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- 2021-06-10 发布
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2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛
高一数学试题参考答案
试卷总分:100分 考试时间:120分钟
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.设点是函数图象上的任意一点,过点分别作直线和轴的垂线段,垂足分别为,则( )
A. B. C. D.
答案A.
解析:设则,所以.
2.在边长为1的正方体中,异面直线与间的距离为( )
A. B. C. D.
答案B.
解析:,则异面直线与间的距离转化为与之间的距离,转化为点到的距离。
利用等体积法,易得.
3.方程的实数解为( )
A. B. C. D.
答案A.
解析:,考虑,
又,所以取等条件为
4.如图,在中,点为边上的一点,且.过点的直线分别交直线于不同的两点.若,则的值为( )
A. B. C. D.
答案C.
解析:,
由三点共线,则
7
5.若对所有正数不等式都成立,则的最小值是( )
A. B. C. D.
答案D.
解析:依题由则.
6.设参数,若动直线,则在平面内所围成的封闭区域面积为( )
A. B. C. D.
答案C.
解析:原点到直线的距离,则动直线表示单位圆的所有切线,因此围城区域面积即为单位圆面积,故为
7.已知上一点,分别是圆与
圆上的点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
答案C.
解析:由,,
则.
求点关于直线的对称点为,
则
当且仅当三点共线时,取得最大值为5
8.一个圆锥和一个圆柱,下底面在同一平面上,它们有公共的内切球,记圆锥的体积为,圆柱的体积为,且,则的最小值为( )
A. B. C. 1 D.
答案D
解析:设内切球的半径为,过球心作轴截面如图.
则圆柱的底面半径为,高为,
设圆锥的底面半径为,高为,则,
由,则
,故,
7
其中,当取等.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.设是定义在上的函数,对任意的,都有≤,
≥,如果,则的值为 .
答案2019.
解析:;
则,取等条件为,.
故,则.
10.设常数使得方程在平面直角坐标系中表示两条
相交直线,交点为. 若点,分别在这两条直线上,且,则
.
答案
解析:原方程因式分解为:,则.
直线与直线交于.设直线的倾斜角分别为,则两直线夹角,
则,故
11.若为一个平方数,则正整数
答案10.
解析:当,
下证:当时,不可能为平方数.
假设为完全平方数,
则,(其中为奇数,且)整理得,
故,相减可得,其中
方程左边除以4的余数为2,右边除以4的余数为0,矛盾
(此处也可以解得,并说明唯一解,但这与矛盾).
12.已知集合,,定义函数:.设点,,,的外接圆圆心为,且,则满足条件的函数有 _______个.
答案16.
7
解析:设中点为,则,所以落在中线上.由为外心,故为中垂线。即.由距离公式可得或.
若,则
,共12种;
若,则
,共4种;
所以共有12+4=16种.
三、解答题(本大题共3小题,共40分)
13.(12分)已知向量,的夹角为,,,,,
在时取得最小值,若<<,求的取值范围.
解析:法一设 ………………………………4分
则, ………………………………8分
据题解得故………………12分
法二:,………………4分
由所以,
,则……8分
据题解得故 ………………12分
14.(12分)
过点作抛物线的两条切线,切点分别为, .
(Ⅰ) 证明: 为定值;
(Ⅱ) 记的外接圆的圆心为点, 定点,对任意实数,试判断
以为直径的圆是否恒过点?并说明理由.
解:(Ⅰ)解法1: 因为点和在抛物线上, 所以,.
设切线斜率为,则切线方程为:
与抛物线联立,消可得,,
7
则,故 同理
所以直线的方程为.
(此处可利用求导得)…………………………………2分
因为点在直线上,
所以,即.
同理, . ………………………………4分
所以是方程的两个根.
所以.
又,
所以为定值. ………………………………6分
解法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为,
由消去得, …………………………2分
由, 化简得.
所以. ……………………………4分
由于的,根据求根公式,
从而,同理
所以, 即. 又,
所以为定值. …………………………………………6分
(Ⅱ) 法1:直线的垂直平分线方程为, ……………7分
由于,,
所以直线的垂直平分线方程为. ① ……………8分
同理直线的垂直平分线方程为. ② ……………9分
7
由①②解得, , 所以点.
则
由于, 所以
所以以为直径的圆恒过点
另法: 以为直径的圆的方程为 ……11分
把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.
所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分
法2:设点的坐标为,
则△的外接圆方程为,
由于点在该圆上,
则,
.
两式相减得, ① …………6分
由(Ⅰ)知,代入上式得
, ……………………………………8分
当时, 得, ②
假设以为直径的圆恒过点,则即,
得, ③
由②③解得, …………………………………………………10分
所以点.
当时, 则,点.
所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分
7
15. (16分)已知函数是定义域和值域都在上的严格增函数,满足,
求的值.
解析:①首先证明:.
若,则,而,矛盾。…………………2分
若,则由函数严格单调递增,可知,矛盾。
综上可知, …………………………………4分
②再证.
由,可得,
故…………………………………6分
所以,则…………8分
由于,且,
所以,其中……………………………12分
③其中……………14分
故…………………………………16分
7