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- 2021-06-10 发布
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2019-2020学年湖南省怀化市高二上学期学业水平测试模拟数学试题
一、单选题
1.已知集合,,则( ) .
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】试题分析:根据题意,由于集合,,那么可知两个集合的公共元素组成的集合为,故选C.
【考点】集合的交集
点评:主要是考查了集合的交集的运算,属于基础题.
2.在中,为的中点,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由向量的平行四边形法则可得的值.
【详解】
解:将上的延长,使得,
可得四边形为平行四边形,
可得,
故选:D.
【点睛】
本题主要考查向量加法的平行四边形法则,相对简单.
3.下列函数中,在其定义域上为减函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由减函数的定义,对各个选项一一判断可得答案.
【详解】
A选项,在定义域上为减函数,故A正确;
B选项, 在定义域上为增函数,故B不正确;
C选项,在是单调递减,在是单调递增,故C不正确;
C选项, 在其定义域上单调递增,故D不正确;
故选:A.
【点睛】
本题主要考查减函数的判断,相对简单.
4.函数f(x)=3x-x2的零点所在区间是
A.(0,1) B.(1,2) C.(-2,-1) D.(-1,0)
【答案】D
【解析】计算f(-1)<0,f(0)>0,根据零点存在性定理,可得结论.
【详解】
∵f(﹣1)=﹣1=<0,f(0)=1﹣0=1>0
∴根据零点存在性定理,可得函数f(x)=3x﹣x2的零点所在区间是(﹣1,0)
故选:D.
【点睛】
判断函数零点(方程的根)所在区间的方法
(1)解方程法:当对应方程易解时,可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上.
(2)定理法:利用零点存在性定理进行判断.
(3)数形结合法:画出相应的函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断,或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.
5.已知直线l过点(0,7),且与直线y=﹣4x+2平行,则直线l的方程为( )
A.y=﹣4x﹣7 B.y=4x﹣7 C.y=﹣4x+7 D.y=4x+7
【答案】C
【解析】试题分析:根据两直线平行斜率相等,设过P与直线l平行的直线方程是 y=﹣4x+m把点P(0,7)代入可解得 m,从而得到所求的直线方程,
解:设过P与直线l平行的直线方程是y=﹣4x+m,
把点P(0,7)代入可解得 m=7,
故所求的直线方程是y=﹣4x+7.
故选C.
【考点】直线的点斜式方程.
6.ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120,则a=
A. B.2 C. D.
【答案】D
【解析】试题分析:首先根据正弦定理得到,故可知角C为30,再利用内角和定理可知角A=30,则可知三角形中a=c=,故选D.
【考点】正弦定理
点评:本题给出三角形的两个角和一条边的长,求另外的边长,着重考查了三角形内角和定理和利用正余弦定理解三角形的知识,属于基础题.
7.在空间坐标系,若,,,则实数为( )
A.1 B.3 C.1或5 D.3或5
【答案】C
【解析】由空间中两点的距离公式,代入可得实数的值.
【详解】
解:由,,,
可得:,
解得:或,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查空间中两点的距离公式,相对简单.
8..右图是2009年中央电视台举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某
选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,
所剩数据的平均数和方差分别为( ).
A., B., C., D.,
【答案】C
【解析】【详解】
,选C.
9.函数的图象的一部分如图所示,则、的值分别为( )
A.1, B.1,
C.2, D.2,
【答案】D
【解析】由f(0)=sinφ=,|φ|<可以求得φ,又ω?+φ=π,可求ω的值.
解:∵f(x)=sin(ωx+φ),
∴f(0)=sinφ,又f(0)=,
∴sinφ=,又|φ|<,
∴φ=;
又ω?+φ=π,即ω?+=π,
∴ω=2.
故答案为D.
10.如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度:),在此几何体的表面积是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】三视图复原的组合体是下部是棱长为的正方体,上部是底面边长为的正方形,高为的四棱锥,组合体的表面积为
故选
二、填空题
11.已知函数,则 .
【答案】2
【解析】试题分析:根据题意,由于函数,那么当x=2时,则可知变量大于零,打入第一段解析式中可知为,故可知2,故答案为2.
【考点】分段函数
点评:主要是考查了分段函数的求值的运用,属于基础题.
12.若正实数、满足,则的最大值为______________.
【答案】1
【解析】由基本不等式及正实数、满足,可得的最大值.
【详解】
解:由基本不等式,可得正实数、满足,
,可得,故的最大值为,
故答案为:1.
【点睛】
本题主要考查基本不等式的简单应用,相对简单.
13.已知数列是等差数列,,则的前7项和______________.
【答案】49
【解析】由等差数列的性质可得,可得的前7项和的值.
【详解】
解:由数列是等差数列,可得,
故答案为:49
【点睛】
本题主要考查等差数列的前n项和的性质应用,注意运算准确.
14.我市某旅行社拟组团参加衡山文化一日游,预测每天游客人数在50至130人之间,游客人数(人)与游客的消费总额(元)之间近似地满足关系:.那么游客的人均消费额最高为______________元.
【答案】40
【解析】由题意列出人均消费额的函数,由基本不等式可得人均消费额最高值.
【详解】
解:由题意可得,
人均消费额,
故游客的人均消费额最高为40元,
故答案为:40.
【点睛】
本题主要考查基本不等式及函数模型的构建,只要认真审题,解答不难.
15.已知定义在上的奇函数满足,则的值为_______.
【答案】
【解析】根据函数是上的奇函数求得,根据得到函数的周期,由此求得的值.
【详解】
由于函数是上的奇函数,故.由于,故函数是周期为的周期函数.所以.
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性,考查函数的周期性,属于基础题.
三、解答题
16.已知等差数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)当为何值时,取得最大值.
【答案】(1) (2)6
【解析】(1)由,,列出关于的方程组,可得数列的通项公式;
(2)求出的表达式,由二次函数的性质,可得当取得最大时,的值.
【详解】
解:(1)因为,,所以.
解得,.
所以.
(2).
因为,所以当或时,取得最大值6.
【点睛】
本题主要考查等差数列通项公式的求法及等差前n项和的最值问题,相对不难。注意运算准确.
17.某班共有学生45人,其中女生18人,现用分层抽样的方法,从男、女学生中各抽取若干学生进行演讲比赛,有关数据见下表(单位:人)
性别
学生人数
抽取人数
女生
18
男生
3
(1)求和;
(2)若从抽取的学生中再选2人做专题演讲,求这2人都是男生的概率.
【答案】(1), (2).
【解析】(1)求出男生的数量,由抽样比相同,可得的值;
(2)分别求出从抽取的5人中再选2人做专题演讲的基本事件数,从3名男生选中的2人都是男生的事件数,可得抽出2人都是男生的概率.
【详解】
解:(1)由题意可得,,又,所以;
(2)记从女生中抽取的2人为,,从男生中抽取的3人为,,,
则从抽取的5人中再选2人做专题演讲的基本事件有
,,,,,
,,,,共10种.
设选中的2人都是男生的事件为,
则包含的基本事件有,,共3种.
因此.
故2人都是男生的概率为.
【点睛】
本题主要考查分层抽样及由古典概率公式计算概率,相对不难.
18.已知函数
(1)求的值;
(2)求的最大值及取得最大值时对应的的值.
【答案】(1) (2),.
【解析】(1)将与代入原函数可得答案;
(2)将化简为,可得函数的最大值及取得最大值时对应的的值.
【详解】
解:(1)将代入,将代入;
可得;
(2),
故,.
此时,,
即.
【点睛】
本题主要考查三角函数的化简求值,二倍角及两角和的三角函数及三角函数最值得求法,考查计算能力.
19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,底面,且PA=AB.
(1)求证:BD平面PAC;
(2)求异面直线BC与PD所成的角.
【答案】(1)见解析;(2)45º.
【解析】【详解】
(1)∵,
,
,
又为正方形,,
而是平面内的两条相交直线,
(2) ∵为正方形,∥,
为异面直线与所成的角,
由已知可知,△为直角三角形,又,
∵,,
异面直线与所成的角为45º.
20.已知圆C:.
(1)求圆的圆心C的坐标和半径长;
(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合,l与圆C相交于两点,求证:为定值;
(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点,求直线m的方程,使的面积最大.
【答案】(1)圆心C的坐标为(-1,0), 圆的半径长为2;(2)证明见解析; (3)
.
【解析】【详解】试题分析:(1)把圆的一般方程化为标准方程即可;(2)设出直线方程,联立圆的方程,根据根与系数的关系化简即可证出;(3)
试题解析:(1)配方得(x+1)2+y2=4,则圆心C的坐标为(-1,0)(2分), 圆的半径长为2;
(2)设直线l的方程为y=kx,联立方程组
消去y得(1+k2)x2+2x-3=0(5分),则有:
所以为定值.
(3)解法一 设直线m的方程为y=x+b,则圆心C到直线m的距离,
所以,
≤,
当且仅当,即时,△CDE的面积最大
从而,解之得b=3或b=-1,
故所求直线方程为x-y+3=0或x-y-1=0
解法二 由(1)知|CD|=|CE|=R=2,
所以≤2,
当且仅当CD⊥CE时,△CDE的面积最大,此时
设直线m的方程为y=x+b,则圆心C到直线m的距离
由,得,
由,得b=3或b=-1,
故所求直线方程为x-y+3=0或x-y-1=0.
点睛:本题考查圆的一般方程与标准方程,以及直线与圆的位置关系,涉及定点问题,属于难题,解决此类问题时,联立方程,消元得一元二次方程,利用根与系数的关系去处理问题,是常规思路,要求熟练掌握,同时圆的问题要注意圆的平面几何性质的利用,可以简化解题.