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  • 2021-06-10 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版(文)第八章第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

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第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.‎ ‎(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.‎ ‎(3)范围:直线l倾斜角的取值范围是[0,π).‎ ‎2.斜率公式 ‎(1)定义式:直线l的倾斜角为α,则斜率k=tan_α.‎ ‎(2)坐标式:P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率k=.‎ ‎3.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0)‎ 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 两点式 = 不含直线x=x1(x1≠x2) 和直线y=y1(y1≠y2)‎ 截距式 +=1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0,A2+B2≠0‎ 平面内所有直线都适用 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(  )‎ ‎(2)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(  )‎ ‎(3)直线的倾斜角越大,斜率k就越大.(  )‎ ‎(4)经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.(  )‎ ‎(5)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√‎ ‎2.若直线x=2的倾斜角为α,则α为(  )‎ A.0           B. C. D.不存在 答案:C ‎ ‎3.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(  )‎ A.1 B.4‎ C.1或3 D.1或4‎ 解析:选A 由k==1,得m=1.‎ ‎4.(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为________.‎ 解析:由已知,得BC的中点坐标为,且直线BC边上的中线过点A,则BC边上中线的斜率k=-,故BC边上的中线所在直线方程为y+=-,即x+13y+5=0.‎ 答案:x+13y+5=0‎ ‎5.直线3x-4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2,则实数k=________.‎ 解析:令x=0,得y=;令y=0,得x=-,则有-=2,所以k=-24.‎ 答案:-24‎      ‎[考什么·怎么考]‎ ‎1.直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是(  )‎ A.[0,π)        B.∪ C. D.∪ 解析:选B 因为直线xsin α+y+2=0的斜率k=-sin α,又-1≤sin α≤1,所以-1≤k≤1.设直线xsin α+y+2=0的倾斜角为θ,所以-1≤tan θ≤1,而θ∈[0,π),故倾斜角的取值范围是∪.‎ ‎2.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________.‎ 解析:因为kAC==1,kAB==a-3.由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.‎ 答案:4‎ ‎3.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,则实数m的取值范围是________.‎ 解析:如图所示,直线l:x+my+m=0过定点A(0,-1),当m≠0时,kQA=,kPA=-2,kl=-.‎ 结合图象知,若直线l与PQ有交点,‎ 应满足-≤-2或-≥.‎ 解得00,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为(  )‎ A.1           B.2‎ C.4 D.8‎ 解析:选C ∵直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),‎ ‎∴a+b=ab,即+=1,‎ ‎∴a+b=(a+b) ‎=2++≥2+2 =4,‎ 当且仅当a=b=2时上式等号成立.‎ ‎∴直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为4.‎ ‎2.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为(  )‎ A.       B. C.[0,1] D. 解析:选A 由题意知y′=2x+2,设P(x0,y0),‎ 则k=2x0+2.‎ 因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,所以0≤k≤1,‎ 即0≤2x0+2≤1,故-1≤x0≤-.‎ ‎3.已知直线l1:ax-2y=‎2a-4,l2:2x+a2y=‎2a2+4,当00,‎ 故直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在第二象限.‎ ‎4.若方程(‎2m2‎+m-3)x+(m2-m)y-‎4m+1=0表示一条直线,则参数m满足的条件是(  )‎ A.m≠- B.m≠0‎ C.m≠0且m≠1 D.m≠1‎ 解析:选D 由解得m=1,故m≠1时方程表示一条直线.‎ ‎5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是(  )‎ A.1 B.-1 ‎ C.-2或-1 D.-2或1‎ 解析:选D 由题意可知a≠0.当x=0时,y=a+2.当y=0时,x=.故=a+2,解得a=-2或a=1.‎ ‎6.直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足(  )‎ A.ab>0,bc<0 B.ab>0,bc>0‎ C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0‎ 解析:选A 由于直线ax+by+c=0同时经过第一、第二、第四象限,所以直线斜率存在,将方程变形为y=-x-.易知-<0且->0,故ab>0,bc<0.‎ ‎7.已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为________.‎ 解析:由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,‎ 因为直线l0:x-2y-2=0的斜率为,则tan α=,‎ 所以直线l的斜率k=tan 2α===,‎ 所以由点斜式可得直线l的方程为y-0=(x-1),‎ 即4x-3y-4=0.‎ 答案:4x-3y-4=0‎ ‎8.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是________.‎ 解析:由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1),直线l在x轴上的截距为1-,令-3<1-<3,解不等式得k>或k<-1.‎ 答案:(-∞,-1)∪ ‎9.过点(2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________.‎ 解析:若直线过原点,则直线方程为3x+2y=0;‎ 若直线不过原点,则斜率为1,方程为y+3=x-2,即为x-y-5=0,故所求直线方程为3x+2y=0或x-y-5=0.‎ 答案:3x+2y=0或x-y-5=0‎ ‎10.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是________.‎ 解析:b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.∴b的取值范围是[-2,2].‎ 答案:[-2,2]‎ B级——中档题目练通抓牢 ‎1.两直线-=a与-=a(其中a是不为零的常数)的图象可能是(  )‎ 解析:选B 直线方程-=a可化为y=x-na,直线-=a可化为y=x-ma,由此可知两条直线的斜率同正,同负,故选B.‎ ‎2.已知点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是(  )‎ A.8 B.2 C. D.16‎ 解析:选A ∵点P(x,y)在直线x+y-4=0上,∴y=4-x,∴x2+y2=x2+(4-x)2=2(x-2)2+8,当x=2时,x2+y2取得最小值8.‎ ‎3.若直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是(  )‎ A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞)‎ C.[-2,0)∪(0,2] D.(-∞,+∞)‎ 解析:选C 令x=0,得y=,令y=0,得x=-b,所以所求三角形面积为|-b|=b2,且b≠0,因为b2≤1,所以b2≤4,所以b的取值范围是[-2,0)∪(0,2].‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中,设A是半圆O:x2+y2=2(x≥0)上一点,直线OA的倾斜角为45°,过点A作x轴的垂线,垂足为H,过H作OA的平行线交半圆于点B,则直线AB的方程是____________________.‎ 解析:∵直线OA的方程为y=x,代入半圆方程得A(1,1),‎ ‎∴H(1,0),直线HB的方程为y=x-1,‎ 代入半圆方程得B.‎ 所以直线AB的方程为=,‎ 即x+y--1=0.‎ 答案:x+y--1=0‎ ‎5.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.‎ 解析:易求定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,因为P为直线x+my=0‎ 与mx-y-m+3=0的交点,且易知两直线垂直,则PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立),当P与A或B重合时,|PA|·|PB|=0,故|PA|·|PB|的最大值是5.‎ 答案:5‎ ‎6.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程:‎ ‎(1)过定点A(-3,4);‎ ‎(2)斜率为.‎ 解:(1)设直线l的方程为y=k(x+3)+4,它在x轴,y轴上的截距分别是--3,3k+4,‎ 由已知,得(3k+4)=±6,‎ 解得k1=-或k2=-.‎ 故直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.‎ ‎(2)设直线l在y轴上的截距为b,‎ 则直线l的方程为y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,‎ 由已知,得|-6b·b|=6,∴b=±1.‎ ‎∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.‎ ‎7.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)的直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.‎ 解:由题意可得kOA=tan 45°=1,‎ kOB=tan(180°-30°)=-,‎ 所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.‎ 设A(m,m),B(-n,n),‎ 所以AB的中点C,‎ 由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得 解得m=,所以A(,).‎ 又P(1,0),所以kAB=kAP==,‎ 所以lAB:y=(x-1),‎ 即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.‎ C级——重难题目自主选做 ‎1.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是(  )‎ A.(0,1) B. C. D. ‎ 解析:选B 法一:(1)当直线y=ax+b与AB,BC相交时,如图①所示.易求得:xM=-,yN=.由已知条件得:·=1,‎ ‎∴a=.∵点M在线段OA上,∴-1<-<0,‎ ‎∴0.‎ 又00,当点M位于射线BN上除B点外时,kOM<-.‎ 所以的取值范围是∪(0,+∞).‎ 答案:∪(0,+∞)‎ ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是(  )‎ 解析:选B 由题意l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a,当a>0,b>0时,-a<0,-b<0.选项B符合.‎ ‎2.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(  )‎ A.         B. C.∪ D.∪ 解析:选B 由直线方程可得该直线的斜率为-,又-1≤-<0,所以倾斜角的取值范围是.‎ ‎3.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是(  )‎ A. B.∪(1,+∞)‎ C.∪ D.(-∞,-1)∪ 解析:选D 设直线方程为y-2=k(x-1),直线在x轴上的截距为1-,令-3<1-<3,解不等式得k>或k<-1.‎ ‎4.在等腰三角形MON中,MO=MN,点O(0,0),M(-1,3),点N在x轴的负半轴上,则直线MN的方程为(  )‎ A.3x-y-6=0 B.3x+y+6=0‎ C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0‎ 解析:选C 因为MO=MN,所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数,所以kMN=-kMO=3,所以直线MN的方程为y-3=3(x+1),即3x-y+6=0,选C.‎ ‎5.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为(  )‎ A. B.- C.- D. 解析:选B 依题意,设点P(a,1),Q(7,b),‎ 则有解得a=-5,b=-3,‎ 从而可知直线l的斜率为=-.‎ ‎6.已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为________.‎ 解析:由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,‎ 因为直线l0:x-2y-2=0的斜率为,则tan α=,‎ 所以直线l的斜率k=tan 2α===,‎ 所以由点斜式可得直线l的方程为y-0=(x-1),‎ 即4x-3y-4=0.‎ 答案:4x-3y-4=0‎ ‎7.过点(2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________.‎ 解析:若直线过原点,则直线方程为3x+2y=0;‎ 若直线不过原点,则斜率为1,方程为y+3=x-2,即为x-y-5=0,故所求直线方程为3x+2y=0或x-y-5=0.‎ 答案:3x+2y=0或x-y-5=0‎ ‎8.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是________.‎ 解析:b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.∴b的取值范围是[-2,2].‎ 答案:[-2,2]‎ ‎9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程:‎ ‎(1)过定点A(-3,4);‎ ‎(2)斜率为.‎ 解:(1)设直线l的方程为y=k(x+3)+4,它在x轴,y轴上的截距分别是--3,3k+4‎ ‎,‎ 由已知,得(3k+4)=±6,‎ 解得k1=-或k2=-.‎ 故直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.‎ ‎(2)设直线l在y轴上的截距为b,‎ 则直线l的方程为y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,‎ 由已知,得|-6b·b|=6,∴b=±1.‎ ‎∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.‎ ‎10.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)的直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.‎ 解:由题意可得kOA=tan 45°=1,‎ kOB=tan(180°-30°)=-,‎ 所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.‎ 设A(m,m),B(-n,n),‎ 所以AB的中点C,‎ 由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得 解得m=,所以A(,).‎ 又P(1,0),所以kAB=kAP==,‎ 所以lAB:y=(x-1),‎ 即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1.(2018·南昌一模)已知A(1,2),B(2,11),若直线y=x+1(m≠0)与线段AB相交,则实数m的取值范围是(  )‎ A.[-2,0)∪[3,+∞) B.(-∞,-1]∪(0,6]‎ C.[-2,-1]∪[3,6] D.[-2,0)∪(0,6]‎ 解析:选C 由题意得,A(1,2),B(2,11)两点分布在直线y=x+1(m≠0)的两侧(或其中一点在直线上),∴≤0,解得-2≤m≤-1或3≤m≤6,故选C.‎ ‎2.若a,b,p(a≠0,b≠0,p>0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离,则下列关系式成立的是(  )‎ A.+= B.-= C.+= D.= 解析:选A 由题意设直线方程为+=1,则p2=,∴+=,故选A.‎ ‎3.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是(  )‎ A.(0,1) B. C. D. ‎ 解析:选B 法一:(1)当直线y=ax+b与AB,BC相交时,如图①所示.易求得:xM=-,yN=.由已知条件得:·=1,‎ ‎∴a=.∵点M在线段OA上,∴-1<-<0,‎ ‎∴0.‎ 又00,当点M位于射线BN上除B点外时,kOM<-.‎ 所以的取值范围是∪(0,+∞).‎ 答案:∪(0,+∞)‎ ‎5.已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,当△ABO的面积取最小值时,求直线l的方程.‎ 解:法一:设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),‎ 则直线l的方程为+=1.‎ 因为l过点P(3,2),所以+=1.‎ 因为1=+≥2 ,整理得ab≥24,‎ 所以S△ABO=ab≥12,‎ 当且仅当=,即a=6,b=4时取等号.‎ 此时直线l的方程是+=1,即2x+3y-12=0.‎ 法二:依题意知,直线l的斜率k存在且k<0,‎ 可设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),‎ 则A,B(0,2-3k),‎ S△ABO=(2-3k) ‎= ‎≥ ‎=×(12+12)=12,‎ 当且仅当-9k=,即k=-时,等号成立.‎ 所以所求直线l的方程为2x+3y-12=0.‎ ‎6.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).‎ ‎(1)证明:直线l过定点;‎ ‎(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.‎ 解:(1)证明:直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1).‎ ‎(2)直线l的方程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k≥0,故k的取值范围是.‎ ‎(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,‎ ‎∴A,B(0,1+2k).‎ 又-<0且1+2k>0,∴k>0.‎ 故S=|OA||OB|=××(1+2k)‎ ‎=≥(4+4)=4,‎ 当且仅当4k=,即k=时,取等号.‎ 故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.‎

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