【数学】2019届一轮复习人教A版理选修4－5第1节　绝对值不等式教案 7页

选修4－5　不等式选讲 第一节　绝对值不等式 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.‎ ‎(对应学生用书第204页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x＞a或x＜－a}‎ ‎{x∈R|x≠0}‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解；‎ ‎②利用零点分段法求解；‎ ‎③构造函数，利用函数的图象求解．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．(　　)‎ ‎(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0.(　　)‎ ‎(3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.(　　)‎ ‎(4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．不等式1<|x＋1|<3的解集为(　　)‎ A．(0,2)　　　 B．(－2,0)∪(2,4)‎ C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)‎ D　[原不等式等价于15时，原不等式等价于x－1－(x－5)<2，即4<2，无解．综合①②③知x<4.]‎ ‎4．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.‎ ‎2　[∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.‎ ‎∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.]‎ ‎5．(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(－∞，－3]∪[3，＋∞)　[由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，‎ ‎∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，‎ 要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，‎ 只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.]‎ ‎(对应学生用书第204页)‎ 绝对值不等式的解法 ‎　(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.‎ ‎(1)在图4511中画出y＝f(x)的图象；‎ ‎(2)求不等式|f(x)|>1的解集．‎ 图4511‎ ‎[解]　(1)由题意得f(x)＝ 故y＝f(x)的图象如图所示．‎ ‎(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，‎ 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.‎ 故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，‎ f(x)＜－1的解集为.‎ 所以|f(x)|＞1的解集为.‎ ‎[规律方法]　解绝对值不等式的基本方法 ‎(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论，用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式，零点分段法的操作程序是：找零点，分区间，分段讨论；‎ ‎(2)当不等式两端均非负时，可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式；‎ ‎(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．‎ ‎[跟踪训练]　(2018·海口调研)已知函数f(x)＝|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)＋x2－4>0的解集；‎ ‎(2)设g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x)4－x2，‎ 即x－2>4－x2或x－24－x2，得x>2或x<－3；‎ 由x－22或x<－1.‎ 综上，原不等式的解集为{x|x>2或x<－1}．‎ ‎(2)原不等式等价于|x－2|＋|x＋7|<3m的解集非空．‎ 令h(x)＝|x－2|＋|x＋7|，即h(x)min<3m，‎ 由|x－2|＋|x＋7|≥|x－2－x－7|＝9，所以h(x)min＝9，‎ 由3m>9，解得m>3，‎ 所以m的取值范围为(3，＋∞)．‎ 绝对值不等式的证明 ‎　(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.‎ ‎[解]　(1)f(x)＝ 当x≤－时，‎ 由f(x)＜2得－2x＜2，‎ 解得x＞－1；‎ 当－＜x＜时，f(x)＜2；‎ 当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.‎ 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．‎ ‎(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.‎ 因此|a＋b|＜|1＋ab|.‎ ‎[规律方法]　证明绝对值不等式三种常用方法 (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明.‎ (2)利用不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明.‎ (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·长沙模拟(二))已知函数f(x)＝|x＋a2|＋|x－a－1|.‎ ‎(1)证明：f(x)≥；‎ ‎(2)若f(4)<13，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)证明：f(x)＝|x＋a2|＋|x－a－1|‎ ‎≥|(x＋a2)－(x－a－1)|‎ ‎＝|a2＋a＋1|‎ ‎＝＋≥.‎ ‎(2)因为f(4)＝|a2＋4|＋|a－3|＝ 所以f(4)<13⇔或 解得－21时，①式化为x2＋x－4≤0，‎ 从而1＜x≤.‎ 所以f(x)≥g(x)的解集为.‎ ‎(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，‎ 所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.‎ 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，‎ 所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.‎ 所以a的取值范围为[－1,1]．‎ ‎[规律方法]　1.研究含有绝对值的函数问题，常利用零点分段法或数形结合法求解.‎ ‎2.与恒成立或能成立相关的求参问题，常构造函数转化为求最值问题.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a.‎ ‎(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；‎ ‎(2)若存在x∈R，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围. ‎ ‎【导学号：97190400】‎ ‎[解]　(1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)，得|2x＋1|≥|x|.‎ 两边平方整理，得3x2＋4x＋1≥0，‎ 解得x≤－1或x≥－.‎ 所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪.‎ ‎(2)由f(x)≤g(x)，得a≥|2x＋1|－|x|.‎ 令h(x)＝|2x＋1|－|x|，‎ 则h(x)＝ 由分段函数图象可知h(x)min＝h＝－，‎ 从而所求实数a的取值范围为.‎