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- 2021-06-10 发布
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广西钦州市第三中学2020届高三理数3月份考试试卷
满分:150分 时间:120分钟
姓名: 班级: 考号:
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单选题(本题共12题,每小题5分,共60分)
1.已知集合,,则( )
A.∅ B. C. D.
2.若复数,则( )
A. B. C. D.
3.设,,,则( )
A. B. C. D.
4.某中学有三栋教学楼,如图所示,若某学生要从处到达他所在的班级处(所有楼道间是连通的),则最短路程不同的走法为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
5.已知函数,则其导函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.已知倾斜角为的直线过抛物线焦点,且与抛物线相交于两点,若,则( )
A. B.1 C.2 D.4
7.执行如图所示的程序框图,输出的( )
A.55 B.42 C.33 D.24
8.等比数列的前项和为,公比为,若,,则( )
A. B.2 C. D.3
9.如图为某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
10.已知双曲线:焦距为,圆:与圆:外切,且的两条渐近线恰为两圆的公切线,则的离心率为( )
A. B. C. D.
11.关于圆周率,数学发展史上出现过许多有创意的求法,如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请120名同学每人随机写下一个x,y都小于1的正实数对,再统计其中x,y能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m,最后根据统计个数m估计的值.如果统计结果是,那么可以估计的值为( )
A. B. C. D.
12.已知函数在上有两个极值点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题)
二、填空题(本题共4题,每小题5分,共20分)
13.已知,则函数的最小值为_______.
14.已知,则 ________.
15.已知抛物线:()的焦点为,准线为,过的直线交抛物线于,两点,交于点,若,则________.
16.在中,,为边上的点,且,,则面积的最大值为________.
三、解答题(第17题10分,第18-22题每题12分,共70分)
17.已知△ABC的内角A,B,C满足.
(1)求角A;
(2)若△ABC的外接圆半径为1,求△ABC的面积S的最大值.
18.已知各项均为正数的数列的前项和满足().
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
19.某花圃为提高某品种花苗质量,开展技术创新活动,在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况,分别在实验地随机抽取各50株,对每株进行综合评分,将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图,记综合评分为80分及以上的花苗为优质花苗.
(1)用样本估计总体,以频率作为概率,若在两块实验地随机抽取3株花苗,求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望;
(2)填写下面的列联表,并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关.
优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
20
乙培育法
10
合计
附:下面的临界值表仅供参考.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
(参考公式:,其中)
20.如图,为矩形,且平面平面,,,,,点是线段上的一点,且.
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值.
21.已知定点,,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线。
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线交于、两点,是否存在定点,使得直线与斜率之积为定值,若存在,求出坐标;若不存在,请说明理由。
22.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)对任意的,恒成立,请求出的取值范围.
参考答案
1.B2.A3.B4.C5.A6.A7.B8.B9.C10.C11.B12.D 13.7 14.243 15.2 16.9
17.
(1)设内角,,所对的边分别为,,.
根据,可得
,
所以,
又因为,所以.
(2),
所以,所以(时取等号).
18.
(1)由知:当时,有, ,解得
由, 两式相减,得:,化简得:
变形得:,对,有,,即
故 数列是以1为首项,2为公差的等差数列,
(2),,
19.
(1)由频率分布直方图可知,优质花苗的频率为,即概率为.
设所抽取的花苗为优质花苗的株数为,则,于是
; ;
; .
其分布列为:
0
1
2
3
所以,所抽取的花苗为优质花苗的数学期望
(2)频率分布直方图,优质花苗的频率为,则样本中优质花苗的株数为60株,列联表如下表所示:
优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
20
30
50
乙培育法
40
10
50
合计
60
40
100
可得.
所以,有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系
20.(1)证明:由题意知四边形是矩形,是以为直角顶点的等腰直角三角形,且,,,.
,.
平面平面,平面平面,,
平面,,
,平面.
平面,.
(2)解:由(1)知,,两两垂直,
以为原点,,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,.
设平面法向量为,则,
取,则,,故为平面的一个法向量,
易知平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为,由题中条件可知,
则,
二面角的余弦值为.
21.(1)设动点,则,
,
,即,
化简得:。
由已知,故曲线的方程为。
(2)由已知直线过点,设的方程为,
则联立方程组,消去得,
设,,则
又直线与斜率分别为,
,
则。
当时,,;
当时,,。
所以存在定点,使得直线与斜率之积为定值。
22.解:(1),
若,则,所以函数在上递增;
若,方程的判别式为,
所以方程有两根分别为,,
所以当时,;
当时,,
所以函数在上递减;在上递增.
(2)不等式,对任意的恒成立,
即对任意的恒成立.
令,则,
令,则,
易知在上单调递增,
因为,,且的图象在上不间断,
所以存在唯一的,使得,即,则.
当时,单调递减;当时,单调递增.
则在处取得最小值,
且最小值为,
所以,即在上单调递增,所以.
所以.