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  • 2021-06-10 发布

广西钦州市第三中学2020届高三3月考试数学(理)试题

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广西钦州市第三中学2020届高三理数3月份考试试卷 满分:150分 时间:120分钟 姓名: 班级: 考号: ‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷(选择题)‎ 一、单选题(本题共12题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A.∅ B. C. D.‎ ‎2.若复数,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.设,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.某中学有三栋教学楼,如图所示,若某学生要从处到达他所在的班级处(所有楼道间是连通的),则最短路程不同的走法为( )‎ A.5 B.10 C.15 D.20‎ ‎5.已知函数,则其导函数的图象大致是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知倾斜角为的直线过抛物线焦点,且与抛物线相交于两点,若,则( )‎ A. B.1 C.2 D.4‎ ‎7.执行如图所示的程序框图,输出的( )‎ A.55 B.42 C.33 D.24‎ ‎8.等比数列的前项和为,公比为,若,,则( )‎ A. B.2 C. D.3‎ ‎9.如图为某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知双曲线:焦距为,圆:与圆:外切,且的两条渐近线恰为两圆的公切线,则的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.关于圆周率,数学发展史上出现过许多有创意的求法,如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请120名同学每人随机写下一个x,y都小于1的正实数对,再统计其中x,y能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m,最后根据统计个数m估计的值.如果统计结果是,那么可以估计的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数在上有两个极值点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第II卷(非选择题)‎ 二、填空题(本题共4题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知,则函数的最小值为_______.‎ ‎14.已知,则 ________.‎ ‎15.已知抛物线:()的焦点为,准线为,过的直线交抛物线于,两点,交于点,若,则________.‎ ‎16.在中,,为边上的点,且,,则面积的最大值为________.‎ 三、解答题(第17题10分,第18-22题每题12分,共70分)‎ ‎17.已知△ABC的内角A,B,C满足.‎ ‎(1)求角A;‎ ‎(2)若△ABC的外接圆半径为1,求△ABC的面积S的最大值.‎ ‎18.已知各项均为正数的数列的前项和满足().‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎19.某花圃为提高某品种花苗质量,开展技术创新活动,在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况,分别在实验地随机抽取各50株,对每株进行综合评分,将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图,记综合评分为80分及以上的花苗为优质花苗.‎ ‎(1)用样本估计总体,以频率作为概率,若在两块实验地随机抽取3株花苗,求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望;‎ ‎(2)填写下面的列联表,并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关.‎ 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 ‎20‎ 乙培育法 ‎10‎ 合计 附:下面的临界值表仅供参考.‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式:,其中)‎ ‎20.如图,为矩形,且平面平面,,,,,点是线段上的一点,且.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎21.已知定点,,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线。‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)过点的直线与曲线交于、两点,是否存在定点,使得直线与斜率之积为定值,若存在,求出坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)对任意的,恒成立,请求出的取值范围.‎ 参考答案 ‎1.B2.A3.B4.C5.A6.A7.B8.B9.C10.C11.B12.D 13.7 14.243 15.2 16.9‎ ‎ 17.‎ ‎(1)设内角,,所对的边分别为,,.‎ 根据,可得 ‎,‎ 所以,‎ 又因为,所以.‎ ‎(2),‎ 所以,所以(时取等号).‎ ‎18.‎ ‎(1)由知:当时,有, ,解得 由, 两式相减,得:,化简得:‎ 变形得:,对,有,,即 故 数列是以1为首项,2为公差的等差数列,‎ ‎(2),,‎ ‎ 19.‎ ‎(1)由频率分布直方图可知,优质花苗的频率为,即概率为.‎ 设所抽取的花苗为优质花苗的株数为,则,于是 ‎; ;‎ ‎; .‎ 其分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以,所抽取的花苗为优质花苗的数学期望 ‎(2)频率分布直方图,优质花苗的频率为,则样本中优质花苗的株数为60株,列联表如下表所示:‎ 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 乙培育法 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 可得.‎ 所以,有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系 20.(1)证明:由题意知四边形是矩形,是以为直角顶点的等腰直角三角形,且,,,.‎ ‎,.‎ 平面平面,平面平面,,‎ 平面,,‎ ‎,平面.‎ 平面,.‎ ‎(2)解:由(1)知,,两两垂直,‎ 以为原点,,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则,‎ ‎,.‎ 设平面法向量为,则,‎ 取,则,,故为平面的一个法向量,‎ 易知平面的一个法向量为.‎ 设二面角的平面角为,由题中条件可知,‎ 则,‎ 二面角的余弦值为. 21.(1)设动点,则,‎ ‎,‎ ‎,即,‎ 化简得:。‎ 由已知,故曲线的方程为。‎ ‎(2)由已知直线过点,设的方程为,‎ 则联立方程组,消去得,‎ 设,,则 又直线与斜率分别为,‎ ‎,‎ 则。‎ 当时,,;‎ 当时,,。‎ 所以存在定点,使得直线与斜率之积为定值。 22.解:(1),‎ 若,则,所以函数在上递增;‎ 若,方程的判别式为,‎ 所以方程有两根分别为,,‎ 所以当时,;‎ 当时,,‎ 所以函数在上递减;在上递增.‎ ‎(2)不等式,对任意的恒成立,‎ 即对任意的恒成立.‎ 令,则,‎ 令,则,‎ 易知在上单调递增,‎ 因为,,且的图象在上不间断,‎ 所以存在唯一的,使得,即,则.‎ 当时,单调递减;当时,单调递增.‎ 则在处取得最小值,‎ 且最小值为,‎ 所以,即在上单调递增,所以.‎ 所以. ‎

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