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- 2021-06-10 发布
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2016-2017学年江西省宜春市樟树中学高二(下)第一次月考数学试卷(理科)
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知R是实数集,M={x|<1},N={y|y=+1},N∩∁RM=( )
A.(1,2) B.[0,2] C.∅ D.[1,2]
2.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立. 现已知当n=7时该命题不成立,那么可推得( )
A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立
C.当n=8时该命题不成立 D.当n=8时该命题成立
3.设,是向量,则“||=||”是“|+|=|﹣|”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知a,b,c是互不相等的非零实数,若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+c=0至少有一个方程有两个相异实根,反证假设应为( )
A.三个方程中至多有一个方程有两个相异实根
B.三个方程都有两个相异实根
C.三个方程都没有两个相异实根
D.三个方程都没有实根
5.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行,若数列{}的前n项和为Sn,则S2014的值为( )
A. B. C. D.
6.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
?
54
由上表求得回归方程=9.4x+9.1,当广告费用为3万元时,销售额为( )
A.39万元 B.38万元 C.38.5万元 D.39.373万元
7.长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,B1C、C1D与底面ABCD所成的角分别为45°、60°,则长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的体积为( )
A.π B.π C.π D.π
8.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为( )
A.4 B.3 C.2﹣2 D.2
9.已知函数f(x)=x2sinx+2xcosx,x∈(﹣2π,2π),则其导函数f′(x)的图象大致是( )
A. B. C. D.
10.在闭区间[﹣4,6]上随机取出﹣个数x,执行如右图所示的程序框图,则输出的x不小于39的概率为( )
A. B. C. D.
11.下列命题中,正确命题的个数是( )
①命题“∃x∈R,使得x3+1<0”的否定是““∀x∈R,都有x3+1>0”.
②双曲线﹣=1(a>0,a>0)中,F为右焦点,A为左顶点,点B(0,b)且=0,则此双曲线的离心率为.
③在△ABC中,若角A、B、C的对边为a、b、c,若cos2B+cosB+cos(A﹣C)=1,则a、c、b成等比数列.
④已知,是夹角为120°的单位向量,则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
12.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,四个顶点构成的四边形的面积为12,直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M(﹣2,1),则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.1
二.填空题(本大题共有4个小题,每题5分,共20分)
13.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则= .
14.若a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则a2+b2=c2,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体O﹣ABC中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,S为顶点O所对面的面积,S1,S2,S3分别为侧面△OAB,△OAC,△OBC的面积,则S,S1,S2,S3满足的关系式为 .
15.设M是,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积,
的最小值是 .
16.已知函数f(x)=,若方程f(x)+k=0有三个不同的解a,b,c,且a<b<c,则ab+c的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.[])
17.设p:实数x满足(x﹣a)(x﹣3a)<0,其中a>0.q:实数x满足.
(1)若a=1且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
18.某学校高三年级800名学生在一次百米测试中,成绩全部在12秒到17秒之间,抽取其中50个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[12,13),第二组[13,14),…,第五组[16,17],如图是根据上述分组得到的频率分布直方图.
(1)若成绩小于13秒被认为优秀,求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数;
(2)请估计本年级800名学生中,成绩属于第三组的人数;
(3)若样本中第一组只有一名女生,第五组只有一名男生,现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组,求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率.
19.已知向量,向量
,函数.
(1)求f(x)的解析式及单调增区间;
(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=2,c=4,且f(A)恰是f(x)在上的最大值,求A,b和△ABC的面积S.
20.对于数列{an}、{bn},Sn为数列{an}的前n项和,且Sn+1﹣(n+1)=Sn+an+n,a1=b1=1,bn+1=3bn+2,n∈N*.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
21.在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,腰长为2,D、E分别是边AB、BC的中点,将△BDE沿DE翻折,得到四棱锥B﹣ADEC,且F为棱BC中点,BA=.
(1)求证:EF⊥平面BAC;
(2)在线段AD上是否存在一点Q,使得AF∥平面BEQ?若存在,求二面角Q﹣BE﹣A的余弦值,若不存在,请说明理由.
22.已知圆M:(x+1)2+y2=,圆N:(x﹣1)2+y2=,动圆D与圆M外切并与圆N内切,圆心D的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点,直线y=x为C的一条渐近线.
①求双曲线C的方程;
②过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合),当,且λ1+λ2=﹣时,求Q点的坐标.
2016-2017学年江西省宜春市樟树中学高二(下)第一次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知R是实数集,M={x|<1},N={y|y=+1},N∩∁RM=( )
A.(1,2) B.[0,2] C.∅ D.[1,2]
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】先化简两个集合M、N到最简形式求出M,N,依照补集的定义求出CRM,再按照交集的定义求出N∩CRM.
【解答】解:∵M={x|<1}={x|x<0,或x>2},N={y|y=+1}={y|y≥1 },
CRM={x|0≤x≤2},
故有 N∩CRM={y|y≥1 }∩{x|0≤x≤2}
=[1,+∞)∩[0,2]
=[1,2],
故选D.
2.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立. 现已知当n=7时该命题不成立,那么可推得( )
A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立
C.当n=8时该命题不成立 D.当n=8时该命题成立
【考点】数学归纳法.
【分析】本题考查的知识点是数学归纳法,由归纳法的性质,我们由P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,由此类推,对n>k的任意整数均成立,结合逆否命题同真同假的原理,当P(n)对n=k不成立时,则它对n=k﹣1也不成立,由此类推,对n<k的任意正整数均不成立,由此不难得到答案.
【解答】解:由题意可知,原命题成立则逆否命题成立,
P(n)对n=7不成立,P(n)对n=6也不成立,
否则n=6时,由由已知推得n=7也成立.
与当n=7时该命题不成立矛盾
故选A.
3.设,是向量,则“||=||”是“|+|=|﹣|”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】充要条件;向量的模.
【分析】根据向量模相等的几何意义,结合充要条件的定义,可得答案.
【解答】解:若“||=||”,则以,为邻边的平行四边形是菱形;
若“|+|=|﹣|”,则以,为邻边的平行四边形是矩形;
故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件;
故选:D.
4.已知a,b,c是互不相等的非零实数,若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+c=0至少有一个方程有两个相异实根,反证假设应为( )
A.三个方程中至多有一个方程有两个相异实根
B.三个方程都有两个相异实根
C.三个方程都没有两个相异实根
D.三个方程都没有实根
【考点】反证法与放缩法.
【分析】用反证法证明某个命题成立时,应假设命题的反面成立,即假设命题的否定成立,写出题中命题的否定.
【解答】解:用反证法证明某个命题成立时,应假设命题的反面成立,即假设命题的否定成立.
命题“三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+
b=0至少有一个方程有两个相异实根”的否定为:
“三个方程都没有两个相异实根”,
故选:C.
5.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行,若数列{}的前n项和为Sn,则S2014的值为( )
A. B. C. D.
【考点】数列的求和.
【分析】利用导数的几何意义赇 出f(x)=x2+x,从而得到an===,由此利用裂项求和法能求出S2014.
【解答】解:∵f(x)=x2+bx,∴f′(x)=2x+b
∵直线3x﹣y+2=0的斜率为k=3,
函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行,
∴f′(1)=2+b=3,解得b=1,
∴f(x)=x2+x,
∴an===,
∴Sn=(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)=1﹣=,
∴S2014=.
故选:B.
6.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
?
54
由上表求得回归方程=9.4x+9.1,当广告费用为3万元时,销售额为( )
A.39万元 B.38万元 C.38.5万元 D.39.373万元
【考点】线性回归方程.
【分析】
算出x的平均数,y的平均数,利用线性回归方程,得到自变量为3时的预报出结果.
【解答】解:设当广告费用为3万元时,销售额为m,
由题意, ==3.5, =,
代入=9.4x+9.1,可得=9.4×3.5+9.1,
∴m=39.
故选:A.
7.长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,B1C、C1D与底面ABCD所成的角分别为45°、60°,则长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的体积为( )
A.π B.π C.π D.π
【考点】球的体积和表面积.
【分析】先求出BC=DC=,再由长方体的对角线公式,算出长方体对角线AC1的长,从而得到长方体外接球的直径,结合球的体积公式即可得到,该球的体积.
【解答】解:∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,B1C、C1D与底面ABCD所成的角分别为45°、60°,
∴BC=DC=,
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上,
∴球的一条直径为,可得半径R=,
因此,该长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的体积为V=πR3=π,
故选:A.
8.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为( )
A.4 B.3 C.2﹣2 D.2
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】a1,a3,a13成等比数列,a1=1,可得:a32=a1a13,即(1+2d)2=1+
12d,d≠0,解得d.可得an,Sn.代入利用分离常数法化简后,利用基本不等式求出式子的最小值.
【解答】解:∵a1,a3,a13成等比数列,a1=1,
∴a32=a1a13,
∴(1+2d)2=1+12d,d≠0,
解得d=2.
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
Sn=n+×2=n2.
∴===n+1+﹣2≥2﹣2=4,
当且仅当n+1=时取等号,此时n=2,且取到最小值4,
故选:A.
9.已知函数f(x)=x2sinx+2xcosx,x∈(﹣2π,2π),则其导函数f′(x)的图象大致是( )
A. B. C. D.
【考点】函数的图象.
【分析】求出f′(x)的解析式,判断其奇偶性,单调性,特殊点,结合选项得出答案.
【解答】解:f′(x)=2xsinx+x2cosx+2cosx﹣2xsinx=x2cosx+2cosx.
∴f′(﹣x)=(﹣x)2cos(﹣x)+2cos(﹣x)=x2cosx+2cosx=f′(x),
∴f′(x)是偶函数,图象关于y轴对称,排除A,B;
又f′(0)=2≠0,排除D.
故选C.
10.在闭区间[﹣4,6]上随机取出﹣个数x,执行如右图所示的程序框图,则输出的x不小于39的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型;程序框图.
【分析】根据程序框图求出x的取值范围,结合几何概型的概率公式进行求解即可.
【解答】解:由程序框图知,第一次循环,n=1,满足条件n≤3,y=2x+1,n=2,
第二次循环,n=2,满足条件n≤3,y=2(2x+1)+1=4x+3,n=3,
第三次循环,n=3,满足条件n≤3,y=2(4x+3)+1=8x+7,n=4,此时不满足条件n≤3输出y=8x+7,
由8x+7≥39得x≥4,
即4≤x≤6,
则对应的概率P==,
故选:A
11.下列命题中,正确命题的个数是( )
①命题“∃x∈R,使得x3+1<0”的否定是““∀x∈R,都有x3+1>0”.
②双曲线﹣=1(a>0,a>0)中,F为右焦点,A为左顶点,点B(0,b)且=0,则此双曲线的离心率为.
③在△ABC中,若角A、B、C的对边为a、b、c,若cos2B+cosB+cos(A﹣C)=1,则a、c、b成等比数列.
④已知,是夹角为120°的单位向量,则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①利用命题的否定,即可判断其真假;
②利用双曲线的离心率的性质可判断其正误,
③将cosB=﹣cos(A+C)代入已知,整理可得sinAsinC=sin2B,再利用正弦定理可判断③的正误;
④利用向量的坐标运算与向量垂直的性质可判断其正误.
【解答】解:①命题“∃x∈R,使得x3+1<0”的否定是““∃x0∈R,使得+1≥0”,故①错误;
②,依题意,F(c,0),A(﹣a,0),∵点B(0,b),
∴=(a,b),=(c,﹣b),
∵•=0,
∴ac﹣b2=0,而b2=c2﹣a2,
∴c2﹣ac﹣a2=0,两端同除以a2得:e2﹣e﹣1=0,
解得e=或e=(舍去),
故②正确;
③,在△ABC中,∵A+B+C=180°,
∴cosB=﹣cos(A+C),
∴原式化为:cos2B﹣cos(A+C)+cos(A﹣C)=1,
∴cos(A﹣C)﹣cos(A+C)=1﹣cos2B,
∵cos(A﹣C)﹣cos(A+C)=2sinAsinC,1﹣cos2B=2sin2B,
∴sinAsinC=sin2B,
由正弦定理得:b2=ac,故③a、c、b成等比数列错误;
④,∵,是夹角为120°的单位向量,
∴(λ+)⊥(﹣2)⇔(λ+)•(﹣2)=0⇔λ﹣2+(1﹣2λ)•=0⇔λ﹣2+(1﹣2λ)×1×1×(﹣)=0⇔2λ﹣2﹣=0,
∴λ=.故④正确;
综上所述,正确命题的个数是2个.
故选B.
12.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,四个顶点构成的四边形的面积为12,直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M(﹣2,1),则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.1
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【分析】由椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,四个顶点构成的四边形的面积为12,列出方程组求出a=2,b=,从而得到椭圆方程为,再由直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M(﹣2,1),利用点差法能求出直线l的斜率.
【解答】解:∵椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,四个顶点构成的四边形的面积为12,
∴,解得a=2,b=,
∴椭圆方程为,
∵直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M(﹣2,1),
∴设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=﹣4,y1+y2=2,
又,两式相减,得:(x1﹣x2)(x1+x2)+(y1﹣y2)(y1+y2)=0,
∴﹣(x1﹣x2)+(y1﹣y2)=0,
∴直线l的斜率k==.
故选:C.
二.填空题(本大题共有4个小题,每题5分,共20分)
13.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则= 1 .
【考点】余弦定理;二倍角的正弦;正弦定理.
【分析】利用余弦定理求出cosC,cosA,即可得出结论.
【解答】解:∵△ABC中,a=4,b=5,c=6,
∴cosC==,cosA==
∴sinC=,sinA=,
∴==1.
故答案为:1.
14.若a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则a2+b2=c2,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体O﹣ABC中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,S为顶点O所对面的面积,S1,S2,S3分别为侧面△OAB,△OAC,△OBC的面积,则S,S1,S2,S3满足的关系式为 .
【考点】类比推理.
【分析】本题考查的知识点是类比推理,在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时,我们常用的思路是:由平面几何中点的性质,类比推理空间几何中线的性质;由平面几何中线的性质,类比推理空间几何中面的性质;由平面几何中面的性质,类比推理空间几何中体的性质;或是将一个二维平面关系,类比推理为一个三维的立体关系,故类比平面内的勾股定理,我们可以推断四面体的相关性质.
【解答】解:由a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则a2+b2=c2,
类比到空间中:
在四面体O﹣ABC中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,
S为顶点O所对面的面积,
S1,S2,S3分别为侧面△OAB,△OAC,△OBC的面积,
则S,S1,S2,S3满足的关系式为:.
故答案为:
15.设M是
,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积,的最小值是 18 .
【考点】正弦定理;基本不等式;平面向量数量积的运算.
【分析】由平面向量的数量积运算法则及∠ABC的度数,求出的值,再由sinA的值,利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积为1,即△MBC,△MCA,△MAB的面积之和为1,根据题中定义的,得出x+y=,利用此关系式对所求式子进行变形后,利用基本不等式即可求出所求式子的最小值.
【解答】解:由,
得,
所以,
∴x+y=,
则,
当且仅当时,的最小值为18.
故答案为:18
16.已知函数f(x)=,若方程f(x)+k=0有三个不同的解a,b,c,且a<b<c,则ab+c的取值范围是 (9,13) .
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】先画出图象,再根据a<b<c,利用f(a)=f(b)=f(c),可得﹣log2a=log2b=﹣c+6,由此可确定ab+c的取值范围.
【解答】解:根据已知函数f(x)=,
画出函数图象:
∵f(a)=f(b)=f(c),
∴﹣log2a=log2b=﹣c+6,
∴log2(ab)=0,0<﹣c+6<2,
解得ab=1,8<c<12,
∴9<ab+c<13.
故答案为:(9,13).
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.[])
17.设p:实数x满足(x﹣a)(x﹣3a)<0,其中a>0.q:实数x满足.
(1)若a=1且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
【考点】复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】分别化简p:a<x<3a,q:2<x<3.
(1)当a=1时,p:1<x<3.要使p∧q为真,则须满足,解得即可.
(2)由p是q的必要不充分条件,可得(2,3)⊂(a,3a)即,解得即可.
【解答】解:依题意知:p:a<x<3a,,∴,即2<x<3.
(1)当a=1时,p:1<x<3
要使p∧q为真,则须满足,解得:2<x<3;
(2)∵p是q的必要不充分条件
∴(2,3)⊊(a,3a)
∴,解得:1≤a≤2.
18.某学校高三年级800名学生在一次百米测试中,成绩全部在12秒到17秒之间,抽取其中50个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[12,13),第二组[13,14),…,第五组[16,17],如图是根据上述分组得到的频率分布直方图.
(1)若成绩小于13秒被认为优秀,求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数;
(2)请估计本年级800名学生中,成绩属于第三组的人数;
(3)若样本中第一组只有一名女生,第五组只有一名男生,现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组,求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.
【分析】(1)由频率分布直方图,得成绩小于13秒的频率为0.06,由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数.
(2)由频率分布直方图,得第三组[14,15)的频率为0.38,由此能估计本年级800名学生中,成绩属于第三组的人数.
(2)由频率分布直方图及题设条件得到第一组中有1名女生2名男生,第五组中有3名女生1名男生,由此能求出所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率.
【解答】解:(1)由频率分布直方图,得成绩小于13秒的频率为0.06,
∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为:
0.06×50=3(人).
(2)由频率分布直方图,得第三组[14,15)的频率为0.38,
∴估计本年级800名学生中,成绩属于第三组的人数为:
800×0.38=304(人).
(2)由频率分布直方图,得第一组的频率为0.06,第五组的频率为0.08,
∴第一组有50×0.06=3人,第五组有50×0.08=4人,
∵样本中第一组只有一名女生,第五组只有一名男生,
∴第一组中有1名女生2名男生,第五组中有3名女生1名男生,
现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组,
基本事件总数n==12,
所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生,包含的基本事件个数m==7,
∴所求概率为p=.
19.已知向量,向量,函数.
(1)求f(x)的解析式及单调增区间;
(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=2,c=4,且f(A)恰是f(x)在上的最大值,求A,b和△ABC的面积S.
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【分析】(1)利用向量的数量积运算结合降幂公式及辅助角公式即可求得f(x)的解析,再由复合函数的单调性求得函数的单调区间;
(2)求出f(x)在上的最大值,得到A的值,利用正弦定理求得C,进一步得到B,再由面积公式求得△ABC的面积.
【解答】解:(1)∵,,
∴函数=(sinx+,)•(sinx,﹣1)
=sinx(sinx+)+=
==
=sin(2x﹣)+2.
由,k∈Z.
得,k∈Z.
∴f(x)的单调增区间为[,];
(2)∵x∈,∴2x∈[,].
则f(x)在上的最大值为3.
即f(A)=3,∴sin(2A﹣)+2=3,2A﹣=,得A=.
又a=2,c=4,
∴由,得sinC=1,∴C=.
则B=.
∴△ABC的面积S=.
20.对于数列{an}、{bn},Sn为数列{an}的前n项和,且Sn+1﹣(n+1)=Sn+an+n,a1=b1=1,bn+1=3bn+2,n∈N*.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)由Sn+1﹣Sn=an+2n+1,则an+1﹣an=2n+1,利用“累加法”即可求得an=n2,由bn+1+1=3(bn+1),可知数列{bn+1}是以2为首项,以3为公比的等比数列,即可求得{bn}的通项公式;
(2)由(1)可知:cn===,利用“错位相减法”即可求得数列{cn}的前n项和Tn.
【解答】解:(1)由Sn+1﹣(n+1)=Sn+an+n,
∴Sn+1﹣Sn=an+2n+1,
∴an+1﹣an=2n+1,
∴a2﹣a1=2×1+1,
a3﹣a2=2×2+1,
a4﹣a3=2×3+1,
…
an﹣an﹣1=2(n﹣1)+1,
以上各式相加可得:an﹣a1=2×(1+2+3+…+n﹣1)+(n﹣1),
∴an=2×+(n﹣1)+1=n2,
∴an=n2,
∵bn+1=3bn+2,即bn+1+1=3(bn+1),
b1+1=2,
∴数列{bn+1}是以2为首项,以3为公比的等比数列,
bn+1=2×3n﹣1,
∴bn=2×3n﹣1﹣1;
(2)由(1)可知:cn===,
∴Tn=c1+c2+…+cn=+++…+,
Tn=+++…+,
∴Tn=2++++…+﹣,
=2+﹣,
=﹣,
∴Tn=﹣,
数列{cn}的前n项和Tn,Tn=﹣.
21.在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,腰长为2,D、E分别是边AB、BC的中点,将△BDE沿DE翻折,得到四棱锥B﹣ADEC,且F为棱BC中点,BA=.
(1)求证:EF⊥平面BAC;
(2)在线段AD上是否存在一点Q,使得AF∥平面BEQ?若存在,求二面角Q﹣BE﹣A的余弦值,若不存在,请说明理由.
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)取AB中点H,连结DH、HF,在等腰Rt△ABC中,由已知可得AD=BD=1,则DH⊥AB,由线面垂直的判定可得DE⊥平面ADB,进一步得到AC⊥平面ADB,则AC⊥DH,可得DH⊥平面ABC,然后证明DEFH是平行四边形,得EF∥DH,从而得到EF⊥平面ABC;
(2)以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz.求出A,B,E,C,F的坐标,设Q(0,t,0)(0≤t≤1),求出平面BQE的法向量,由=0求得,即线段AD上存在一点,使得AF∥平面BEQ,再求出平面BAE的法向量为,由两法向量所成角的余弦值可得二面角Q﹣BE﹣A的余弦值.
【解答】(1)证明:取AB中点H,连结DH、HF,
在等腰Rt△ABC中,
∵∠BAC=90°,AB=AC=2,D、E分别是边AB、BC的中点,∴AD=BD=1,
又∵翻折后,∴翻折后AD⊥BD,且△ADB为等腰直角三角形,则DH⊥AB,
∵翻折后DE⊥AD,DE⊥BD,且AD∩BD=D,∴DE⊥平面ADB,
∵DE∥AC,∴AC⊥平面ADB,则AC⊥DH,
又AB∩AC=A,∴DH⊥平面ABC,
又∵HF∥AC,DE∥AC,且HF=AC=DE,
∴DEFH是平行四边形,则EF∥DH,
∴EF⊥平面ABC;
(2)以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz.
则A(0,1,0),B(0,0,1),E(1,0,0),C(2,1,0),,
设Q(0,t,0)(0≤t≤1),
则,
设平面BQE的法向量为=(x,y,z),则由,取y=1,则=(t,1,t),
要使AF∥平面BEQ,则须,
∴,即线段AD上存在一点,使得AF∥平面BEQ,
设平面BAE的法向量为=(x,y,z),则由,取y=1,则=(1,1,1),
∴cos<>=,
∵二面角Q﹣BE﹣A为锐二面角,∴其余弦值为,
即线段AD上存在一点Q(点Q是线段AD上的靠近点D的一个三等分点),
使得AF∥平面BEQ,此时二面角Q﹣BE﹣A的余弦值为.
22.已知圆M:(x+1)2+y2=,圆N:(x﹣1)2+y2=,动圆D与圆M外切并与圆N内切,圆心D的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点,直线y=x为C的一条渐近线.
①求双曲线C的方程;
②过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合),当,且λ1+λ2=﹣时,求Q点的坐标.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】(1)由题意的定义可知:长半轴长为2,短半轴长为的椭圆,即可求得椭圆方程;
(2)①求得双曲线方程,焦点为(﹣2,0),(2,0),则,即可求得双曲线C的方程;
②方法一:设l的方程,代入椭圆方程,由向量的坐标运算,利用λ1,λ1表示出A和B点坐标,则λ1,λ2是二次方程的两根,利用韦达定理即可求得Q点的坐标.
方法二:设l的方程:y=kx+4,,﹣4=λ1y1=λ2y2,,将直线方程代入双曲线方程,利用韦达定理即可求得k的值,求得Q点的坐标.
【解答】解:(1)∵圆P与圆M外切并且与圆N内切,
∴|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2﹣R)=r1+r2=4,…
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆,… ( 求出a=2,c=1给,求出得1分)
则此方程为.…
(2)设双曲线方程为,由椭圆,求得两焦点为(﹣2,0),(2,0),
∴对于双曲线C:c=2,…
又为双曲线C的一条渐近线,
∴,解得a2=1,b2=3,…
故双曲线C的方程.…
(3)解法一:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.
设l的方程:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则Q(﹣,0),
∵,则(﹣,﹣4)=λ1(x1+,y1),…
∴,从而,
∵A(x1,y1)在双曲线C上,
∴()2﹣﹣1=0,…
16+32λ1+16﹣k2﹣k2λ12=0,
同理有.…
若16﹣k2=0,则直线l过顶点,不合题意,∴16﹣k2≠0,
∴λ1,λ2是二次方程的两根.
∴,∴k2=4,…
此时△>0,∴k=±2.
∴所求Q的坐标为(±2,0).…
解法二:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零
设l的方程:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则.∵,
∴.
∴﹣4=λ1y1=λ2y2,
∴,,…
又,
∴,即3(y1+y2)=2y1y2,…
将y=kx+4代入,得(3﹣k2)y2﹣24y+48﹣3k2=0,…
∵3﹣k2≠0,否则l与渐近线平行.
∴.…
∴,
∴k=±2,∴Q(±2,0).