数学理卷·2017届河北省石家庄市辛集中学高三上学期第三次阶段测试（2016 13页

河北省石家庄市辛集中学2017届高三上学期第三次阶段测试 ‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若，则是（ ）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎3.设等比数列中，每项均是正数，且，则（ ）‎ A．20 B．-20 C．-4 D．-5 ‎ ‎4.若向量满足，，，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6.若程序框图如图示，则该程序运行后输出的值为（ ）‎ A．5 B．6 C.7 D．8‎ ‎7.已知直线平分圆，若均为正数，则的最小值是（ ）‎ A．25 B．12 C. D．9‎ ‎8.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个的单位长度 ‎ C.向右平移个的单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知不等式组表示平面区域，过区域中的任意一个点，作圆的两条切线且切点分别为，当最大时，的值为（ ）‎ A．2 B． C. D．3‎ ‎11.如图，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．2 C. D．‎ ‎12.设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若的常数项是15，则展开式中的系数为 ．‎ ‎14.某宾馆安排五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且不能住同一房间，则不同的安排方法有 ．‎ ‎15.已知边长为的菱形中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为 ．‎ ‎16.已知数列满足，，，则使该数列的前项和不小于2016的最小自然数等于 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的面积的最大值.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 设数列，，，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列数列满足，求数列的前项和.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，梯形，，过点作，，垂足分别为，且 ‎.现将沿，沿翻折，使得点重合，记为，且点在面的射影在线段上.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）设，是否存在，使二面角的余弦值为？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，.‎ ‎（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线与圆相切，直线与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点，是坐标原点，且时，求的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知，.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若有多于两个整数，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线的参数方程为，圆的极坐标方程为.‎ （1） 求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线与直线交于两点，若点的直角坐标为，求的值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.-20 14.114 15. 16.7‎ 三、解答题 ‎17.（1）因为 所以 即 得 ‎.‎ ‎，（当且仅当取等号）‎ ‎.‎ ‎18.解析：（1）由，可得，，‎ 是首项为2，的等比数列，‎ ‎，，‎ 则 ‎（2）由，，及，‎ 可得.‎ ‎.①‎ ‎.②‎ ‎①-②：‎ ‎.‎ ‎19.（Ⅰ）证明：由已知，四边形是边长为2的正方形，‎ 因为，，，‎ 面，所以平面平面，‎ 又，所以.‎ 又点在面的射影在线段上，设为，则，‎ 所以面，又面，所以.‎ ‎（Ⅱ）以为原点，垂直于平面的直线为轴，所在直线为轴，为轴，如图所示建立空间直角坐标系，‎ 由已知，假设存在，使二面角的余弦值为.‎ 设，则，.‎ 法一：设平面的一个法向量，‎ 则，即，解得 令，得是平面的一个法向量.‎ 又平面的一个法向量为，‎ 由，化简得①，‎ 又因为平面，所以，‎ 所以，即②，‎ 联立①②，解得（舍），.‎ 由，，所以.‎ 所以当时，二面角的余弦值为.‎ 法二：如图，作于，于，连接，‎ 则为二面角的平面角，‎ 由，可得，，‎ 于是得到，，‎ 所以.‎ ‎20.试题解析：‎ ‎（1）由题可知：中线段的垂直平分线，所以，‎ 所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，‎ 故点的轨迹方程是.‎ ‎（2）设直线，，，‎ 直线与圆相切 联立 ‎，，‎ 所以 或为所求.‎ 21. 解析：（Ⅰ）因，.‎ 所以，当时，在上恒成立，即在上单调递减；‎ 当时，的解为，‎ 即在上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，的解为，‎ 即在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（Ⅱ）方法一：若有多于两个整数，使得成立，则有两个以上整数解.‎ 因为，当时，，；‎ 当时，，，‎ 所以，有两个以上整数解.‎ 设，则，‎ 令，则，‎ 又，，所以，使得，‎ 在为增函数，在上为减函数，‎ 有两个以上整数解的充要条件是，或，‎ 解得.‎ 方法二：‎ 设，问题转化为，有三个或三个以上整数的解，‎ 当时，，，此时的解集为，此情况成立；‎ 当时，，，.‎ 可见的解集不仅仅两个整数解，此情况成立；‎ 当时，由（Ⅰ）可知的极值点为，‎ 又，，，而且，仅有一个零点.‎ 若，即，由（Ⅰ）知的单调性，以及.‎ 有与的草图如下：‎ 因，‎ 所以在上单调递减，单调递增，所以.‎ ‎，所以在上恒成立.‎ 又，在上，又，所以，，‎ 所以 所以在时，在上没有使得的整数解存在；‎ 若，即时，与的草图如下：‎ 因为，，‎ 或成立即可，解得.‎ 综上所述：.‎ ‎22.（1）直线的普通方程为：，‎ ‎，所以.‎ 所以曲线的直角坐标方程为（或写成）.‎ ‎（2）点在直线上，且在圆内，把代入，得 ‎，设两个实根为，则，，即异号.‎ 所以.‎