专题09+平面向量及其应用（热点难点突破）-2019年高考数学（文）考纲解读与热点难点突破 6页

‎1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)‎ A．(2,4)　　　　　　　 B．(3,5)‎ C．(1,1) D．(－1，－1)‎ ‎【答案】C　【解析】＝＝－＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．‎ ‎2．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)‎ A.＋ B．＋ C.＋ D.＋ ‎【答案】B　【解析】因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋＋)＝＋，故选B.‎ ‎3．已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．120°‎ ‎【答案】A　【解析】因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.‎ ‎4．将＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到，则＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋)，||＝||，则向量在方向上的投影等于(　　) ‎ A．－ B． C. D．3‎ ‎【答案】C　【解析】由＝(＋)可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以||＝||＝||.又因为||＝||＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且||＝，所以在方向上的投影为||·cos∠ABC＝×cos 30°＝，故选C.‎ ‎6．已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)‎ A．(0,1)　　 　　 B．(1，＋∞)‎ C．(1，] D．(－1,0)‎ ‎【答案】B　【解析】由题意可得＝k ＝kλ＋kμ(01，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.‎ ‎7．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为(　　)‎ A．4 B．－4‎ C. D．－ ‎【答案】B　【解析】∵n⊥(tm＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，‎ ‎∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.‎ 又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，‎ 解得t＝－4.故选B.‎ ‎8．如图33，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于(　　)‎ 图33‎ A．－ B．－ C．－ D．－ ‎【答案】B　【解析】∵＝2，圆O的半径为1，‎ ‎∴||＝，‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝2＋0－1＝－.‎ ‎9．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝，n＝，点P在y＝cos x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足＝m⊗OP＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间上的最大值是(　　) ‎ A．4 B．2‎ C．2 D．2 ‎【答案】A　【解析】因为点P在y＝cos x的图象上运动，所以设点P的坐标为(x0，cos x0)，设Q点的坐标为(x，y)，则＝m⊗＋n⇒(x，y)＝⊗(x0，cos x0)＋⇒(x，y)＝⇒ 即⇒y＝4cos ，‎ 即f(x)＝4cos，‎ 当x∈时，‎ 由≤x≤⇒≤2x≤⇒0≤2x－≤，‎ 所以≤cos ≤1⇒2≤4cos ≤4，‎ 所以函数y＝f(x)在区间上的最大值是4，故选A.‎ ‎10．已知平面向量a与b的夹角为，a＝(1，)，|a－2b|＝2，则|b|＝__________.‎ ‎【答案】2　‎ ‎【解析】由题意得 |a|＝＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝22－4×2cos|b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．‎ ‎11．已知非零向量与满足·＝0, 且|－|＝2，点D是△ABC中BC边的中点，则·＝________.‎ ‎12．在如图32所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．‎ 图32‎ ‎【答案】 ‎【解析】设e1，e2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(x a＋y b)，∴e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，∴∴则的值为.‎ ‎13．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】∵⊥，∴·＝0，‎ ‎∴(λ＋)·＝0，‎ 即(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝0.‎ ‎∵向量与的夹角为120°，||＝3，||＝2，‎ ‎∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.‎ ‎14．已知点O是边长为1的正三角形ABC的中心，则·＝__________.‎ ‎【答案】－　‎ ‎【解析】∵△ABC是正三角形，O是其中心，其边长AB＝BC＝AC＝1，∴AO是∠BAC的平分线，且AO＝，∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝1×1×cos 60°－×1×cos 30°－×1×cos 30°＋2＝－.‎ ‎15．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x， sin x)，x∈.‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．‎ ‎[解]　(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2 x，‎ ‎|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，‎ 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.4分 又x∈，从而sin x＝，‎ 所以x＝.6分 ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2 x ‎＝sin 2x－cos 2x＋ ‎＝sin＋，9分 当x＝∈时，sin取最大值1.‎ 所以f(x)的最大值为.12分 ‎16．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b夹角的大小为________．‎ 解析：|a＋xb|≥|a＋b|恒成立⇒a2＋2xa·b＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2恒成立⇒x2＋2a·bx－1－2a·b≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b)2－4(－1－2a·b)≤0⇒(a·b＋1)2≤0，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，故a与b的夹角的大小为.‎ 答案：π ‎17．已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝，其外接圆的圆心为O，则·＝________.‎ ‎18．已知非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|，〈c－a，c－b〉＝，则的最大值为________．‎ 解析：设＝a，＝b，则＝a－b.‎ ‎∵非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|，‎ ‎∴△OAB是等边三角形．‎ 设＝c，‎ 则＝c－a，＝c－b.∵〈c－a，c－b〉＝，‎ ‎∴点C在△ABC的外接圆上，‎ ‎∴当OC为△ABC的外接圆的直径时，取得最大值，为＝.‎ 答案： ‎