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- 2021-06-10 发布
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【高频考点解读】
1..理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tanα
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α 正弦、余弦、正切的诱导公式
【热点题型】
热点题型一 三角函数的诱导公式
例1、【2017北京,理12】在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若,=___________.
【答案】
【变式探究】(1)计算:2sin+cos12π+tan=________。
(2)已知cos=,则sin=________。
(3)已知f(x)=,则f=________。
【答案】 (1)1(2)-(3)-1
【解析】(1)原式=2sin+1+
tan
=2sinπ+1-tan
=2sin+1-1
=2sin
=1。
(2)因为+=-,所以sin=sin
=-sin=-cos=-。
【提分秘籍】
1.诱导公式的两个应用
(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了。
(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了。
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα。
【举一反三】
已知sin=,则cos的值为 ( )
A. B.- C.- D.
解析:因为sin=,
所以cos=cos
=-sin=-。
答案:B
热点题型二 同角三角函数关系式的应用
例2、 (1)已知α是第四象限角,sinα=-,则tanα=( )
A.- B. C.- D.
(2)化简:(1+tan2α)(1-sin2α)=________。
【答案】(1)C (2)1
【解析】(1)因为α是第四象限角,sinα=-,
所以cosα==,
故tanα==-,故选C。
(2)原式=cos2α=cos2α+sin2α=1。
【提分秘籍】 同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可以实现角α的弦切互化。
(2)关系式的逆用及变形用:1=sin2α+cos2α, sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α。
(3)sinα,cosα的齐次式的应用:分式中分子与分母是关于sinα,cosα的齐次式,或含有sin2α,cos2α及sinαcosα的式子求值时,可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin2α+cos2α=1”代换后转化为“切”后求解。
【举一反三】
设cos(-80°)=k,那么tan100°等于( )
A. B.-C. D.-
解析:因为cos(-80°)=cos80°=k,
所以sin80°==。
所以tan100°=-tan80°=-=-。
答案:B
热点题型三 两类公式在三角形中的应用
例3.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin (π-B),cosA=-cos(π-B),求△ABC的三个内角。
解析:由已知,得
①2+②2,得2cos2A=1,得cosA=±。
当cosA=时,cosB=,
又A、B是三角形的内角,∴A=,B=。
∴C=π-(A+B)=π。
当cosA=-时,cosB=-。
又A、B是三角形的内角,∴A=π,B=π,不符合题意。
综上,A=,B=,C=π。
【提分秘籍】
1.诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B=π-C,2A+2B=2π-2C,++=等,于是可得sin(A+B)=sinC,cos=sin等;
2.求角时,通常是先求出该角的某一个合适的三角函数值,再结合其范围,确定该角的大小。
【举一反三】
已知θ为△ABC的一个内角,且sinθ+cosθ=m,若m∈(0,1),则关于△ABC的形状的判断,正确的是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.三种形状都有可能
【高考风向标】
1.【2017山东,理9】在中,角,,的对边分别为,,.若为锐角三角形,且满足,则下列等式成立的是
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】
所以,选A.
2.【2017北京,理12】在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若,=___________.
【答案】
【解析】因为和关于轴对称,所以,那么, (或),
所以.
1.【2016高考新课标3理数】在中,,边上的高等于,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
2.【2016高考新课标2理数】若,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】 ,
且,故选D.
3.【2016高考新课标3理数】若 ,则( )
(A) (B) (C) 1 (D)
【答案】A
【解析】
由,得或,所以,故选A.
4.【2016年高考四川理数】= .
【答案】
【解析】由二倍角公式得
【2015江苏高考,8】已知,,则的值为_______.
【答案】3
【解析】
【2015高考福建,理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到:先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移个单位长度.
(Ⅰ)求函数的解析式,并求其图像的对称轴方程;
(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解.
(1)求实数m的取值范围;
(2)证明:
【答案】(Ⅰ) ,;(Ⅱ)(1);(2)详见解析.
【解析】解法一:(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到的图像,再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像,故,从而函数图像的对称轴方程为
(2)1)
(其中)
依题意,在区间内有两个不同的解当且仅当,故m的取值范围是.
解法二:(1)同解法一.
(2)1) 同解法一.
2) 因为是方程在区间内有两个不同的解,
所以,.
当时,
当时,
所以
于是
【2015高考山东,理16】设.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)在锐角中,角的对边分别为,若,求面积的最大值.
【答案】(I)单调递增区间是;
单调递减区间是
(II) 面积的最大值为
(Ⅱ)由 得
由题意知为锐角,所以
由余弦定理:
可得:
即: 当且仅当时等号成立.
因此
所以面积的最大值为
(2014·福建卷)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.
(1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
【解析】方法一:(1)因为0<α<,sin α=,所以cos α=.
所以f(α)=×-
=.
方法二:f(x)=sin xcos x+cos2x-
=sin 2x+-
=sin 2x+cos 2x
=sin.
(1)因为0<α<,sin α=,所以α=,
从而f(α)=sin=sin=.
(2)T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2014·重庆卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f=,求cos的值.
【解析】(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.
又因为f(x)的图像关于直线x=对称,
所以2×+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….
因为-≤φ<,
所以φ=-.
(2)由(1)得ƒ=sin(2×-)=,
所以sin=.
由<α<得0<α-<,
所以cos===.
因此cos
=sin α
=sin
=sincos+cossin
=×+×
=.
【高考冲刺】
1.cos的值是 ( )
A.- B. C. D.-
【解析】选C.cos=cos=cos=.
2.已知α∈(0,π),且sinα+cosα=,则sinα-cosα的值为 ( )
A.- B.- C. D.
3.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2015)=-1,那么f(2016)等于 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选C.因为f(2015)=asin(2015π+α)+bcos(2015π+β)=-asinα-[]
bcosβ=-1,所以f(2016)=asin(2016π+α)+bcos(2016π+β)=asinα+
bcosβ=1.
4.若tanα=2,则的值是 ( )
A.- B.- C. D.
【解析】选A.由tanα=2,则==-.
5.若角α的终边落在直线x+y=0上,则+= ( )
A.-2 B.2 C.-2或2 D.0
【解析】选D.由题意得α在第二或第四象限,所以+=+=0.
6.已知α为第一象限角,且=3+2,则cosα= ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由题意得tanα==,又因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,又因为α为第一象限角,所以cosα=.
7.设θ是三角形的内角,若函数f=x2cosθ-4xsinθ+6对一切实数x都有f>0,则θ的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.由题意得
解得cosθ>,所以θ的取值范围是.
8.已知cosα是3x2-x-2=0的根,且α为第三象限角,则=( )
A. B.- C.- D.
【解析】选D.因为α为第三象限角,所以cosα<0,cosα=-,
原式==tan2α===.
9.已知cos=,且-π<α<-,则cos= .
【解析】因为-π<α<-,
所以-<+α<-,
因为cos=,
所以sin=-,
所以cos=cos
=sin=-.
【答案】-
10.已知sinα+cosα=,则sinα-cosα= .
【解析】由sinα+cosα=,
平方得1+2sinαcosα=2①,
设sinα-cosα=t,
平方得1-2sinαcosα=t2②
由①②相加得2=2+t2,所以t2=0,t=0.
【答案】0
11.若tan=,则sinθcosθ= .
【解析】tan==,得tanθ=,
所以sinθcosθ====.
【答案】
12.已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),则= .
【解析】由已知得,-sinα=2cosα,即tanα=-2,
所以
===-.
【答案】-
13.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°= .
【解析】因为sin=cosα,所以当α+β=90°时,sin2α+sin2β=sin2α+cos2α=1,
设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°,
则S=sin289°+sin288°+sin287°+…+sin21°
两个式子相加得2S=1+1+1+…+1=89,S=44.5.
【答案】44.5
14.已知函数f(x)=sinx-cosx且f ′(x)=2f(x),f ′(x)是f(x)的导函数,则= .
【解析】因为f ′(x)=cosx+sinx,f ′(x)=2f(x),所以cosx+sinx
=2(sinx-cosx),所以tanx=3,
所以=
===-.
【答案】-
15.在△ABC中,若sin=-sincos
=-cos,求这个三角形的内角.
16.已知θ是三角形中的最小角,并且满足关于θ的方程cos2θ+2msinθ-2m-2=0有实数解,求实数m的取值范围.
【解析】因为θ是三角形中的最小角,
所以0<θ≤,0