2017-2018学年江西省赣州市十四县（市）高二上学期期中数学试题（理科）（解析版） 24页

‎2017-2018学年江西省赣州市十四县（市）高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）‎ ‎1．（5分）设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1⊥l2，则k=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．±1 D．0‎ ‎2．（5分）总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（　　）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎3．（5分）已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2=3c2﹣b2，则cosC的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（　　）‎ A．5 B．7 C．11 D．13‎ ‎6．（5分）若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2+x1，2+x2，…，2+xn，下列结论正确的是（　　）‎ A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3‎ C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4‎ ‎7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为20，则判断框中可以填（　　）‎ A．k＞7 B．k＞8 C．k＜7 D．k＜8‎ ‎8．（5分）已知，为单位向量，且，则在上的投影为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎10．（5分）下列命题中正确的个数有（　　）‎ ‎①若a∥b，a⊂α，则b∥α．‎ ‎②若a，b为两异面直线，则过不在a，b上的定点A有且仅有一条直线与a，b相交．‎ ‎③两个不重合的平面α，β，两条异面直线a，b，若a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β．‎ ‎④若平面EFGH与平行四边形ABCD相交于AB，则CD∥平面EFGH．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎11．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知（a4﹣1）3+2017（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1，则下列结论正确的是（　　）‎ A．S2017=﹣2017，a2014＜a4 B．S2017=2017，a2014＞a4‎ C．S2017=﹣2017，a2014＞a4 D．S2017=2017，a2014＜a4‎ ‎12．（5分）已知x，y满足则的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．6‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，请将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n项和等于　 　．‎ ‎14．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB=2，则三棱锥B﹣PQD的体积为　 　．‎ ‎15．（5分）三棱锥A﹣BCD，AB=AD=，底面BCD为等边三角形，且平面ABD⊥平面BCD，求三棱锥A﹣BCD外接球的表面积　 　．‎ ‎16．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=CD=1，AB=2，E，F分别为AB，AC的中点，设以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上的动点为P（如图所示），则的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（17题10分，其它题12分，共70分，写出必要的文字说明）‎ ‎17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥‎ 平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB=2，．‎ ‎（1）求证：OM∥平面PAB．‎ ‎（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．‎ ‎18．（12分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=．‎ ‎（1）若a+b=5，求△ABC面积的最大值；‎ ‎（2）若a=2，2sin2A+sinAsinC=sin2C，求b及c的长．‎ ‎19．（12分）东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x（单位：年，x∈N*）和所支出的维护费用y（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：‎ ‎ 使用年限x（年）‎ ‎ 1‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎ 5‎ 维护费用y（万元） ‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎7.5 ‎ ‎8 ‎ ‎ 9‎ ‎（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y关于x的线性回归方程=x+；‎ ‎（2）若规定当维护费用y超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值．‎ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式：=，=﹣．‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an=Sn+1（n∈N*）‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=（2n+1）•an，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎21．（12分）如图所示的空间几何体，底面四边形ABCD为正方形，AF⊥AB，AF∥BE，平面ABEF⊥平面ABCD，DF=，CE=2，BC=2．‎ ‎（1）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；‎ ‎（2）求直线BE与平面DEF所成角的正弦值．‎ ‎22．（12分）已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）过点（﹣1，0）作直线与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形OASB中||=|﹣|？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年江西省赣州市十四县（市）高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）‎ ‎1．（5分）设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1⊥l2，则k=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．±1 D．0‎ ‎【分析】根据直线的垂直的关系即可求出．‎ ‎【解答】解：设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，‎ 若l1⊥l2，1×k﹣1×（﹣k）=0，‎ 解得k=0，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了直直线和直线垂直，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（　　）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．‎ ‎【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于30的编号依次为08，02，14，07，02，01，‎ 则第6个个体的编号为01．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体由圆锥的与一个三棱柱组成的．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体由圆锥的与一个三棱柱组成的．‎ ‎∴该几何体的体积V=+=1+．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥与三棱柱的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2=3c2﹣b2，则cosC的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意，利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入，利用基本不等式变形即可求出cosC的最小值．‎ ‎【解答】解：根据题意，若a2=3c2﹣b2，即a2+b2=3c2，‎ cosC===（+）≥，‎ 即cosC的最小值为；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（　　）‎ A．5 B．7 C．11 D．13‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：样本间隔为800÷50=16，‎ ‎∵在从33～48这16个数中取的数是39，‎ ‎∴从33～48这16个数中取的数是第3个数，‎ ‎∴第1小组1～16中随机抽到的数是39﹣2×16=7，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2+x1，2+x2，…，2+xn，下列结论正确的是（　　）‎ A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3‎ C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4‎ ‎【分析】根据平均数和方差的定义和性质进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+xn的平均数是10，方差为2，‎ ‎∴1+x1+1+x2+1+x3+…+1+xn=10n，‎ 即x1+x2+x3+…+xn=10n﹣n=9n，‎ 方差S2=[（1+x1﹣10）2+（1+x2﹣10）2+…+（1+xn﹣10）2]=[（x1﹣9）2+（x2﹣9）2+…+（xn﹣9）2]=2，‎ 则（2+x1+2+x2+…+2+xn）==11，‎ 样本2+x1，2+x2，…，2+xn的方差S2=[（2+x1﹣11）2+（2+x2﹣11）2+…+（2+xn﹣11）2]‎ ‎=[（x1﹣9）2+（x2﹣9）2+…+（xn﹣9）2]=2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查样本数据的方差和平均数的计算，根据相应的公式进行计算是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为20，则判断框中可以填（　　）‎ A．k＞7 B．k＞8 C．k＜7 D．k＜8‎ ‎【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出S=20时判断框中可以填的条件．‎ ‎【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；‎ k=1时，a1=2，S=2，满足循环条件；‎ k=2时，a2=0，S=2，满足循环条件；‎ k=3时，a3=2，S=4，满足循环条件；‎ k=4时，a4=6，S=10，满足循环条件；‎ k=5时，a5=2，S=12，满足循环条件；‎ k=6时，a6=﹣4，S=8，满足循环条件；‎ k=7时，a7=2，S=10，满足循环条件；‎ k=8时，a8=10，S=20，不满足循环条件；‎ 终止循环，输出S=20，‎ ‎∴判断框中可以填k＜8．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知，为单位向量，且，则在上的投影为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】将条件式两边平方即可计算，再计算||，（），代入投影公式计算．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴+2+=2﹣4+2，‎ 即2+2=4﹣4，‎ ‎∴=，‎ ‎∴（）2=+2+=，‎ ‎∴||=，‎ 又（）=+=，‎ ‎∴在上的投影为||cos＜＞==．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+‎ ‎6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．‎ ‎【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为（x+1）2+（y﹣2）2=2，圆的圆心坐标为（﹣1，2）半径为．‎ 圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，所以（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a+2b+6=0，‎ 即a=b+3．‎ 点（a，b）与圆心的距离，，‎ 所以点（a，b）向圆C所作切线长：‎ ‎=‎ ‎=≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，为4．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，对称问题，圆的切线方程的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）下列命题中正确的个数有（　　）‎ ‎①若a∥b，a⊂α，则b∥α．‎ ‎②若a，b为两异面直线，则过不在a，b上的定点A有且仅有一条直线与a，b相交．‎ ‎③两个不重合的平面α，β，两条异面直线a，b，若a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β．‎ ‎④若平面EFGH与平行四边形ABCD相交于AB，则CD∥平面EFGH．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【分析】根据空间线面位置关系的定义，性质与判定定理判断．‎ ‎【解答】解：对于①，若b⊂α，则结论错误，故①错误；‎ 对于②，设A与a确定的平面为α，b与A确定的平面为β，‎ 则A为α，β的公共点，‎ ‎∴α与β有且只有一条经过点A的交线，故②正确；‎ 对于③，若α∩β=m，a∥b∥m，则结论不成立，故③错误；‎ 对于④，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，‎ 又平面EFGH∩平面ABCD=AB，∴AB⊂平面EFGH，‎ ‎∴CD∥平面EFGH，故④正确．．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知（a4﹣1）3+2017（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1，则下列结论正确的是（　　）‎ A．S2017=﹣2017，a2014＜a4 B．S2017=2017，a2014＞a4‎ C．S2017=﹣2017，a2014＞a4 D．S2017=2017，a2014＜a4‎ ‎【分析】（a4﹣1）3+2016（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1，设a4﹣1=m＞0，a2014﹣1=n＜0．可得m3+2016m+n3+2016n=0，m+n=a4﹣1+a2014﹣1=0．再利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵（a4﹣1）3+2016（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1‎ ‎∴（a4﹣1）3+2016（a4﹣1）+（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=0．‎ 设a4﹣1=m＞0，a2014﹣1=n＜0．‎ 则m3+2016m+n3+2016n=0，‎ 化为（m+n）（m2+n2﹣mn+2016）=0，‎ ‎∵m2+n2﹣mn+2016＞0，‎ ‎∴m+n=a4﹣1+a2014﹣1=0．‎ ‎∴a4+a2014=2=a1+a2017．‎ ‎∴S2017==2017．．‎ 又a4﹣1＞0，a2014﹣1＜0．‎ ‎∴a4＞1＞a2014．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式求和公式及其性质、乘法公式运用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知x，y满足则的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．6‎ ‎【分析】先化简整理z=++3，设t=，则符合条件的点表示到定点P（0，﹣4）的斜率的范围，根据线性规划求出t的范围，再根据基本不等式求出z的最小值．‎ ‎【解答】解：画出可行域，如图所示：‎ 由==+=++3，‎ 设t=，则符合条件的点表示到定点P（0，﹣4）的斜率的范围，‎ 由C（3，2），B（3，﹣3）‎ kPB==，kPC==2，‎ ‎∴≤t≤2，‎ ‎∴≤≤2‎ ‎∴z=++3≥2+3=2+3，‎ 当且仅当x=y+4时，即=时取等号，‎ 故z的最小值为2+3，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查了线性规划和基本不等式的应用，属于中档题 ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，请将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n项和等于　2n﹣1　．‎ ‎【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{an}的前n项和．‎ ‎【解答】解：数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，‎ 可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，‎ ‎∴8=1×q3，q=2，‎ 数列{an}的前n项和为：=2n﹣1．‎ 故答案为：2n﹣1．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的性质，数列{an}的前n项和求法，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1‎ 的中点，AB=2，则三棱锥B﹣PQD的体积为　　．‎ ‎【分析】由题意画出图形，取PQ中点G，连接BG，DG，可得PQ⊥平面BGD，求出△BDG的面积，代入棱锥体积公式求解．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 连接PQ，则PQ∥AC，取PQ中点G，连接BG，DG，‎ 可得BG⊥PQ，DG⊥PQ，‎ 又BG∩DG=G，则PQ⊥平面BGD，‎ 在Rt△BPG中，由BP=，PG=，可得BG=，‎ 同理可得DG=，则△BDG边BD上的高为，‎ ‎∴，‎ 则．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查柱、锥、台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）三棱锥A﹣BCD，AB=AD=，底面BCD为等边三角形，且平面ABD⊥平面BCD，求三棱锥A﹣BCD外接球的表面积　16π　．‎ ‎【分析】利用已知三棱锥A﹣BCD的特点AB=AD，先确定△ABD的外心H，及外接圆的半径，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的球心O在CH上，即可解答．‎ ‎【解答】解：∵AB=AD=，∴△ADB是直角三角形，‎ ‎∴底面BAD的外心为斜边DB中点H，‎ ‎∵且平面ABD⊥平面BCD，CH⊥DB，∴CH⊥底面BAD，‎ ‎∴三棱锥A﹣BCD外接球的球心在CH上，‎ 三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R，则（CH﹣R）2+BH2=OB2‎ ‎∵，BH=，可得R=2‎ 三棱锥A﹣BCD外接球的表面S=4πR2=16π 故答案为：16π ‎【点评】题考查球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，解答的关键是确定球心位置，利用已知三棱锥的特点是解决问题关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=CD=1，AB=2，E，F分别为AB，AC的中点，设以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上的动点为P（如图所示），则的取值范围是　[﹣，﹣1]　．‎ ‎【分析】建立平面直角坐标系，由题意可设点P（cosθ，sinθ），θ∈[0，]，表示出、，‎ 再利用三角函数的图象与性质求出•的取值范围．‎ ‎【解答】解：建立如图所示直角坐标系，‎ 则A（0，0），B（2，0），C（1，1），‎ D（0，1），E（1，0），F（，），‎ 由题意，可设点P（cosθ，sinθ），θ∈[0，]；‎ 则=（cosθ，sinθ），‎ ‎=（﹣cosθ，﹣sinθ），‎ ‎∴•=cosθ（﹣cosθ）+sinθ（﹣sinθ）‎ ‎=cosθ+sinθ﹣1，‎ ‎=sin（θ+α）﹣1，‎ 其中tanα=3；‎ 又θ∈[0，]，∴arctan3≤θ+α≤+arctan3；‎ ‎∴sin（﹣arctan3）≤sin（θ+α）≤1‎ sin（﹣arctan3）=cos（arctan3）=‎ ‎∴×≤sin（θ+α）≤‎ ‎∴﹣≤sin（θ+α）﹣1≤﹣1，‎ 即的取值范围是[﹣，﹣1]．‎ 故答案为：[]．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量知识的运用以及平面直角坐标系的应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是难题．‎ ‎　‎ 三、解答题（17题10分，其它题12分，共70分，写出必要的文字说明）‎ ‎17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB=2，．‎ ‎（1）求证：OM∥平面PAB．‎ ‎（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．‎ ‎【分析】（1）利用中位线定理可得OM∥PB，故而OM∥平面PAB；‎ ‎（2）由BD⊥AC，BD⊥PA可得BD⊥平面PAC，故而平面PBD⊥平面PAC．‎ ‎【解答】解：（1）∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，‎ ‎∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，‎ ‎∵OM⊄平面PBD，PB⊂面PBD，‎ ‎∴OM∥面PBD．‎ ‎（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥BD，‎ ‎∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，‎ ‎∵AC⊂面PAC，PA⊂面PAC，AC∩PA=A，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，‎ ‎∵BD⊂平面PBD，‎ ‎∴平面PBD⊥平面PAC．‎ ‎【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）在△‎ ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=．‎ ‎（1）若a+b=5，求△ABC面积的最大值；‎ ‎（2）若a=2，2sin2A+sinAsinC=sin2C，求b及c的长．‎ ‎【分析】（1）利用基本不等式得出ab的最大值，得出面积的最大值；‎ ‎（2）利用正弦定理得出a，c的关系，列方程解出c，使用正弦定理解得sinA，利用余弦定理解出b．‎ ‎【解答】解：（1）∵a+b=5，‎ ‎∴ab≤（）2=．‎ ‎∴S△ABC=sinC=≤=．‎ ‎（2）∵2sin2A+sinAsinC=sin2C，‎ ‎∴2a2+ac=c2．即8+2c=c2，‎ 解得c=4．‎ 由正弦定理得，即，‎ 解得sinA=．∴cosA=．‎ 由余弦定理得cosA==．即．‎ 解得b=或2．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式，正余弦定理，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x（单位：年，x∈N*）和所支出的维护费用y（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：‎ ‎ 使用年限x（年）‎ ‎ 1‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎ 5‎ 维护费用y（万元） ‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎7.5 ‎ ‎8 ‎ ‎ 9‎ ‎（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y关于x的线性回归方程=x+；‎ ‎（2）若规定当维护费用y超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值．‎ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式：=，=﹣．‎ ‎【分析】（1）由题意首先求得样本中心点，然后求解回归方程即可；‎ ‎（2）利用（1）的结论结合题意得到不等式，求解不等式即可求得最终结果．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：，‎ 则：，‎ 回归方程为：，‎ ‎（2）当维护费用y超过13.1万元时，即：0.7x+5.4＞13.1，解得：x＞11，‎ 则从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年．‎ 答：该批空调使用年限的最大值为11年．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程的求解及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an=Sn+1（n∈N*）‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=（2n+1）•an，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）当n=1时，2a1=S1+1=a1+1，解得a1．n≥2时，2an﹣1=Sn﹣1+1，可得：an=2an﹣1..利用等比数列的通项公式可得an．‎ ‎（2）bn=（2n+1）•an=（2n+1）•2n﹣1．利用错位相减法即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，2a1=S1+1=a1+1，解得a1=1．‎ n≥2时，2an﹣1=Sn﹣1+1，可得：2an﹣2an﹣1=an，可得an=2an﹣1．．‎ 数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，an=2n﹣1．‎ ‎（2）bn=（2n+1）•an=（2n+1）•2n﹣1．‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=3×1+5×2+7×22+…+（2n+1）•2n﹣1．‎ ‎2Tn=3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+（2n+1）•2n，‎ ‎∴﹣Tn=3+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）•2n=1+2×﹣（2n+1）•2n，‎ 可得：Tn=（2n﹣1）•2n+1．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图所示的空间几何体，底面四边形ABCD为正方形，AF⊥AB，AF∥BE，平面ABEF⊥平面ABCD，DF=，CE=2，BC=2．‎ ‎（1）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；‎ ‎（2）求直线BE与平面DEF所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，证明AC⊥平面BDE即可得知∠DOE为所求角，在△DOE中利用余弦定理求出cos∠DOE；‎ ‎（2）过B作BP⊥DE交DE于点P，证明BP⊥平面DEF，故而∠BEP为直线BE与平面DEF所成角．‎ ‎【解答】解：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵AF⊥AB，AF∥BE，‎ ‎∴BE⊥AB，‎ 又平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，‎ ‎∴BE⊥平面ABCD，‎ ‎∴BE⊥AC，又BD∩BE=B，‎ ‎∴AC⊥平面BDE，‎ ‎∴AC⊥OE，‎ ‎∴二面角E﹣AC﹣D的平面角为∠DOE，‎ ‎∵正方形ABCD边长为2，CE=2，‎ ‎∴BE=2，OD=OB=，OE=，DE=2，‎ ‎∴cos∠DOE==﹣．‎ 即二面角E﹣AC﹣D的余弦值为﹣．‎ ‎（2）在Rt△DBE中，作BP⊥DE交DE于点P，‎ 取DE的中点G，连接OG，FG，‎ 则OGBEAF，‎ ‎∴四边形AOGF为平行四边形，‎ ‎∴FG∥AC，‎ 由（1）可知AC⊥平面DBE，又BP⊂平面DBE，‎ ‎∴AC⊥BP，‎ ‎∵FG∥AC，∴BP⊥FG，‎ 又FG∩DE=G且FG，DE⊂平面DEF，‎ ‎∴BP⊥平面DEF，‎ ‎∴∠BEP为直线BE与平面DEF所成角，‎ ‎∴sin∠BEP===．‎ ‎【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）过点（﹣1，0）作直线与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形OASB中||=|﹣|？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）化圆C1的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，然后求出圆心关于直线l1的对称点，则圆C的方程可求；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由||=|﹣|=，得四边形OASB为矩形，则OA⊥OB，当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为x=﹣1，求出A，B的坐标，满足．当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=k（x+1），联立直线方程与圆方程，利用根与系数的关系结合求得k值，则直线方程可求．‎ ‎【解答】解：（1）圆C1：x2+y2+6x=0化为标准方程为（x+3）2+y2=9，‎ 设圆C1的圆心C1（﹣3，0）关于直线l1：y=2x+1的对称点为C（a，b），‎ 则，且CC1的中点M（，）在直线l1：y=2x+1上．‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9；‎ ‎（2）如图：设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由||=|﹣|=，得四边形OASB为矩形，∴OA⊥OB，‎ 必须使，即x1x2+y1y2=0．‎ ‎①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为x=﹣1，‎ 与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=9交于两点A（﹣1，），B（﹣1，）．‎ ‎∵，‎ ‎∴OA⊥OB，‎ ‎∴当直线的斜率不存在时，直线l：x=﹣1满足条件；‎ ‎②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=k（x+1），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，得（1+k2）x2+（2k2+4k﹣2）x+k2+4k﹣4=0，‎ 由于点（﹣1，0），在圆C内部，∴△＞0恒成立，‎ ‎∴，，‎ 由x1x2+y1y2=0，得，‎ 整理得，‎ 解得k=1，∴直线方程为y=x+1，‎ ‎∴存在直线x=﹣1和y=x+1，它们与圆C交A，B两点，且||=|﹣|．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎　‎