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- 2021-06-10 发布
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2020 浙江高考数学冲刺卷
本试卷分第(Ⅰ)卷(选择题)和第(Ⅱ)卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分
钟
第(Ⅰ)卷(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(原创)设全集 {1,2,3,4,5,6,7,8}U ,集合 {2,3,4,6}A ,集合 {1,4,7,8}B ,则 ( )UA C B
( )
A.{ 4} B.{ 2,3,6} C.{ 2,3,7} D.{ 2,3,4,7}
2.(原创)若双曲线的两条渐近线方程为 2 0x y ,则双曲线的离心率是( )
A. 5 B. 2 C. 5
2
D. 5 或 5
2
3.(原创)实数 ,x y 满足
3
2 3
1
x y
x y
y
,则 2x y 的取值范围是( )
A.[ 4,6] B.[ 4,3] C.[ 6,4] D.[ 6,3]
4.(原创)设 xR ,则“ 2 2 0x x ”是“ 1 2x ”的( )
A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
5.(原创)冶铁技术在我国已有悠久的历史,据史料记载,我国最早的冶铁技术可以追溯到春秋晚
期,已知某铁块的三视图如图所示,若将该铁块浇铸成一个铁球,则铁球的半径是( )
A.
3
222 ( ) B.
3
22( ) C. 3
2
D. 3
1
x
y
o
x
y
o x
y
o x
y
o
A B C D
6.(原创)函数 1( ) ( )lnf x x xx
的图象大致为( )
7.(原创)已知 a b c, , 成等差数列,随机变量 , 的分布列如下,则下列结论正确的是( )
0 1 2
P a b c
A. ( ) ( )E E B. ( ) ( )D D C. ( ) ( )E E D. ( ) ( )D D
8.(改编)已知函数
3
1
4 1 ( 0)
( )
( 0)
x x x
f x
x x
,若关于 x 的方程 ( ) ( 3)f x a x 恰有 4 个不相
等的实数根,则实数 a 的取值范围是( )
0 1 2
P c b a
正视图 侧视图 俯视图
A.[1, 2) B.[0,1) C. 1[ , 2)3 D. 1[ ,1)3
9.(原创)如图,点 E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点,将 ABE 沿直线 AE 折起至 AEM ,点 M
在平面 AECD 上的投影为 O ,平面 AEM 与平面 AECD 所成锐二面角为 ,直线 MC 与平面
AECD 所成角为 ,若OB OC ,则下列说法正确的是( )
A. 2 B. 2 C. 2 D.无法确定
10.(改编)数列{ }na 满足 2
1 1
3 2 22 n n na a a a , ,下列说法正确的是( )
A.存在正整数 k ,使得 3
4ka B.存在正整数 k ,使得 3ka
C.对任意正整数 k ,都有1 2ka D.数列{ }na 单调递增
第(Ⅱ)卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题 7 小题,多空题每题 6 分,单空每题 4 分,共 36 分,把答案填在题中的横线上.
11.(原创)复数 z 满足 ( 2) 2 1i z i ,则 z _____; z _____
12.(原创)点Q 是圆 2 2( 1) 1C x y : 上的动点,点 P 满足 3OP OQ (O 为坐标原点),则
点 P 的轨迹方程是_______________;若点 P 又在直线 ( 3 3)y k x 上,则 k 的最小值
是________
13.(原创)已知在 1(2 )nx x x
的展开式中,只有第四项的二项式系数最大,则 n _____; 4x 项
的系数为______
14.(原创)四边形 ABCD 内接于圆O ,其中 AB 为直径,若 7, 3BC CD DA ,则 AB _______;
四边形 ABCD 的面积是_______
15 . ( 原 创 ) 函 数 ( ) log 1 ( 0,af x x a 且 1)a , 若 1 2 3 4x x x x , 且
1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x , 则
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
_______
16.(改编)过点 ( 1,0)P 的直线与抛物线 2y x 相交于 ,A B 两点, ( ,0)M t 为 x 轴上一点,若
ABM 为等边三角形,则 t _______
17.(原创) ABC 中, ,D E 依次为 BC 的三等分点,若 2AB AD AC AE ,则 cos ADC 的
最小值是__ _
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题 14 分)(原创)已知函数 ( ) cosf x x
(1)已知 [0,2 ) ,函数 ( )f x 为奇函数,求 值;
(2)求函数 sin ( )6y x f x 的值域.
19.(本题 15 分)(改编)如图,菱形 ABCD 与正 BCE 的边长均为 2 ,且平面 BCE 平面 ABCD ,
FD 平面 ABCD ,且 3FD
(1)求证: / /EF 平面 ABCD
(2)若 60ABC ,求二面角 A BF E 的余弦值.
20.(本题 15 分)(改编)正项数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,满足对每个 n N , 11 2n
n nS a , ,
成等差数列,且 1 2 3 6a a a , , 成等比数列.
(1)求 1a 的值;(2)求{ }na 的通项公式;(3)求证: 2
1 2
1 1 1 1 1(13 )10 3n
na a a
21.(本题 15 分)(改编)椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1 2,F F ,点 P 在椭圆
上,直线 1 2,PF PF 与椭圆的另一个交点分别为 ,A B .
(1)若 P 点坐标为 3(1, )2
,且 1 2 4PF PF ,求椭圆的方程;
(2)设 1 1PF F A , 2 2PF F B ,求证: 为定值.
22.(本题 15 分)(改编)已知函数 ( ) lnf x x a x
(1)若曲线 ( )y f x 在点 2x 处的切线与直线 2y x 平行,求实数 a 的值;
(2)若 ( ) a xf x x e 在 (1, ) 上恒成立,求 a 的最小值.
P
BA 2F
y
O1F x
数学试卷参考答案与解题提示
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.
1.【答案】B
【考查目标】本题考查集合的交、补运算,属于基础题.
【试题解析】 {2,3,4,6}UC B , {2,3,6}UA C B ,故选择 B
2. 【答案】D
【考查目标】本题考查双曲线的几何性质,考查双曲线的渐近线、离心率的概念,考查考生基本运
算求解能力,属于基础题.
【试题解析】易得双曲线方程为 2 24 ( 0)x y ,当 0 时离心率 5e ,当 0 时离心
率 5
2e ,故选择 D
3. 【答案】A
【考查目标】本题考查简单的线性规划问题,考查考生的作图能力和直观想象能力,属于基础题.
【试题解析】作图即得平面区域,由几何意义截距可知 2 [ 6,3]z x y
4. 【答案】A
【考查目标】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件,求解时要转化成集合间的关系进行判断,
考查考生等价转化思想,属于稍难题.
【试题解析】易得 2 2 0 0 2x x x , 1 2 1 3x x ,故选 A
5. 【答案】D
【考查目标】本题考查三视图和直观图的关系,考查考生空间想象能力,
四面体、球体的体积的计算和空间图形的识别能力,属于稍难题.
【试题解析】由三视图可得四面体 ABCD ,设球半径为 R ,则
3 31 1 4 12 2 23 2 3V R R ,故选择 D
6. 【答案】C
【考查目标】本题考查函数的图像和性质,考查考生分析函数性质能力和图像识别能力,属于稍难
题.
【试题解析】 ( ) ( )f x f x ,函数为奇函数,当 1x 时, ( ) 0f x 故选择 C
7. 【答案】B
【考查目标】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及方差,考查考生运算求解能力,属于
稍难题.
【试题解析】 1, 2a b c b a c , 1 2,3 3b a c
2 , 2E b c E b a , 2 2 2( ) 4 ( 2 )D E E b c b c ,
2 2 2( ) 4 ( 2 )D E E b a b a , 24( )(1 ) 03D D c a b ,故选择 B
8. 【答案】D
【考查目标】本题考查函数与方程,考查考生用导数研究三次函数的图像和性质,导数的几何意义,
函数的零点等知识,考查考生用数形结合方法解决问题的能力,属于稍难题.
【试题解析】设 3 2( ) 4 1( 0), ( ) 3 4g x x x x g x x ,则易得当 2 3(0, )3x 时, ( )g x 单调
递减,当 2 3( , )3x 时, ( )g x 单调递增,数形结合可知,
直线 ( 3)y a x 与 ( )f x 在 0x 处有一个交点,在 2 3( , )3
处有一个交点,故在 2 3(0, )3
处需
2 个交点,直线经过 0,1( )点时 1
3a ,当直线与 3 4 +1y x x 相切于 (1, 4) 时 1a ,故选择 D
9. 【答案】A
【考查目标】本题考查空间直线与平面的位置关系、直线与平面所成角,二面角等立体几何知,考
查考生空间想象能力和作图能力,属于难题.
【试题解析】易得当OB OC 时, MBO MCO
设 BO 交 AE 于 F ,则 AE MF , MFO
又由于 BF MF , MBF FMB
2 =
故选择 A
10. 【答案】C
【考查目标】本题考查数列的递推关系、数列的通项、数列的求和、数列与不等式的综合问题,考
查考生的逻辑思维能力,及分析问题、解决问题的能力,属于难题.
【试题解析】 2 2
1 2 2 ( 1) 1 1n n n na a a a ,
2
1 3 2 ( 2)( 1) 0n n n n n na a a a a a , 11 2n na a ,故选择 C
二、填空题:本大题 7 小题,多空题每题 6 分,单空每题 4 分,共 36 分.
11.【答案】 4 3
5 5 i ;1
【考查目标】本题考查复数的四则运算,考查考生基本运算求解能力,属于基础题.
【试题解析】 2 1 4 3( 2) 2 1 , 12 5 5
ii z i z i zi
12.【答案】 2 2( 3) 9C x y : ; 3
【考查目标】本题考查直线与圆的位置关系,动点轨迹方程的求法,直线的倾斜角与斜率,考查考
生用数形结合方法解决问题的能力,属于基础题.
【试题解析】设 0 0( , ), ( , )P x y Q x y ,则
0
0
0
3
3
xx
yy
代入方程 2 2
0 0( 1) 1x y 得 2 2( 3) 9x y ;
数形结合,直线与圆相切时k取得最小值 3
13.【答案】6; 240
【考查目标】本题考查二项式定理展开式的通项,考查基本运算求解能力,属于基础题.
【试题解析】由二项式系数的对称性质得 6n ,由通项公式
3
6 12
1 6 (2 ) ( )r r r
rT C x x
18 5
6 2
6 2 ( 1)
r
r r rC x
令18 5 4 22
r r ,故得含 4x 的项系数为 2 4
6 2 240C
14.【答案】9;16 2
【考查目标】本题考查三角形中的边角关系、三角形面积公式、倍角公式的应用,考查考生三角恒
等变形能力、图形识别能力、方程思想,属于稍难题.
【试题解析】连接 BD 得
23 9 49 ( 9)cos cos 0 0 92 3 6
xDAB BCD xx
由面积公式的面积为16 2
15.【答案】2
【考查目标】本题考查对数的运算法则、对数函数的图像和性质,考查考生观察能力、运算求解能
力、画图能力,属于稍难题.
【 试 题 解 析 】 根 据 函 数 图 象 性 质 得 函 数 的 图 象 关 于 直 线 1x 对 称 , 则 易 得
1 4 2 3 1 2 3 42, 2, 4x x x x x x x x
又 1 2 1 2 1 2
1 2
1 1( ) ( ) log ( 1) log ( 1) ( 1)( 1) 1 1a af x f x x x x x x x
同理可得
3 4
1 1 1x x
,则
1 2 3 4
1 1 1 1 2x x x x
16.【答案】 5
3
【考查目标】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查考生运算求解能力,属于稍难题
【试题解析】由题意可知,直线 AB 的斜率存在且不为 0,
故设直线方程为: ( 1), 0y k x k 代入抛物线方程得 2 2 2 2(2 1) 0k x k x k ①
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y , 21 4 0k ②
2
1 2 1 22
1 2 , 1kx x x xk
,则 AB 中点坐标为
2
2
1 2 1( , )2
k
k k
AB 中垂线方程为
2
2
1 1 1 2( )2
ky xk k k
,令 0y 得 2
1 1
2 2t k
,则 2
1 1( ,0)2 2M k
ABE 为正三角形, M 到 AB 直线的距离 3
2d AB ,
2 2
2 2
1 2 2
1 3 3 1 4 391 12 2 2 13
k kk x x k kk k
代入②满足,则 5
3t
17.【答案】 4
7
【考查目标】本题考查向量的运算、平面向量的基本定理,考查考生综合运用向量、三角、不等式
等知识解决问题的能力,属于难题.
【试题解析】
1
22
1 2
2
AD AB AE AB AD AE
AE AE ADAE AD AC
,设 , ,AD x AE y DE m
2 2 2 22 2 4 2 4 2AB AD AC AE x AD AE y AD AE AD AE y x
2 2 2
2 2 2 2 25 14 22 7 7
x y m y x y x m
2 2
2 2 2
2 8
47 7cos 2 2 7
x mx m yADC mx mx
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.
18. 【答案】(1)
2
或 3
2
;(2) 3 1[ , ]4 4
【考查目标】本题考查三角函数的图像和性质、函数的奇偶性,考查考生三角函数的恒等变形能力,
属于基础题.
【试题解析】
(1) ( )f x 奇 ( ) ( ) 0f x f x 恒成立——————2 分
cos( ) cos( ) 0 2 cos cos 0x x x 恒成立————4 分
cos 0 ,又 [0,2 ) ,所以
2
或 3
2
.————————6 分
(2) 3 1sin ( ) sin cos( ) sin ( cos sin )6 6 2 2y x f x x x x x x ——8 分
23 1 3 1sin cos sin sin2 (1 cos2 )2 2 4 4x x x x x ——————10 分
1 1 1 1( 3 sin 2 cos 2 ) sin(2 )4 4 2 6 4x x x ————————12 分
因为 1 sin(2 ) 16x ,所以 3 1
4 4y ,
所以函数 sin ( )6y x f x 的值域是 3 1[ , ]4 4
.————————14 分
19. 【答案】(1)见解析;(2) 7
8
【考查目标】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理、用向量工具求二面
角的方法,考查考生空间想象能力和运算求解能力,属于基础题.
【试题解析】
(1)如图,作 EH BC 于 H ,连 DH ,————1 分
平面 BCE 平面 ABCD , EH 平面 ABCD ,
且 3EH ————3 分
又 FD平面 ABCD ,且 3FD ,
/ /EH FD ,且 EH FD ,四边形 EFDH 是平行四边形, / /EF HD ————5 分,
/ /
/ /
EF ABCD
HD ABCD EF ABCD
EF HD
平面
平面 平面 ——————7 分
(2) 60
ABCD
ABC AH BC
H BC
菱形
是 中点
,——————8 分
以 H 为原点, , ,HB HA HE 所在直线为 , ,x y z轴建立空
间直角坐标系,如图所示.————9 分
则 (0, 3,0), (1,0,0), (0, 3, 3), (2, 3, 3)A B E F
有 ( 1, 3,0), ( 1,0, 3), ( 3, 3, 3)BA BE BF ————10 分
设平面 ABF 的一个法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z ,
由 1 1 1 1
1 1 1
0 3 3 3 0
0 3 0
n BA x y z
n BF x y
,令 1 1y ,取 1 ( 3,1,2)n ,————11 分
设平面 BEF 的一个法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z ,
由 2 2 2 2
2 2 2
0 3 3 3 0
0 3 0
n BE x y z
n BF x z
,令 2 1z ,取 2 ( 3,2,1)n ,————12 分
则 1 2
1 2
1 2
7cos 8
n nn n
n n
, ,——————14 分
由题意知二面角 A BF E 是钝二面角,故二面角 A BF E 的余弦值是 7
8
.——15 分
20.【答案】(1) 1 1a ;(2) 3 2n n
na ;(3)见解析
【考查目标】本题考查等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式,递推数列求通项的方法,
考查考生运用所学的数学方法:数学归纳法,比较法、放缩法解决问题的能力,属于稍难题.
【试题解析】
(1)
1 2
2
2 3
2
2 1 3
2( 2) 1
2( 2 ) 1
( 6)
S a
S a
a a a
1 2
1 2 3
2
2 1 3
2( 2) 1
2( 4) 1
( 6)
a a
a a a
a a a
————————2 分
2 1
2 2
3 1 1 1 1 1 1
2
2 1 3
2 3
6 13 (2 3) (6 19) 2 7 9 0
( 6)
a a
a a a a a a a
a a a
————3 分
因为 1 0a ,所以 1 1a ————4 分
(2) 1
1 12( 2 ) 1 2 2 1n n
n n n nS a S a
当 2n 时,
1
1
1 1
1
2 2 1 2 2 3 2
2 2 1
n
n n n n
n n n n nn
n n
S a a a a a a
S a
————6 分
又 1 2 2 11, 5 3 2a a a a 符合上式,所以 1 3 2n
n nn N a a
, ————7 分
1
1
3 1
2 2 2 2
n n
n n
a a
1
1
31 ( 1) { 1}2 2 2 2
n n n
n n n
a a a
是首项为 3
2
,公比为 3
2
的等比数列
31 ( ) 3 22 2
n n nn
nn
a a ————10 分
(3)因为,当 2n 时,
2 2 25 5(3 2 ) 3 4 3 2 4(3 2 ) 0 3 2 39 9
n n n n n n n n n n
1 9 1
3 2 5 3n n n ————13 分
易知 1n 时,原不等式成立;当 2n 时:
1
2 3 2
1 2
111 1 1 5 1 1 1 9 1 1 131 ( ) 1 (13 )19 3 3 3 5 9 10 31 3
n
n n
na a a
综上,原不等式 n N 成立————15 分
21. 【答案】(1)
2 2
14 3
x y ;(2)
2
2
12 1
e
e
【考查目标】本题考查椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生函数与方程
思想、数形结合思想,逻辑推理能力和运算求解能力.
【试题解析】
(1)
2 2
2 4
2, 31 9 14
a
a b
a b
,所以椭圆方程为
2 2
14 3
x y ——————4 分
(2)法一:坐标法
设 0 0 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )P x y A x y B x y, , ,
当 0 0y 时,
2 2 2
2 2 2
2( ) 2(1 )
1
a c a c a c e
a c a c a c e
——————5 分
当 0 0y 时, PA x my c : , PB x ny c : ,——————7 分
其中: 0 0
0 0
x c x cm ny y
, ,从而
2 2
2 2 2 2 2 2 20
0 02
0
2( ) ( ) 2( )x cm n y m n x cy
————9
分
由
4
2 2 2 2 2 4
0 1 2 2 22 2 2 2 2 2 ( ) 2 0x my c ba b m y b mcy b y y a b mb x a y a b
——————
11 分
同理
4
0 2 2 2 2
by y a b n
,从而
2 2 2 2
4
0 1 0 2
1 1 2 ( )a b m n
y y y y b
——————13 分
2 2 2 2 2 22 2 2 2
0 0 2 2 0 0
0 0 4 4
1 2 0 1 0 2
2 ( )1 1 2 ( )( ) [ ]y y a y b y m na b m ny yy y y y y y b b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
4 4 4 2
2 2 ( ) 2( ) 2 2 2 2a y b x c b x a y b c a b b c a c
b b b b
2 2 2
2 2 2
2(1 )2 1
a c e
a c e
——————15 分
法二:三角法
不妨设点 P 在 x轴上方,由余弦定理易得:
2 2
1
1
cos 1 cos
b bPF a c a e
,
2
1
1
1 cos
bFA a e
2 2
2
1
cos 1 cos
b bPF a c a e
,
2
2
1
1 cos
bF A a e
——————8 分
所以 1
1
1 cos 2 11 cos 1 cos
PF e
F A e e
, 2
2
1 cos 2 11 cos 1 cos
PF e
F A e e
——————10 分
又
2 2
1 2
1 12 21 cos 1 cos
b bPF PF a aa e a e
2
2
1 1 2
1 cos 1 cos
a
e e b
————13 分
所以
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 4 2(2 ) 2( ) 2(1 )2 21 cos 1 cos 1
a a b a c e
e e b b a c e
————15 分
22. 【答案】(1) 3a ;(2) e
【考查目标】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式,考查考
生函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,
证明不等式的关键是先将问题进行等价转化,再构造函数利用导数研究新函数的性质.
【试题解析】
(1) ( ) 1 af x x
————2 分,
由题意知 (2) 1 2 32
af a ————4 分
(2)
( ) ln ln ln lna x a x x a x x a af x x e x a x x e e x x a x e e x x — —
——7 分
设 ( ) lng t t t ,则原不等式 ( ) ( )x ag e g x ——————9 分
由 1 1( ) 1 tg t t t
,易知 0 1t 时, ( ) 0g t , 1t 时, ( ) 0g t ,
所以 ( ) lng t t t 在 (0,1) 上单调减,在 (1, ) 上单调增——————11 分
因为是求a的最小值,故设 0a ,又 1x ,所以 , (0,1)x ae x ————12 分
所以 1 ln( ) ( )x a x a xg e g x e x a x
,原不等式恒成立 max
1 ln( )x
a x
————13 分
设 ln( ) ( 1)xh x xx
,则 2
1 ln( ) xh x x
,易知1 x e 时, ( ) 0h x , x e 时, ( ) 0h x ,
所以 ln( ) xh x x
在(1, )e 上单调增,在 ( , )e 上单调减 max
1( ) ( )h x h e e
———14 分
所以 min
1 1 a e a ea e
——————15 分