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- 2021-06-10 发布
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抽象函数与具体函数值域的求法
例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)= -2求f(x)在区间[-2,1]上的值域.
分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(注意到f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1));再根据区间求其值域.
例2已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)= 5,求不等式 f(a2-2a-2)<3的解.
分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(仿例1);再求出f(1)=3;最后脱去函数符号.
例3已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,f(x)∈[0,1].
(1) 判断f(x)的奇偶性;
(2) 判断f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明;
(3) 若a≥0且f(a+1)≤,求a的取值范围.
分析:(1)令y=-1;
(2)利用f(x1)=f(·x2)=f()f(x2);
(3)0≤a≤2.
例4设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在x1≠x2,使得f(x1)≠f(x2);对任何x和y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求:
(1) f(0);
(2) 对任意值x,判断f(x)值的符号.
分析:(1)令x= y=0;(2)令y=x≠0.
例5是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②f(a+b)= f(a)f(b),a、b∈N;③f(2)=4.同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,若不存在,说明理由.
分析:先猜出f(x)=2x;再用数学归纳法证明.
例6设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(x·y)=f(x)+f(y),f(3)=1,求:
(1) f(1);
(2) 若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围.
分析:(1)利用3=1×3;
(2)利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数y= f(x)的反函数是y=g(x).如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由.
分析:设f(a)=m,f(b)=n,则g(m)=a,g(n)=b,
进而m+n=f(a)+f(b)= f(ab)=f [g(m)g(n)]….
例8已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件:
① x1、x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=;
② f(a)= -1(a>0,a是定义域中的一个数);
③ 当0<x<2a时,f(x)<0.
试问:
(1) f(x)的奇偶性如何?说明理由;
(2) 在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由.
分析:(1)利用f [-(x1-x2)]= -f [(x1-x2)],判定f(x)是奇函数;
(3) 先证明f(x)在(0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,4a)上也是增函数.
对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),
(1) 求证:f(1)=f(-1)=0;
(2) 求证:f(x)为偶函数;
(3) 若f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(x)+f(x-)≤0.
分析:函数模型为:f(x)=loga|x|(a>0)
(1) 先令x=y=1,再令x=y= -1;
(2) 令y= -1;
(3) 由f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|).
例10已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0,f(x+y)=f(x)·f(y),且当x<0时,f(x)>1,求证:
(1) 当x>0时,0<f(x)<1;
(2) f(x)在x∈R上是减函数.
分析:(1)先令x=y=0得f(0)=1,再令y=-x;
(3) 受指数函数单调性的启发:
由f(x+y)=f(x)f(y)可得f(x-y)=,
进而由x1<x2,有=f(x1-x2)>1.
练习题:
1.已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x、y都成立,则( )
(A)f(0)=0 (B)f(0)=1
(C)f(0)=0或1 (D)以上都不对
2. 若对任意实数x、y总有f(xy)=f(x)+f(y),则下列各式中错误的是( )
(A)f(1)=0 (B)f()= f(x)
(C)f()= f(x)-f(y) (D)f(xn)=nf(x)(n∈N)
3.已知函数f(x)对一切实数x、y满足:f(0)≠0,f(x+y)=f(x)f(y),且当x<0时,f(x)>1,则当x>0时,f(x)的取值范围是( )
(A)(1,+∞) (B)(-∞,1)
(C)(0,1) (D)(-1,+∞)
4.函数f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2都有
f(x1-x2)=,则f(x)为( )
(A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f(x)对任意实数x、y满足f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)],则函数f(x)是( )
(A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数
参考答案:
1.A 2.B 3 .C 4.A 5.B
10. 如何求复合函数的定义域?
义域是_____________。
复合函数定义域的求法:已知的定义域为,求的定义域,可由解出x的范围,即为的定义域。
例 若函数的定义域为,则的定义域为 。
分析:由函数的定义域为可知:;所以中有。
解:依题意知:
解之,得
∴ 的定义域为
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例 求函数y=的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数y=值域。
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数y=,,的值域。
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=(2≤x≤10)的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这
类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:已知点P(x.y)在圆x2+y2=1上,
例求函数y=+的值域。
解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。
由上图可知:当点P在线段AB上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10
故所求函数的值域为:[10,+∞)
例求函数y=+ 的值域
解:原函数可变形为:y=+
上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时, y=∣AB∣==,
故所求函数的值域为[,+∞)。
注:求两距离之和时,要将函数
9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2,a+b+c≥3(a,b,c∈),求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例:
倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例 求函数y=的值域