高中数学人教a版选修4-1知能达标演练：2-2圆内接四边形的性质与判定定理 含解析 4页

一、选择题 ‎1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有 ‎(　　)．‎ ‎①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°‎ ‎②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形 ‎③∠A的外角与∠C的外角互补 ‎④∠A∶∠B∶∠C∶∠D的比可以是1∶2∶3∶4‎ A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 解析　由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．‎ 答案　B ‎2．如图所示，分别延长圆内接四边形ABCD两组对边相交于E和F两点，如果∠E＝30°，∠F＝50°，那么∠A为 ‎(　　)．‎ A．55° B．50°‎ C．45° D．40°‎ 解析　由∠A＋∠ADC＋∠E＝180°，∠A＋∠ABC＋∠F＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，‎ ‎∴∠A＝(180°－∠E－∠F)＝50°.‎ 答案　B ‎3．圆内接平行四边形一定是 ‎(　　)．‎ A．正方形 B．菱形 C．等腰梯形 D．矩形 解析　由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．‎ 答案　D ‎4．如图所示，已知在圆内接四边形ABCD中，BA和CD的延长线交于点P，AC和BD相交于点E，则图中共有相似三角形 ‎(　　)．‎ A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 解析　由圆周角和圆内接四边形的性质可以判定：‎ ‎△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE，△PAC∽△PDB，△PAD∽△PCB.‎ 答案　B 二、填空题 ‎5．若BE和CF是△ABC的边AC和AB边上的高，则________四点共圆．‎ 解析　由∠BEC＝∠BFC＝90°，知△BCE和△BCF共圆．‎ 答案　B、C、E、F ‎6．若圆内接四边形中三个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为______，最小的内角为______．‎ 解析　四边形ABCD内接于圆且三个相邻内角比为5∶6∶4，故四个角之比一定为5∶6∶4∶3，从而最大角为360°×＝120°，最小角为360°×＝60°.‎ 答案　120°　60°‎ ‎7．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝________，∠BCD＝________.‎ 解析　由∠A＝∠BOD＝30°，∠BCD＝180°－∠A＝150°.‎ 答案　30°　150°‎ ‎8．若两条直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(‎2a＋3)y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝________.‎ 解析　由圆内接四边形的性质，知(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(‎2a＋3)＝0，整理得a2＝1，∴a＝±1.‎ 答案　1或－1‎ 三、解答题 ‎9．试说明矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．‎ 证明　∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴OA＝OC，OB＝OD，又AC＝DB，‎ ‎∴OA＝OC＝OB＝OD.‎ 则点A、B、C、D到点O的距离相等，‎ ‎∴A、B、C、D这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上．‎ ‎10．如图所示，AB、CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD、AB交于点E.‎ 求证：AE·AC＝AF·DE.‎ 证明　连接BD，因为AB∥CD，所以BD＝AC.‎ 因为A、B、D、F四点共圆，所以∠EBD＝∠F.‎ 因为∠E为△EBD和△EFA的公共角，‎ 所以△EBD∽△EFA.‎ 所以＝.‎ 所以＝，‎ 即AE·AC＝AF·DE.‎ ‎11．(拓展深化)如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.‎ ‎(1)证明：B、D、H、E四点共圆；‎ ‎(2)证明：CE平分∠DEF.‎ 证明　(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，‎ 所以∠BAC＋∠BCA＝120°.‎ 因为AD，CE是角平分线，‎ 所以∠HAC＋∠HCA＝60°，‎ 故∠AHC＝120°.‎ 于是∠EHD＝∠AHC＝120°.‎ 因为∠EBD＋∠EHD＝180°，‎ 所以B、D、H、E四点共圆．‎ ‎(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，‎ 得∠HBD＝30°.‎ 由(1)知B、D、H、E四点共圆．‎ 所以∠CED＝∠HBD＝30°.‎ 又∵∠AHE＝∠EBD＝60°，‎ 由已知可得EF⊥AD，‎ 可得∠CEF＝30°，‎ 所以CE平分∠DEF.‎