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- 2021-06-10 发布
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2017-2018学年湖北省重点高中联考协作体高二上学期期中考试B数学(文)试题
第Ⅰ卷 选择题(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线:,则其焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
3.命题“,使得”为真命题,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知函数,则( )
A. B.0 C. D.1
5. 表示空间两条直线,为一平面,若与平面所成角相等;与平行,则是( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
6.函数在上的最大值和最小值分别是( )
A.2,-18 B.-18,-25 C.2,-25 D.2,-20
7.已知为椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点,若,则等于( )
A. B. C. D.
8.下列命题是真命题的是( )
(1)若,则
(2)若,则
(3)函数有且仅有一个零点
(4)数列的前项和,则数列为等差数列
A.(1)(2) B.(2)(3) C. (2)(4) D.(3)(4)
9.已知双曲线(,)的实轴的两端点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
10.函数的图象是( )
11.已知椭圆()的右焦点,短轴的一个端点为,直线交椭圆于两点,若,且点到直线的距离不小于,则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.已知命题“函数在区间上是增函数”;命题“存在,使成立”,若为真命题,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知双曲线()的离心率为,那么双曲线的渐近线方程为 .
14.函数的极大值为 .
15.已知为抛物线上一个动点,定点,那么点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和的最小值是 .
16.设函数是定义在上的偶函数,为其导函数,当时,,且,则不等式的解集为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知“实数满足:()”;“实数满足:方程表示双曲线”;若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
18. 已知函数,在处有极值1.
(1)求的值;
(2)求函数的单调区间和极值.
19. 动点到直线的距离等于它到定点的距离
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设过点且斜率为的直线交曲线于两点,且,求的方程.
20. 已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)若对任意的恒成立,求实数的取值范围.
21. 已知椭圆()的离心率是,其左、右焦点分别为,短轴顶点分别为,如图所示,的面积为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点(异于点),证明:直线和的斜率和为定值.
22.已知函数.
(1)若,求函数在点处的切线方程;
(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围.
湖北省重点高中联考协作体高二数学试卷(文B)
参 考 答 案
一.选择题
1.B【解析】 ,焦点在轴正半轴,故焦点坐标是故选B.
2.D【解析】:由特称命题的否定为全称命题可知,命题的否定为, ,故选D.
3.B【解析】,恒成立,等价于,故选B.
4.B【解析】 ,故选B
5. C 【解析】:与所成角相等,未必平行;平行,则与所成角相等;则但不能推出,故选C
6.C 【解析】由,知.在递减,递增,最小值又故选C.
7.D【解析】设P为轴上方点其坐标为,,,则 ,
,,故选D.
8.B 【解析】(1)错,特别,(2)对,三角函数线判断,(3)对,,
在处取得最小值(4)错,前项和含有常数项是等差数列,故选B.
9.C【解析】圆心到直线的距离为则则又
则故选C
10.A【解析】,函数在递减,在递增,最小值为,又函数为奇函数,故函数在递增,在递减,时有最大值为,故选A.
11.A 【解析】不妨取,到的距离,,设左焦点,由椭圆的对称性, ,,,,故选
12.B命题: ,在上单调递增,等价于,恒成立,
在(0,1]上为增函数,时取最大值,则;命题:问题转化为,使得 即而函数为减函数,
时有最大值为,则,又为真命题,故都为真命题,所以;∴的取值范围是故选B.
二. 填空题
13.【解析】,则,渐近线为.
14.【解析】,在递增,在递减,在有极大值.
15.【解析】抛物线的焦点为,设点到抛物线的准线的距离为,根据抛物线的
定义有,∴≥
16. 【解析】设,则,
函数在区间上是增函数, 是定义在上的偶函数,
故是上的奇函数,则函数在区间上是增函数,
而, ; 即,
当时,不等式等价于, 由,得;
当时,不等式等价于, 由,得,
故所求的解集为.
三. 解答题
17. 【解析】:真则
真则,解得
是的充分不必要条件,则而不能推出,
【解析】(1)则 ,且
得,
(2),定义域为得
有极小值
所以的单调增区间为,单调减区间为,极小值,无极大值.
19.【解析】:(1)依题意到点的距离等于它到直线的距离,
故动点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,则
曲线的方程为
(2)设的方程为代入抛物线得
由题意知,且,
设, ,∴, ,
由抛物线的定义知,
∴,∴,即
直线方程为,即,
20.【解析】(1)函数的定义域为
,
在,
所以当时,取最小值且为
(2)问题等价于:对恒成立,
令,则,
因为,所以,
所以在上单调递增,
所以, 所以
21. 【解析】(1), ,,又
所以椭圆的标准方程为
(2)证明:设直线的方程为,
联立得
,
=
直线与的斜率之和为定值
22.【解析】(1),,
切线方程为 ;
(2)(2),
当时,只有一个零点;
当时,由得,
由得,在上递增,上递减,上递增,又,不可能有两个零点;
由,在上递增,上递减,上递增,又时,,即的极大值,不可能有两个零点;
时,,仅在上是增函数,不可能有两个零点;
当时,只有一根,而在上递减,在上递增,
所以在内有一零点;
取满足,当时
所以在上有唯一的零点,故在有两个零点,
综上的取值范围为
湖北省重点高中联考协作体高二数学试卷(文B)
参 考 答 案
一.选择题
1.B【解析】 ,焦点在轴正半轴,故焦点坐标是故选B.
2.D【解析】:由特称命题的否定为全称命题可知,命题的否定为, ,故选D.
3.B【解析】,恒成立,等价于,故选B.
4.B【解析】 ,故选B
5. C 【解析】:与所成角相等,未必平行;平行,则与所成角相等;则但不能推出,故选C
6.C 【解析】由,知.在递减,递增,最小值又故选C.
7.D【解析】设P为轴上方点其坐标为,,,则 ,
,,故选D.
8.B 【解析】(1)错,特别,(2)对,三角函数线判断,(3)对,,
在处取得最小值(4)错,前项和含有常数项是等差数列,故选B.
9.C【解析】圆心到直线的距离为则则又
则故选C
10.A【解析】,函数在递减,在递增,最小值为,又函数为奇函数,故函数在递增,在递减,时有最大值为,故选A.
11.A 【解析】不妨取,到的距离,,设左焦点,由椭圆的对称性, ,,,,故选
12.B命题: ,在上单调递增,等价于,恒成立,
在(0,1]上为增函数,时取最大值,则;命题:问题转化为,使得 即而函数为减函数,时有最大值为,则,又为真命题,故都为真命题,所以;∴的取值范围是故选B.
二. 填空题
13.【解析】,则,渐近线为.
14.【解析】,在递增,在递减,在有极大值.
15.【解析】抛物线的焦点为,设点到抛物线的准线的距离为,根据抛物线的
定义有,∴≥
16. 【解析】设,则,
函数在区间上是增函数, 是定义在上的偶函数,
故是上的奇函数,则函数在区间上是增函数,
而, ; 即,
当时,不等式等价于, 由,得;
当时,不等式等价于, 由,得,
故所求的解集为.
三. 解答题
17. 【解析】:真则 ……2分
真则,解得……4分
是的充分不必要条件,则而不能推出, ……6分
18. 【解析】(1)则 ,且 ……2分
得, ……5分
(2),定义域为得……6分
有极小值……10分
所以的单调增区间为,单调减区间为,极小值,无极大值.……12分
19.【解析】:(1)依题意到点的距离等于它到直线的距离,
故动点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,则 ……3分
曲线的方程为 ……4分
(2)设的方程为代入抛物线得
由题意知,且,……6分
设, ,∴, ,
由抛物线的定义知,……8分
∴,∴,即……10分
直线方程为,即, ……12分
20.【解析】(1)函数的定义域为 ……1分
,
在,……4分
所以当时,取最小值且为……6分
(2)问题等价于:对恒成立,……7分
令,则,
因为,所以,
所以在上单调递增,……10分
所以, 所以 ……12分
21. 【解析】(1), ,,又
所以椭圆的标准方程为 ……4分
(2)证明:设直线的方程为,……6分
联立得
, ……8分
= ……11分
直线与的斜率之和为定值 ……12分
22.【解析】(1),,……2分
切线方程为 ; ……4分
(2)(2),
当时,只有一个零点;……5分
当时,由得,
由得,在上递增,上递减,上递增,又,不可能有两个零点;
由,在上递增,上递减,上递增,又时,,即的极大值,不可能有两个零点;
时,,仅在上是增函数,不可能有两个零点; ……7分
当时,只有一根,而在上递减,在上递增,
所以在内有一零点;……9分
取满足,当时
所以在上有唯一的零点,故在有两个零点,
综上的取值范围为……12分