高中数学选修2-2教学课件5_2_1复数的运算(一) 26页

例 1 例 2 1. 复数加、减法的运算法则： 已知两复数 z 1 = a + bi , z 2 = c + di （ a , b , c , d 是实数） 即 : 两个复数相加 ( 减 ) 就是 实部与实部 , 虚部与虚部分别相加 ( 减 ). (1) 加法法则 ： z 1 + z 2 =( a + c )+( b + d ) i ; (2) 减法法则 ： z 1 - z 2 =( a - c )+( b - d ) i . ( a + b i ) ± ( c + d i ) = ( a ± c ) + ( b ± d ) i 例 1 、计算 ( 1 － 3 i ) + ( 2 + 5 i ) + ( - 4 +9i ) 2. 复数的乘法法则： (2) 复数的乘法与多项式的乘法是类似的 ，只是在运算过程中把 换成－ 1 ，然后实、虚部分别合并 . 说明 :(1) 两个复数的积仍然是一个复数； (3) 易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律 即对于任何 z 1 , z 2 , z 3 ∈C, 有 例 2 例 2. 计算 ( － 2 － i )( 3 － 2 i )( － 1 +3i ) 复数的乘法与多项式的乘法是类似的 . 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开 , 运算 , 类似地 , 复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算 . 注意 a + bi 与 a - bi 两复数的特点 . 思考：设 z = a + bi ( a , b ∈R ), 那么 定义 : 实部相等 , 虚部互为相反数 的两个复数叫做互为 共轭复数 . 复数 z = a + bi 的共轭复数记作 另外不难证明 : 一步到位 ! 例 3. 计算 ( a + bi )( a - bi ) 类似地 我们知道 , 两个向量的和满足平行四边形法则 , 复数可以表示平面上的向量， 那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？ 设 z 1 = a + bi z 2 =c+di , 则 z 1 + z 2 =( a + c )+( b + d ) i x O y Z 1 ( a , b ) Z Z 2 ( c , d ) 吻合 ! 这就是复数加法的几何意义 . 符合向量加法的平行四边形法则 . 例题 1 已知复平面内一平行四边形 AOBC 顶点 A,O,B 对应复数是 -3+2i , 0, 2 + i ， 求点 C 对应的复数 . 解 : 复数 -3 +2i , 2 +i,0 对应点 A(-3,2),B(2,1), O (0,0), 如图 . ∴ 点 C 对应的复数是 -1+3i 在平行四边形 AOBC 中 , x y A 0 C B 几何意义运用 第四个顶点对应的复数是 6+4i ， -4+6i ， -2-i 例题 ２ 已知复平面内一平行四边形 ABC Ｄ三个顶点对应复数是 -3+2i , 2 + i, 1+5i 求第四个对应的复数 . X y 类似地 , 复数减法 : Z 1 ( a , b ) Z 2 ( c , d ) O y x Z OZ 1 - OZ 2 这就是复数减法的几何意义 . 符合向量减法的三角形法则 . | z 1 - z 2 | 表示什么 ? 表示复平面上两点 Z 1 ,Z 2 的距离 1 、 |z 1 |= |z 2 | 平行四边形 OABC 是 2 、 | z 1 + z 2 | = | z 1 - z 2 | 平行四边形 OABC 是 3 、 |z 1 |= |z 2 | ， | z 1 + z 2 | = | z 1 - z 2 | 平行四边形 OABC 是 z 1 z 2 z 1 +z 2 o z 2 -z 1 A B C 菱形 矩形 正方形 一些复数加减法的几何意义 练习 : 已知复数 m=2 － 3i , 若复数 z 满足不等式 | z － m |=1, 则 z 所对应的点的集合是什么图形 ? 以点 (2, － 3) 为圆心 , 1 为半径的圆上 复数减法的几何意义的运用 设复数 z=x+yi,(x,y∈R), 在下列条件下求动点 Z(x,y) 的轨迹 . | z- 2| = 1 2. | z- i|+ | z+ i|=4 3. | z- 2|= | z+ 4| x y o Z 2 Z Z Z 当 | z- z 1 |=r 时 , 复数 z 对应的点的轨迹是以 Z 1 对应的点为圆心 , 半径为 r 的圆 . 1 -1 Z Z Z y x o |z － z 1 |+|z － z 2 |=2a |z 1 － z 2 |<2a |z 2 － z 1 |=2a |z 2 － z 1 |>2a 椭圆 线段 无轨迹 y x o 2 -4 x=-1 当 | z- z 1 |= | z- z 2 | 时 , 复数 z 对应的点的轨迹是 线段 Z 1 Z 2 的中垂线 . -1 复数加减法的几何意义的运用 练习 1: 设 z 1 ,z 2 ∈C, |z 1 |= |z 2 |=1 |z 2 +z 1 |= 求 |z 2 -z 1 | 练习 2: 复数 z 1 ,z 2 分别对应复平面内的点 M 1 ,M 2,, 且 | z 2 + z 1 |= | z 2 - z 1 |, 线段 M 1 M 2, 的中点 M 对应的复数为 4+3i, 求 |z 1 | 2 + |z 2 | 2 例 4 设 ，求证： （ 1 ） ；（ 2 ） 证明： （ 1 ） （ 2 ） 练习 1. 计算 :(1) i +2 i 2 +3 i 3 +…+2004 i 2004 ; 解 : 原式 =( i - 2 - 3 i +4)+(5 i - 6 - 7 i +8)+…+(2001 i - 2002 - 2003 i +2004)=501(2 - 2 i )=1002 - 1002 i . 2. 已知方程 x 2 - 2 x +2=0 有两虚根为 x 1 , x 2 , 求 x 1 4 + x 2 4 的值 . 解 : 注 : 在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用 . 3. 已知复数 是 的共轭复数，求 x 的值． 解：因为 的共轭复数是 ，根据复数相等的定义，可得 解得 所以 ． 7. 在复数集 C 内，你能将 分解因式吗？ 1. 计算 :(1+2 i ) 2 2. 计算 ( i - 2)(1 - 2 i )(3+4 i ) - 20+15 i - 2+2 i - 3 - i 8 ( x + yi )( x - yi )