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- 2021-06-10 发布
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§8.6 空间向量及其运算和空间位置关系
考纲展示►
1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.
2.会推导空间两点间的距离公式.
3.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
6.理解直线的方向向量与平面的法向量.
7.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
8.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理).
考点1 空间向量的线性运算
空间向量的有关概念
(1)空间向量:在空间中,具有________和________的量叫做空间向量.
(2)相等向量:方向________且模________的向量.
(3)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相____________的向量.
(4)共面向量:________________的向量.
答案:(1)大小 方向 (2)相同 相等
(3)平行或重合 (4)平行于同一个平面
(1)[教材习题改编]已知在空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则化简+(+)=________.
答案:
解析:+(+)=+=.
(2)[教材习题改编]如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1
的交点.若=a,=b,=c,则可用a,b,c表示为________.
答案:-a+b+c
解析:由图可知,=+=+=+(-)=c+(b-c)=-a+b+c.
[典题1] (1)[2017·河南郑州模拟]如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,则x+y+z=________.
[答案]
[解析] 设=a,=b,=c,
则=-=(+)-
=b+c-a,
=+=+
=a+
=a+b+c.
又=x+y+z,
所以x=,y=,z=,
因此x+y+z=++=.
(2)如图所示,在空间几何体ABCD-A1B1C1D1中,各面为平行四边形,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
①;
②+.
[解] ①因为P是C1D1的中点,
所以=++
=a++
=a+c+=a+c+b.
②因为M是AA1的中点,
所以=+=+
=-a+
=a+b+c.
又=+=+
=+=c+a,
所以+=+
=a+b+c.
[点石成金] 用已知向量表示某一向量的方法
用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
考点2 共线、共面向量定理的应用
空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在唯一一个λ∈R,使a=λb.
(2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.
空间向量理解的误区:共线;共面.
给出下列命题:
①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;
②若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;
③已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc;
④若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0.
其中为真命题的是________.
答案:④
解析:若a与b共线,则a,b所在的直线可能平行也可能重合,故①不正确;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但三个却不一定共面,故②不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一个向量p才一定能表示为p=xa+yb+zc,故③不正确;据向量运算法则可知④正确.
[典题2] 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)BD∥平面EFGH.
[证明] (1)连接BG,则=+=+(+)=++=+.
由共面向量定理知,E,F,G,H四点共面.
(2)=-=-
=(-)=.
因为E,H,B,D四点不共线,所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,
所以BD∥平面EFGH.
[点石成金] 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较
三点(P,A,B)共线
空间四点(M,P,A,B)共面
=λ
=x+y
对空间任一点O,=+t
对空间任一点O,=+x+y
对空间任一点O,=x+(1-x)
对空间任一点O,=x+y+(1-x-y)
如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,
N分别在AC1和BC上,且满足=k,=k(0≤k≤1).向量是否与向量,共面?
解:∵=k,=k,
∴=++
=k++k
=k(+)+
=k(+)+
=k+=-k
=-k(+)
=(1-k)-k,
∴由共面向量定理知,向量与向量,共面.
考点3 利用向量证明平行与垂直问题
向量法证明平行与垂直
(1)两个重要向量
①直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线的方向向量有________个.
②平面的法向量
直线l⊥平面α,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有________个,它们是共线向量.
(2)空间位置关系的向量表示
答案:(1)①无数 ②无数
[典题3] [2017·广东汕头模拟]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.求证:
(1)CM∥平面PAD;
(2)平面PAB⊥平面PAD.
[证明] 以C为坐标原点,CB为x轴,CD为y轴,CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
∵PC⊥平面ABCD,
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,
∴∠PBC=30°.
∵PC=2,∴BC=2,PB=4,
∴D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M,
∴=(0,-1,2),=(2,3,0),
=.
(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,
则即
令y=2,得n=(-,2,1).
∵n·=-×+2×0+1×=0,
∴n⊥.
又CM⊄平面PAD,∴CM∥平面PAD.
(2)证法一:由(1)知,=(0,4,0),=(2,0,-2),
设平面PAB的一个法向量为m=(x0,y0,z0),
则即
令x0=1,得m=(1,0,).
又∵平面PAD的一个法向量n=(-,2,1),
∴m·n=1×(-)+0×2+×1=0,
∴平面PAB⊥平面PAD.
证法二:如图,取AP的中点E,连接BE,
则E(,2,1),=(-,2,1).
∵PB=AB,∴BE⊥PA.
又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,
∴⊥.∴BE⊥DA.
又PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD.
又∵BE⊂平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD.
[点石成金] 1.利用向量法证明平行问题的三种方法
(1)证明线线平行:两条直线的方向向量平行.
(2)证明线面平行:
①该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;
②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行;
③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.
(3)证明面面平行:两个平面的法向量平行.
2.利用向量法证明垂直问题的三种方法
(1)证明线线垂直:两条直线的方向向量的数量积为0.
(2)证明线面垂直:直线的方向向量与平面的法向量平行.
(3)证明面面垂直:
①其中一个平面与另一个平面的法向量平行;
②两个平面的法向量垂直.
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.求证:
(1)DE∥平面ABC;
(2)B1F⊥平面AEF.
证明:以A为原点,AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),
F(2,2,0),B1(4,0,4),D(2,0,2),A1(0,0,4).
(1)=(-2,4,0),平面ABC的一个法向量为=(0,0,4),
∵·=0,DE⊄平面ABC,
∴DE∥平面ABC.
(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),
·=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,
∴⊥,∴B1F⊥EF.
·=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0,
∴⊥,∴B1F⊥AF.
∵AF∩EF=F,
∴B1F⊥平面AEF.
考点4 空间向量数量积的应用
1.两个向量的数量积
(1)非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律:(λa)·b=λ(a·b);
②交换律:a·b=b·a;
③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
2.空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
答案:a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0
正确使用空间向量的数量积.
(1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(a+b)·(a-b)的值为________.
答案:-13
解析:a+b=(10,-5,-2),a-b=(-2,1,-6),
∴(a+b)·(a-b)=-13.
(2)已知a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则a,b夹角的余弦值为________.
答案:-
解析:cos〈a,b〉==-.
[典题4] 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求BD的长.
[解] ∵AB与CD成60°角,
∴〈,〉=60°或120°.
又∵AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB,
∴||==
=
=
=,
∴||=2或.∴BD的长为2或.
[点石成金] 1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置.
2.利用夹角公式,可以求异面直线所成的角,也可以求二面角.
3.可以通过|a|=,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.
如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD
的中点.
(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;
(2)求MN的长;
(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
(1)证明:设=p,=q,=r.
由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60°.
=-=(+)-
=(q+r-p),
∴·=(q+r-p)·p
=(q·p+r·p-p2)
=(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0.
∴⊥,即MN⊥AB.
同理可证,MN⊥CD.
(2)解:由(1)可知,=(q+r-p),
∴||2=(q+r-p)2
=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]
=
=×2a2=,
∴||=a.∴MN的长为a.
(3)解:设向量与的夹角为θ.
∵=(+)=(q+r),
=-=q-p,
∴·=(q+r)·
==.
又∵||=||=a,
∴·=||||cos θ
=a×a×cos θ=,
∴cos θ=,
∴向量与的夹角的余弦值为,
从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.
[方法技巧] 1.利用空间向量解决立体几何问题的两种思路
(1)选好基底,用向量表示出几何量,利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.
(2)建立空间坐标系,进行向量的坐标运算,根据运算结果的几何意义解释相关问题.
2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.
[易错防范] 用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线a∥b,只需证明向量a=λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.
课外拓展阅读
“两向量同向”意义不清致误分析
[典例] 已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x,y的值分别为________.
[错因分析] 将a,b同向和a∥b混淆,没有搞清a∥b的意义:a,b方向相同或相反.
[解析] 由题意知,a∥b,
所以==,
即
把①代入②,得
x2+x-2=0,(x+2)(x-1)=0,
解得x=-2或x=1.
当x=-2时,y=-6;
当x=1,y=3.
当时,b=(-2,-4,-6)=-2a,
两向量a,b反向,不符合题意,所以舍去.
当时,b=(1,2,3)=a,
a与b同向,所以
[答案] 1,3
温馨提醒
1.两向量平行和两向量同向不是等价的,同向是平行的一种情况,两向量同向能推出两向量平行,但反过来不成立,也就是说,“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件.
2.若两向量a,b满足a=λb(b≠0)且λ>0,则a,b同向;在a,b的坐标都是非零的条件下,a,b的坐标对应成比例且比值为正值.