浙江省宁波市鄞州中学2020届高三数学高考冲刺试题（Word版附答案） 17页

2020 浙江高考数学冲刺卷 本试卷分第（Ⅰ）卷（选择题）和第（Ⅱ）卷（非选择题）两部分．满分 150 分，考试时间 120 分 钟 第（Ⅰ）卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．（原创）设全集 {1,2,3,4,5,6,7,8}U  ，集合 {2,3,4,6}A  ，集合 {1,4,7,8}B  ，则 ( )UA C B  （ ） A．{ 4} B．{ 2，3，6} C．{ 2，3，7} D．{ 2，3，4，7} 2．（原创）若双曲线的两条渐近线方程为 2 0x y  ，则双曲线的离心率是（ ） A． 5 B． 2 C． 5 2 D． 5 或 5 2 3．（原创）实数 ,x y 满足 3 2 3 1 x y x y y         ，则 2x y 的取值范围是（ ） A．[ 4,6] B．[ 4,3] C．[ 6,4] D．[ 6,3] 4．（原创）设 xR ，则“ 2 2 0x x  ”是“ 1 2x   ”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 5．（原创）冶铁技术在我国已有悠久的历史，据史料记载，我国最早的冶铁技术可以追溯到春秋晚 期，已知某铁块的三视图如图所示，若将该铁块浇铸成一个铁球，则铁球的半径是（ ） A． 3 222 ( ) B． 3 22( ) C． 3 2  D． 3 1  x y o x y o x y o x y o A B C D 6．（原创）函数 1( ) ( )lnf x x xx   的图象大致为（ ） 7．（原创）已知 a b c， ， 成等差数列，随机变量 ， 的分布列如下，则下列结论正确的是（ ）  0 1 2 P a b c A． ( ) ( )E E  B． ( ) ( )D D  C． ( ) ( )E E  D． ( ) ( )D D  8．（改编）已知函数 3 1 4 1 ( 0) ( ) ( 0) x x x f x x x       ，若关于 x 的方程 ( ) ( 3)f x a x  恰有 4 个不相 等的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ）  0 1 2 P c b a 正视图 侧视图 俯视图 A．[1, 2) B．[0,1) C． 1[ , 2)3 D． 1[ ,1)3 9．（原创）如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，将 ABE 沿直线 AE 折起至 AEM ，点 M 在平面 AECD 上的投影为 O ，平面 AEM 与平面 AECD 所成锐二面角为  ，直线 MC 与平面 AECD 所成角为  ，若OB OC ，则下列说法正确的是（ ） A． 2  B． 2  C． 2  D．无法确定 10．（改编）数列{ }na 满足 2 1 1 3 2 22 n n na a a a   ， ，下列说法正确的是（ ） A．存在正整数 k ，使得 3 4ka  B．存在正整数 k ，使得 3ka  C．对任意正整数 k ，都有1 2ka  D．数列{ }na 单调递增 第（Ⅱ）卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题 7 小题，多空题每题 6 分，单空每题 4 分，共 36 分，把答案填在题中的横线上． 11．（原创）复数 z 满足 ( 2) 2 1i z i   ，则 z  _____； z  _____ 12．（原创）点Q 是圆 2 2( 1) 1C x y  ： 上的动点，点 P 满足 3OP OQ  （O 为坐标原点），则 点 P 的轨迹方程是_______________；若点 P 又在直线 ( 3 3)y k x  上，则 k 的最小值 是________ 13．（原创）已知在 1(2 )nx x x  的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则 n _____； 4x 项 的系数为______ 14．（原创）四边形 ABCD 内接于圆O ，其中 AB 为直径，若 7, 3BC CD DA   ，则 AB  _______； 四边形 ABCD 的面积是_______ 15 ． （ 原 创 ） 函 数 ( ) log 1 ( 0,af x x a   且 1)a  ， 若 1 2 3 4x x x x   ， 且 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x   ， 则 1 2 3 4 1 1 1 1 x x x x     _______ 16．（改编）过点 ( 1,0)P  的直线与抛物线 2y x 相交于 ,A B 两点， ( ,0)M t 为 x 轴上一点，若 ABM 为等边三角形，则 t  _______ 17．（原创） ABC 中， ,D E 依次为 BC 的三等分点，若 2AB AD AC AE      ，则 cos ADC 的 最小值是__ _ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题 14 分）（原创）已知函数 ( ) cosf x x （1）已知 [0,2 )  ，函数 ( )f x  为奇函数，求 值； （2）求函数 sin ( )6y x f x    的值域. 19．（本题 15 分）（改编）如图，菱形 ABCD 与正 BCE 的边长均为 2 ，且平面 BCE  平面 ABCD ， FD  平面 ABCD ，且 3FD  （1）求证： / /EF 平面 ABCD （2）若 60ABC   ，求二面角 A BF E  的余弦值. 20．（本题 15 分）（改编）正项数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，满足对每个 n N  ， 11 2n n nS a ， ， 成等差数列，且 1 2 3 6a a a ， ， 成等比数列. （1）求 1a 的值；（2）求{ }na 的通项公式；（3）求证： 2 1 2 1 1 1 1 1(13 )10 3n na a a      21．（本题 15 分）（改编）椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ，点 P 在椭圆 上，直线 1 2,PF PF 与椭圆的另一个交点分别为 ,A B . （1）若 P 点坐标为 3(1, )2 ，且 1 2 4PF PF  ，求椭圆的方程； （2）设 1 1PF F A  ， 2 2PF F B  ，求证：   为定值. 22．（本题 15 分）（改编）已知函数 ( ) lnf x x a x  （1）若曲线 ( )y f x 在点 2x  处的切线与直线 2y x 平行，求实数 a 的值； （2）若 ( ) a xf x x e   在 (1, ) 上恒成立，求 a 的最小值. P BA 2F y O1F x 数学试卷参考答案与解题提示 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分． 1.【答案】B 【考查目标】本题考查集合的交、补运算，属于基础题. 【试题解析】 {2,3,4,6}UC B ， {2,3,6}UA C B ，故选择 B 2. 【答案】D 【考查目标】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的渐近线、离心率的概念，考查考生基本运 算求解能力，属于基础题. 【试题解析】易得双曲线方程为 2 24 ( 0)x y     ，当 0  时离心率 5e ，当 0  时离心 率 5 2e  ，故选择 D 3. 【答案】A 【考查目标】本题考查简单的线性规划问题，考查考生的作图能力和直观想象能力，属于基础题. 【试题解析】作图即得平面区域，由几何意义截距可知 2 [ 6,3]z x y    4. 【答案】A 【考查目标】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断， 考查考生等价转化思想，属于稍难题. 【试题解析】易得 2 2 0 0 2x x x     ， 1 2 1 3x x     ，故选 A 5. 【答案】D 【考查目标】本题考查三视图和直观图的关系，考查考生空间想象能力， 四面体、球体的体积的计算和空间图形的识别能力，属于稍难题. 【试题解析】由三视图可得四面体 ABCD ，设球半径为 R ，则 3 31 1 4 12 2 23 2 3V R R         ，故选择 D 6. 【答案】C 【考查目标】本题考查函数的图像和性质，考查考生分析函数性质能力和图像识别能力，属于稍难 题. 【试题解析】 ( ) ( )f x f x  ，函数为奇函数，当 1x  时， ( ) 0f x  故选择 C 7. 【答案】B 【考查目标】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及方差，考查考生运算求解能力，属于 稍难题. 【试题解析】 1, 2a b c b a c     ， 1 2,3 3b a c    2 , 2E b c E b a     ， 2 2 2( ) 4 ( 2 )D E E b c b c        ， 2 2 2( ) 4 ( 2 )D E E b a b a        ， 24( )(1 ) 03D D c a b       ，故选择 B 8. 【答案】D 【考查目标】本题考查函数与方程，考查考生用导数研究三次函数的图像和性质，导数的几何意义， 函数的零点等知识，考查考生用数形结合方法解决问题的能力，属于稍难题. 【试题解析】设 3 2( ) 4 1( 0), ( ) 3 4g x x x x g x x      ，则易得当 2 3(0, )3x 时， ( )g x 单调 递减，当 2 3( , )3x  时， ( )g x 单调递增，数形结合可知， 直线 ( 3)y a x  与 ( )f x 在 0x  处有一个交点，在 2 3( , )3  处有一个交点，故在 2 3(0, )3 处需 2 个交点，直线经过 0,1（ ）点时 1 3a  ，当直线与 3 4 +1y x x  相切于 (1, 4) 时 1a  ，故选择 D 9. 【答案】A 【考查目标】本题考查空间直线与平面的位置关系、直线与平面所成角，二面角等立体几何知，考 查考生空间想象能力和作图能力，属于难题. 【试题解析】易得当OB OC 时， MBO MCO     设 BO 交 AE 于 F ，则 AE MF ， MFO   又由于 BF MF ， MBF FMB      2 =  故选择 A 10. 【答案】C 【考查目标】本题考查数列的递推关系、数列的通项、数列的求和、数列与不等式的综合问题，考 查考生的逻辑思维能力，及分析问题、解决问题的能力，属于难题. 【试题解析】 2 2 1 2 2 ( 1) 1 1n n n na a a a        ， 2 1 3 2 ( 2)( 1) 0n n n n n na a a a a a         ， 11 2n na a    ，故选择 C 二、填空题：本大题 7 小题，多空题每题 6 分，单空每题 4 分，共 36 分． 11.【答案】 4 3 5 5 i ；1 【考查目标】本题考查复数的四则运算，考查考生基本运算求解能力，属于基础题. 【试题解析】 2 1 4 3( 2) 2 1 , 12 5 5 ii z i z i zi         12.【答案】 2 2( 3) 9C x y  ： ； 3 【考查目标】本题考查直线与圆的位置关系，动点轨迹方程的求法，直线的倾斜角与斜率，考查考 生用数形结合方法解决问题的能力，属于基础题. 【试题解析】设 0 0( , ), ( , )P x y Q x y ，则 0 0 0 3 3 xx yy     代入方程 2 2 0 0( 1) 1x y   得 2 2( 3) 9x y   ； 数形结合，直线与圆相切时k取得最小值 3 13.【答案】6； 240 【考查目标】本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题. 【试题解析】由二项式系数的对称性质得 6n  ，由通项公式 3 6 12 1 6 (2 ) ( )r r r rT C x x     18 5 6 2 6 2 ( 1) r r r rC x    令18 5 4 22 r r    ，故得含 4x 的项系数为 2 4 6 2 240C  14.【答案】9；16 2 【考查目标】本题考查三角形中的边角关系、三角形面积公式、倍角公式的应用，考查考生三角恒 等变形能力、图形识别能力、方程思想，属于稍难题. 【试题解析】连接 BD 得 23 9 49 ( 9)cos cos 0 0 92 3 6 xDAB BCD xx             由面积公式的面积为16 2 15.【答案】2 【考查目标】本题考查对数的运算法则、对数函数的图像和性质，考查考生观察能力、运算求解能 力、画图能力，属于稍难题. 【 试 题 解 析 】 根 据 函 数 图 象 性 质 得 函 数 的 图 象 关 于 直 线 1x  对 称 ， 则 易 得 1 4 2 3 1 2 3 42, 2, 4x x x x x x x x         又 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1( ) ( ) log ( 1) log ( 1) ( 1)( 1) 1 1a af x f x x x x x x x              同理可得 3 4 1 1 1x x   ，则 1 2 3 4 1 1 1 1 2x x x x     16.【答案】 5 3 【考查目标】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生运算求解能力，属于稍难题 【试题解析】由题意可知，直线 AB 的斜率存在且不为 0， 故设直线方程为： ( 1), 0y k x k   代入抛物线方程得 2 2 2 2(2 1) 0k x k x k    ① 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 21 4 0k    ② 2 1 2 1 22 1 2 , 1kx x x xk    ，则 AB 中点坐标为 2 2 1 2 1( , )2 k k k  AB 中垂线方程为 2 2 1 1 1 2( )2 ky xk k k     ，令 0y  得 2 1 1 2 2t k   ，则 2 1 1( ,0)2 2M k  ABE 为正三角形， M 到 AB 直线的距离 3 2d AB ， 2 2 2 2 1 2 2 1 3 3 1 4 391 12 2 2 13 k kk x x k kk k           代入②满足，则 5 3t  17.【答案】 4 7 【考查目标】本题考查向量的运算、平面向量的基本定理，考查考生综合运用向量、三角、不等式 等知识解决问题的能力，属于难题. 【试题解析】     1 22 1 2 2 AD AB AE AB AD AE AE AE ADAE AD AC                        ，设 , ,AD x AE y DE m   2 2 2 22 2 4 2 4 2AB AD AC AE x AD AE y AD AE AD AE y x                     2 2 2 2 2 2 2 25 14 22 7 7 x y m y x y x m       2 2 2 2 2 2 8 47 7cos 2 2 7 x mx m yADC mx mx       三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分． 18. 【答案】（1） 2  或 3 2  ；（2） 3 1[ , ]4 4  【考查目标】本题考查三角函数的图像和性质、函数的奇偶性，考查考生三角函数的恒等变形能力， 属于基础题. 【试题解析】 （1） ( )f x  奇 ( ) ( ) 0f x f x       恒成立——————2 分 cos( ) cos( ) 0 2 cos cos 0x x x          恒成立————4 分 cos 0  ，又 [0,2 )  ，所以 2   或 3 2  .————————6 分 （2） 3 1sin ( ) sin cos( ) sin ( cos sin )6 6 2 2y x f x x x x x x        ——8 分 23 1 3 1sin cos sin sin2 (1 cos2 )2 2 4 4x x x x x     ——————10 分 1 1 1 1( 3 sin 2 cos 2 ) sin(2 )4 4 2 6 4x x x       ————————12 分 因为 1 sin(2 ) 16x     ，所以 3 1 4 4y   ， 所以函数 sin ( )6y x f x    的值域是 3 1[ , ]4 4  .————————14 分 19. 【答案】（1）见解析；（2） 7 8  【考查目标】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理、用向量工具求二面 角的方法，考查考生空间想象能力和运算求解能力，属于基础题. 【试题解析】 （1）如图，作 EH BC 于 H ，连 DH ，————1 分  平面 BCE 平面 ABCD ， EH 平面 ABCD ， 且 3EH  ————3 分 又 FD平面 ABCD ，且 3FD ，  / /EH FD ，且 EH FD ，四边形 EFDH 是平行四边形， / /EF HD ————5 分， / / / / EF ABCD HD ABCD EF ABCD EF HD      平面 平面 平面 ——————7 分 （2） 60 ABCD ABC AH BC H BC        菱形 是 中点 ，——————8 分 以 H 为原点， , ,HB HA HE 所在直线为 , ,x y z轴建立空 间直角坐标系，如图所示.————9 分 则 (0, 3,0), (1,0,0), (0, 3, 3), (2, 3, 3)A B E F 有 ( 1, 3,0), ( 1,0, 3), ( 3, 3, 3)BA BE BF        ————10 分 设平面 ABF 的一个法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z ， 由 1 1 1 1 1 1 1 0 3 3 3 0 0 3 0 n BA x y z n BF x y                    ，令 1 1y  ，取 1 ( 3,1,2)n  ，————11 分 设平面 BEF 的一个法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z ， 由 2 2 2 2 2 2 2 0 3 3 3 0 0 3 0 n BE x y z n BF x z                    ，令 2 1z  ，取 2 ( 3,2,1)n  ，————12 分 则 1 2 1 2 1 2 7cos 8 n nn n n n         ， ，——————14 分 由题意知二面角 A BF E  是钝二面角，故二面角 A BF E  的余弦值是 7 8  .——15 分 20.【答案】（1） 1 1a  ；（2） 3 2n n na   ；（3）见解析 【考查目标】本题考查等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，递推数列求通项的方法， 考查考生运用所学的数学方法：数学归纳法，比较法、放缩法解决问题的能力，属于稍难题. 【试题解析】 （1） 1 2 2 2 3 2 2 1 3 2( 2) 1 2( 2 ) 1 ( 6) S a S a a a a            1 2 1 2 3 2 2 1 3 2( 2) 1 2( 4) 1 ( 6) a a a a a a a a             ————————2 分 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 2 2 1 3 2 3 6 13 (2 3) (6 19) 2 7 9 0 ( 6) a a a a a a a a a a a a                  ————3 分 因为 1 0a  ，所以 1 1a  ————4 分 （2） 1 1 12( 2 ) 1 2 2 1n n n n n nS a S a          当 2n  时， 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 3 2 2 2 1 n n n n n n n n n nn n n S a a a a a a S a                    ————6 分 又 1 2 2 11, 5 3 2a a a a     符合上式，所以 1 3 2n n nn N a a    ， ————7 分 1 1 3 1 2 2 2 2 n n n n a a      1 1 31 ( 1) { 1}2 2 2 2 n n n n n n a a a       是首项为 3 2 ，公比为 3 2 的等比数列 31 ( ) 3 22 2 n n nn nn a a      ————10 分 （3）因为，当 2n  时， 2 2 25 5(3 2 ) 3 4 3 2 4(3 2 ) 0 3 2 39 9 n n n n n n n n n n               1 9 1 3 2 5 3n n n   ————13 分 易知 1n  时，原不等式成立；当 2n  时： 1 2 3 2 1 2 111 1 1 5 1 1 1 9 1 1 131 ( ) 1 (13 )19 3 3 3 5 9 10 31 3 n n n na a a                     综上，原不等式 n N   成立————15 分 21. 【答案】（1） 2 2 14 3 x y  ；（2） 2 2 12 1 e e   【考查目标】本题考查椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生函数与方程 思想、数形结合思想，逻辑推理能力和运算求解能力. 【试题解析】 （1） 2 2 2 4 2, 31 9 14 a a b a b       ，所以椭圆方程为 2 2 14 3 x y  ——————4 分 （2）法一：坐标法 设 0 0 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )P x y A x y B x y， ， ， 当 0 0y  时， 2 2 2 2 2 2 2( ) 2(1 ) 1 a c a c a c e a c a c a c e              ——————5 分 当 0 0y  时， PA x my c ： ， PB x ny c ： ，——————7 分 其中： 0 0 0 0 x c x cm ny y   ， ，从而 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 02 0 2( ) ( ) 2( )x cm n y m n x cy       ————9 分 由 4 2 2 2 2 2 4 0 1 2 2 22 2 2 2 2 2 ( ) 2 0x my c ba b m y b mcy b y y a b mb x a y a b             —————— 11 分 同理 4 0 2 2 2 2 by y a b n    ，从而 2 2 2 2 4 0 1 0 2 1 1 2 ( )a b m n y y y y b     ——————13 分 2 2 2 2 2 22 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 4 4 1 2 0 1 0 2 2 ( )1 1 2 ( )( ) [ ]y y a y b y m na b m ny yy y y y y y b b             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 4 4 4 2 2 2 ( ) 2( ) 2 2 2 2a y b x c b x a y b c a b b c a c b b b b           2 2 2 2 2 2 2(1 )2 1 a c e a c e      ——————15 分 法二：三角法 不妨设点 P 在 x轴上方，由余弦定理易得： 2 2 1 1 cos 1 cos b bPF a c a e     ， 2 1 1 1 cos bFA a e    2 2 2 1 cos 1 cos b bPF a c a e     ， 2 2 1 1 cos bF A a e    ——————8 分 所以 1 1 1 cos 2 11 cos 1 cos PF e F A e e         ， 2 2 1 cos 2 11 cos 1 cos PF e F A e e         ——————10 分 又 2 2 1 2 1 12 21 cos 1 cos b bPF PF a aa e a e         2 2 1 1 2 1 cos 1 cos a e e b     ————13 分 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2(2 ) 2( ) 2(1 )2 21 cos 1 cos 1 a a b a c e e e b b a c e                   ————15 分 22. 【答案】（1） 3a  ；（2） e 【考查目标】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查考 生函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力， 证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质. 【试题解析】 （1） ( ) 1 af x x    ————2 分， 由题意知 (2) 1 2 32 af a      ————4 分 （2） ( ) ln ln ln lna x a x x a x x a af x x e x a x x e e x x a x e e x x                  — — ——7 分 设 ( ) lng t t t  ，则原不等式 ( ) ( )x ag e g x  ——————9 分 由 1 1( ) 1 tg t t t     ，易知 0 1t  时， ( ) 0g t  ， 1t  时， ( ) 0g t  ， 所以 ( ) lng t t t  在 (0,1) 上单调减，在 (1, ) 上单调增——————11 分 因为是求a的最小值，故设 0a  ，又 1x  ，所以 , (0,1)x ae x  ————12 分 所以 1 ln( ) ( )x a x a xg e g x e x a x        ，原不等式恒成立 max 1 ln( )x a x    ————13 分 设 ln( ) ( 1)xh x xx   ，则 2 1 ln( ) xh x x   ，易知1 x e  时， ( ) 0h x  ， x e 时， ( ) 0h x  ， 所以 ln( ) xh x x  在(1, )e 上单调增，在 ( , )e  上单调减 max 1( ) ( )h x h e e    ———14 分 所以 min 1 1 a e a ea e         ——————15 分