH,从而得到EF⊥平面ABC;‎ ‎(2)以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz.求出A,B,E,C,F的坐标,设Q(0,t,0)(0≤t≤1),求出平面BQE的法向量,由=0求得,即线段AD上存在一点,使得AF∥平面BEQ,再求出平面BAE的法向量为,由两法向量所成角的余弦值可得二面角Q﹣BE﹣A的余弦值.‎ ‎【解答】(1)证明:取AB中点H,连结DH、HF,‎ 在等腰Rt△ABC中,‎ ‎∵∠BAC=90°,AB=AC=2,D、E分别是边AB、BC的中点,∴AD=BD=1,‎ 又∵翻折后,∴翻折后AD⊥BD,且△ADB为等腰直角三角形,则DH⊥AB,‎ ‎∵翻折后DE⊥AD,DE⊥BD,且AD∩BD=D,∴DE⊥平面ADB,‎ ‎∵DE∥AC,∴AC⊥平面ADB,则AC⊥DH,‎ 又AB∩AC=A,∴DH⊥平面ABC,‎ 又∵HF∥AC,DE∥AC,且HF=AC=DE,‎ ‎∴DEFH是平行四边形,则EF∥DH,‎ ‎∴EF⊥平面ABC;‎ ‎(2)以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz.‎ 则A(0,1,0),B(0,0,1),E(1,0,0),C(2,1,0),,‎ 设Q(0,t,0)(0≤t≤1),‎ 则,‎ 设平面BQE的法向量为=(x,y,z),则由,取y=1,则=(t,1,t),‎ 要使AF∥平面BEQ,则须,‎ ‎∴,即线段AD上存在一点,使得AF∥平面BEQ,‎ 设平面BAE的法向量为=(x,y,z),则由,取y=1,则=(1,1,1),‎ ‎∴cos<>=,‎ ‎∵二面角Q﹣BE﹣A为锐二面角,∴其余弦值为,‎ 即线段AD上存在一点Q(点Q是线段AD上的靠近点D的一个三等分点),‎ 使得AF∥平面BEQ,此时二面角Q﹣BE﹣A的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎22.已知圆M:(x+1)2+y2=,圆N:(x﹣1)2+y2=,动圆D与圆M外切并与圆N内切,圆心D的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程;‎ ‎(2)若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点,直线y=x为C的一条渐近线.‎ ‎①求双曲线C的方程;‎ ‎②过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合),当,且λ1+λ2=﹣时,求Q点的坐标.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)由题意的定义可知:长半轴长为2,短半轴长为的椭圆,即可求得椭圆方程;‎ ‎(2)①求得双曲线方程,焦点为(﹣2,0),(2,0),则,即可求得双曲线C的方程;‎ ‎②方法一:设l的方程,代入椭圆方程,由向量的坐标运算,利用λ1,λ1表示出A和B点坐标,则λ1,λ2是二次方程的两根,利用韦达定理即可求得Q点的坐标.‎ 方法二:设l的方程:y=kx+4,,﹣4=λ1y1=λ2y2,,将直线方程代入双曲线方程,利用韦达定理即可求得k的值,求得Q点的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)∵圆P与圆M外切并且与圆N内切,‎ ‎∴|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2﹣R)=r1+r2=4,…‎ 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆,… ( 求出a=2,c=1给,求出得1分) ‎ 则此方程为.…‎ ‎(2)设双曲线方程为,由椭圆,求得两焦点为(﹣2,0),(2,0),‎ ‎∴对于双曲线C:c=2,…‎ ‎ 又为双曲线C的一条渐近线,‎ ‎∴,解得a2=1,b2=3,… ‎ 故双曲线C的方程.…‎ ‎(3)解法一:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.‎ 设l的方程:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则Q(﹣,0),‎ ‎∵,则(﹣,﹣4)=λ1(x1+,y1),…‎ ‎∴,从而,‎ ‎∵A(x1,y1)在双曲线C上,‎ ‎∴()2﹣﹣1=0,…‎ ‎16+32λ1+16﹣k2﹣k2λ12=0,‎ 同理有.…‎ 若16﹣k2=0,则直线l过顶点,不合题意,∴16﹣k2≠0,‎ ‎∴λ1,λ2是二次方程的两根.‎ ‎∴,∴k2=4,…‎ ‎ 此时△>0,∴k=±2.‎ ‎∴所求Q的坐标为(±2,0).…‎ 解法二:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则.∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴﹣4=λ1y1=λ2y2,‎ ‎∴,,…‎ ‎ 又,‎ ‎∴,即3(y1+y2)=2y1y2,…‎ 将y=kx+4代入,得(3﹣k2)y2﹣24y+48﹣3k2=0,…‎ ‎∵3﹣k2≠0,否则l与渐近线平行.‎ ‎∴.…‎ ‎∴,‎ ‎∴k=±2,∴Q(±2,0).‎

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