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- 2021-06-10 发布
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数学(文)试卷
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知集合 P={ | 0},Q={ | },则 P∩Q=( )
A.(- ,2) B.[0,+ C.[2,+ D.(2,+ )
2. 命题“ (0,+ ), ”的否定是( )
A. (0,+ ), B. (0,+ ),
C. (0,+ ), D. (0,+ ),
3.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,则 A>B 是 tanA>tanB 成立的
( )条件:
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
4.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递增的函数是( )
A.
B.
C.
D.
5. 函数 的零点 所在区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
6.已知直线 是曲线 的一条切线,则 的值为( )
A. B. C. D.
7. 函数 = 在[-2,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围为( )
A.[4,+∞) B.[4,5) C.[4,8) D.[8,+∞)
8.函数 f(x)= 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
x x ≥ x 02
1 ≥−
+
x
x
∞ ∞ ) ∞ ) ∞
0x∃ ∈ ∞ 1ln 00 −= xx
0x∃ ∈ ∞ 1ln 00 −≠ xx 0x∃ ∉ ∞ 1ln 00 −= xx
∈∀x ∞ 1ln −≠ xx ∉∀x ∞ 1ln −= xx
y x m= − + 2 3lny x x= − m
0 2 1 3
(0, )+∞
( ) 2 2x xf x −= − 2( ) 1f x x= − 1
2
( ) logf x x= ( ) sinf x x x=
( ) ln 2 6f x x x= + − 0x
( )f x 2
1
2
log ( 6)x ax+ +
2
sin
1
x
x +
9.已知函数 满足 ,且当 时, 成立,若
, 的大小关系是( )
A. B. C. D.
10.已知函数 ,若 ,使得 成立,
则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
11.已知定义域为 的奇函数 ,当 时,满足 ,则
( )
A. B. C.-2 D.0
12.把函数 的图象向右平移一个单位,所得图象与函数 的图象关于
直线 对称;已知偶函数 满足 ,当 时, ;
若函数 有五个零点,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
13.设函数 满足 ,则 ___________.
14.已知 是奇函数,且 时的解析式是 ,若
时,则 的表达式为____________.
15.如果曲线 在点 处的切线垂直于直线 ,那么点 的坐标为
___________.
16 . 已 知 定 义 在 上 的 奇 函 数 满 足 , 当 时 ,
R ( )f x 0x > ( )
( )
( )
2
3log 7 2 0 2
33 , 2
x x
f x
f x x
− − < ≤=
− >
,
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2020f f f f+ + + + =
2log 5 2log 5−
( )f x ( ) ( ) ( )2 3 1 1f x x f x f′= + − ( )' 1f =
)(xf )()( xfxf −= )0,(−∞∈x )(')( xxfxf + 0>
0.2 0.2(3 ) (3 ), (ln2) (ln2)a f b f= ⋅ = ⋅ 3 3
1 1(log ) (log ), , ,9 9c f a b c= ⋅ 则
a b c> > c b a> > c a b> > a c b> >
( ) 2
2
2 2, 2{
log , 2
x x xf x
x x
− + ≤=
> 0 Rx∃ ∈ ( ) 2
0 5 4f x m m≤ −
m
11, 4
−
1 ,14
12, 4
−
1 ,13
( ) ( )1log2 += xxf ( )xg
xy = ( )xh ( ) ( )11 −−=− xhxh [ ]1,0∈x ( ) ( ) 1−= xgxh
( ) ( )xhxkfy −= k
( )1,2log3
[ )1,2log3
2
1,2log6
2
1,2log6
( )f x ( )0,x∈ +∞ ( ) 2 2f x x x= − + ( ),0x∈ −∞
( )f x
4y x x= − P 1
3y x= − P
R ( )f x ( ) ( )π+ = −f x f x 0, 2
π ∈ x
,则方程 在区间 上所有的实数解之和为___________.
三.解答题(本大题共 6 小题.共计 70 分)
17(10 分)已知函数 , .
(1)若 ,求不等式 的解集;
(2)若关于 的不等式 恒成立,求 的取值范围.
18. (本题满分 12 分)海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,
从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品
中共抽取 6 件样品进行检测.
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量;
(2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相同
地区的概率.
19.(本题满分 12 分)如图,在五面体 ABCDFE 中,侧面 ABCD 是正方形, 是等腰
直角三角形,点 O 是正方形 ABCD 对角线的交点,EA=EB,AD=2EF=6 且
( )=f x x ( ) ( ) 1π− =x f x [ ],3π π−
1( )f x x x aa
= − + + 0a >
2a = ( ) 3f x ≤
x ( ) 4f x > a
ABE∆
//EF AD
(1) 证明:0F//平面 ABE.
(2) 若侧面 ABCD 与底面 垂直,求五面体 ABCDFE 的体积。
20. (本题满分 12 分)已知 .若函数 的最小
值为 2.
(1)求 的值;
(2)证明:
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 ( ).
(1)若 ,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)设函数 ,若存在 ,使得 成立,求实数 的最
大值.
ABE
0, 0, 0a b c> > > ( )f x x a x b c= + + − +
a b c+ +
1 1 1 9
4a b b c c a
+ + ≥+ + +
xxtxxf ln)12()( 2 ++−= Rt ∈
2=t )(xfy = ))1(,1( f
xtxg )1()( −= ],1[0 ex ∈ )()( 00 xgxf ≥ t
22.(本小题满分 12 分)
已知函数 ( 是自然对数的底数).
(1)若函数 在 上单调递减,求 的取值范围;
(2)当 时,记 ,其中 为 的导函数;证明:对任意 ,
.
( ) ( )lnf x a x x= − e
( )f x (0, )+∞ a
1a = ( )( ) x
xf xg x e
′= '( )f x ( )f x 0x >
2( ) 1g x e−< +
答案
答案一、选择题
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 D C C B C B B A A B B C
二、填空题
13.-1 14. 15.(1,0) 16.
17【解析】(1) 时,不等式为 ,
当 时,不等式化为: , ,此时 ;
当 时,不等式化为: , ,此时- ;
当 时,不等式化为: , ,此时 .
综上,不等式的解集为 .
(2) ,
, ,
又 , ,解得 或 ,
即 的取值范围是 .
18.解析:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是
6
50+150+100=
1
50,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50× 1
50=1,150× 1
50=3,
100× 1
50=2.
所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2.
(2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.则抽取的这 2 件
xxy 22 += π4
2a = 1 2 32x x− + + ≤
2x ≤ − 1 2 32x x− + − − ≤ 9
4x∴ ≥ − 9 24 x− ≤ ≤ −
12 2x− < < 5 32
≤ x R∈ 12 2x− < <
1
2x ≥ 1 2 32x x− + + ≤ 3
4x∴ ≤ 1 3
2 4x≤ ≤
9 3[ , ]4 4x∈ −
1( )f x x x aa
− + + ≥ 1 1( ) ( )x x a aa a
− − + = +
( ) 4f x > ⇔ min( ) 4f x > 1 4a a
∴ + >
0a >
1 4a a
∴ + > 0 2 3a< < − 2 3a > +
a (0,2 3) (2 3, )− ∪ + +∞
商品构成的所有基本事件为:
{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,
C2},{B2,B3}{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个.
每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.
记事件 D 为“抽取的这 2 件商品来自相同地区”,
则事件 D 包含的基本事件有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个.
所以 P(D)=
4
15,即这 2 件商品来自相同地区的概率为
4
15.
19 证明:取 AB 中点 M,连 OM,EM,
因为 EF//BC,EF= BC,且侧面 ABCD 是正方形,所以 EF//OM,EF=OM.所以四边形 EFOM 是平行
四边形,所以 OF//EM,又 EM 平面 ABE,OF 平面 ABE,所以 0F//平面 ABE. ...... 5 分
(2)取 AD 的中点 G,BC 的中点 H,连接 GH,FG,FH。
AD AB, 所 以 AD 底 面 ABE. 则 EF=3,AE=BE= ,
因为 M 为 AB 中点,EA=EB,所以 EM AB,EM 底面 ABCD,从而 FO 平
面 ABC
又 FO=EM=3,则
所以 ........... 12 分.
20 答案
(1).∵
当且仅当 时,等号成立, 3 分
∴ 的最小值为 ,∴ . 5 分
(2).由 1 可知, ,且 都是正数,
所以
1
2
⊂ ⊄
⊥ ⊥ 3 2
3 2 3 2 3 272ABE GHFV −
×= × =
⊥ ⊥ ⊥
1 6 3 3 183F CDGHV − = × × =
27 18 45ABCDFEV = + =五面体
( ) ( ) ( )f x x a x b c x a x b c a b c a b c= + + − + ≥ + − − + = + + = + +
a x b− ≤ ≤
( )f x a b c+ + 2a b c+ + =
2a b c+ + = , ,a b c
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1
4 a b b c c aa b b c c a a b b c c a
+ + = + + + + + + + + + + + + +
9 分
当且仅当 时,取等号,所以 得证
21.【解析】
22【解析】
1 34
b c a b b c c a a b a c
a b b c c a b c c a a b
+ + + + + + = + + + + + + + + + + + +
( )1 93 2 2 24 4
≥ + + + =
1a b c= = = 1 1 1 9
4a b b c c a
+ + ≥+ + +
(1)由 得, ,由 得
.令 ,则 令 的 ,当
时, , 递减;当 时, , 递增.
则 的取值范围取值范围是
(2)当 时, ,令 ,所以
令 得 .因此当 时, , 单调递增;当 时,
, 单调递减. .即 又 时,
故 ),则 ,即对任意 ,
( ) ( )lnf x a x x= − ln( ) a x x xf x x
− −′ = ln( ) 0a x x xf x x
− −′ = ≤
lnx x x a+ ≥ ( ) lnx x x xϕ = + ( ) 2 lnx xϕ′ = + '( ) 0xϕ = 2x e−= 2(0, )x e−∈
'( ) 0xϕ < ( )xϕ 2( , )x e−∈ +∞ '( ) 0xϕ > ( )xϕ
2 2
min( ) ( )x e eϕ ϕ − −= = − a 2( , ]e−∞ −
1a = 1 ln( ) x
x x xg x e
− −= ( ) 1 ln ( 0)h x x x x x= − − > ( ) ln 2h x x= − −′
( ) 0h x′ = 2x e−= 2(0, )x e−∈ ( ) 0h x′ > ( )h x 2( , )x e−∈ +∞
( ) 0h x′ < ( )h x 2 2
max( ) ( ) 1h x h e e− −= = + 21 ln 1x x x e−− − ≤ + 0x >
1xe > 2 21 ln 1 (1 )xx x x e e e− −− − ≤ + < + 21 ln 1x
x x x ee
−− − < + 0x >
2( ) 1g x e−< +