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  • 2021-06-10 发布

【推荐】专题2-2+椭圆-试题君之K三关2017-2018学年高二数学人教版(选修2-1)x

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‎2.2 椭 圆 ‎1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于_________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.‎ 这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.‎ 椭圆的集合描述:设点M是椭圆上任意一点,点F1,F2是椭圆的焦点,则由椭圆的定义,椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,0<|F1F2|<2a}.‎ ‎2.椭圆的标准方程的推导过程 如图,给定椭圆,它的焦点为F1,F2,焦距|F1F2|=2c(c>0),椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a(a>c).‎ ‎(1)建系:以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy.那么焦点F1,F2的坐标分别为_________,_________.‎ ‎(2)列式:设M(x,y)是椭圆上任意一点,由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a,即 .‎ ‎(3)化简:上式整理可得.令,可得(a>b>0).‎ ‎3.椭圆的标准方程 椭圆的标准方程有两种形式:‎ ‎(1)焦点落在x轴上的椭圆的标准方程为(a>b>0),焦点为F1 (-c,0),F2 (c,0),焦距为_________,且_________,如图1所示;‎ ‎(2)焦点落在y轴上的椭圆的标准方程为(a>b>0),焦点为F1 (0,-c),‎ F2 (0,c),焦距为_________,且_________,如图2所示.‎ 图1 图2 图3‎ 注:椭圆方程中,a表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半,可借助于图3记忆.正数a,b,c恰好构成一个直角三角形,其中a是斜边,所以a>b,a>c且,其中c是焦距的一半.对于图2中的椭圆,关系式a>b,a>c且也始终成立.‎ ‎4.椭圆(a>b>0)的简单几何性质 ‎(1)范围 易知,故,即;同理.‎ 故椭圆位于直线和所围成的矩形框里.‎ ‎(2)对称性 在方程中,以代替或以代替或以代替、以代替,方程都不改变,故椭圆关于x轴、y轴和原点都对称.原点为椭圆的对称中心,也称为椭圆的中心.‎ ‎(3)顶点 椭圆与x轴、y轴分别有两个交点,这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点,叫做椭圆的顶点.‎ 其中x轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴,y轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴,长轴长为_________,短轴长为_________.‎ 说明:依据椭圆的四个顶点,可以确定椭圆的具体位置.‎ ‎(4)离心率 椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的_________.‎ 离心率能够刻画椭圆的扁平程度.椭圆的扁平程度由离心率的大小确定,与椭圆的焦点所在的坐标轴无关,e越大椭圆越扁,e越小椭圆越圆.‎ ‎5.椭圆,(a>b>0)的几何性质比较 标准方程 (a>b>0)‎ (a>b>0)‎ 图形 范围 , , 对称性 对称轴:x轴、y轴;对称中心:原点 焦点 左焦点F1 (-c,0),右焦点F2 (c,0)‎ 下焦点F1 (0,-c),上焦点F2 (0,c)‎ 顶点 ‎ 轴 线段A1A2,B1B2分别是椭圆的长轴和短轴;‎ 长轴长|A1A2|=2a,短轴长|B1B2|=2b,长半轴长为a,短半轴长为b 离心率 e K知识参考答案:‎ ‎1.常数 2.(-c,0) (c,0) 3.2c b2+c2 2c b2+c2 4.2a 2b 离心率 K—重点 椭圆的定义、标准方程及简单几何性质 K—难点 椭圆标准方程的应用(以椭圆的标准方程为载体,与其他知识综合)‎ K—易错 忽略椭圆定义中的限制条件、焦点的位置、椭圆的范围而致错 对椭圆的两种标准方程的理解 对于方程,‎ ‎①表示焦点在x轴上的椭圆且;‎ ‎②表示焦点在y轴上的椭圆且;‎ ‎③表示椭圆且.‎ 对于方程,‎ ‎(1)若该方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围为________________;‎ ‎(2)若该方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为________________;‎ ‎(3)若该方程表示椭圆,则实数m的取值范围为________________.‎ ‎【答案】(1)(2,10);(2)(-6,2);(3)(-6,2)∪(2,10) .‎ ‎【解析】(1)由题意可知,解得,故实数m的取值范围为(2,10).‎ ‎(3)由题意可知,解得且,故实数m的取值范围为(-6,2)∪(2,10).‎ ‎【名师点睛】对于形如:Ax2+By2=1(其中A>0,B>0,A≠B)的椭圆的方程,其包含焦点在x轴上和在y轴上两种情况,当B>A时,表示焦点在x轴上的椭圆;当B<A时,表示焦点在y轴上的椭圆.‎ 椭圆的定义及其标准方程的应用 椭圆的定义给出了一个结论:椭圆上的点P到两焦点F1,F2的距离的和为常数2a,则已知椭圆上一点到一焦点的距离就可以利用|PF1|+|PF2|=2a求出该点到另一焦点的距离.‎ 已知F1,F2是椭圆的两个焦点,点P在椭圆上.‎ ‎(1)若点P到焦点F1的距离等于1,则点P到焦点F2的距离为________________; ‎(2)过F1作直线与椭圆交于A,B两点,则的周长为________________;‎ ‎(3)若,则点P到焦点F1的距离为________________.‎ ‎【答案】(1)3;(2)8;(3).‎ ‎【解析】由椭圆的标准方程可知:,,故,,.‎ ‎(3)在中,由余弦定理可得,‎ 即,由椭圆的定义可得,两式联立解得 .‎ ‎【名师点睛】在椭圆中,由三条线段,,围成的三角形称为椭圆的焦点三角形,涉及椭圆的焦点三角形的问题,可结合椭圆的定义:求出结果,因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.同时应注意勾股定理、正弦定理、余弦定理等的灵活应用.‎ 由椭圆方程研究简单几何性质 描点法画椭圆的步骤:‎ ‎①依据椭圆的范围变形方程,得到椭圆在第一象限内的图象对应的函数关系式;‎ ‎②取点(x,y),列表、描点;‎ ‎③用平滑的曲线连接各点,即得到椭圆在第一象限内的图象;‎ ‎④利用椭圆的对称性画出整个椭圆.‎ 求椭圆9x2+25y2=225的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】将椭圆的方程化为标准形式得,得a=5,b=3,则.‎ 因此,长轴2a=10,短轴长2b=6,离心率.‎ 焦点为F1(-4,0)和F2(4,0),顶点为A1(-5,0), A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3).‎ 将方程变形为,根据可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x,y),列表如下:‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎3‎ ‎2.94‎ ‎2.75‎ ‎2.4‎ ‎1.8‎ ‎0‎ 先描点,再用光滑曲线顺次连接这些点,得到椭圆在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称 性画出整个椭圆,如上图所示.‎ ‎【名师点睛】解决此类问题时,应先把椭圆方程化成标准形式,注意分清焦点的位置,这样便于写出a,b的值,再根据c2=a2-b2求出c,进而求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质.‎ 求椭圆的标准方程 ‎(1)定义法求椭圆的标准方程的步骤:①由焦点坐标确定方程形式;②由椭圆的定义求出a;③由求出b.(也可采用待定系数法进行求解,主要步骤可归纳为:先定型,再定量).‎ ‎(2)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤(通常采用待定系数法):①确定焦点位置;②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程);③根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的关系式有,等.‎ 求满足下列条件的椭圆的标准方程:‎ ‎(1)焦点分别为,,且经过点;‎ ‎(2)经过点,;‎ ‎(3)长轴长与短轴长的和为18,焦距为6;‎ ‎(4)经过点,且离心率;‎ ‎(5)经过点,且与椭圆有相同的焦点;‎ ‎(6)经过点,且与椭圆有相同的离心率.‎ ‎【答案】(1);(2);(3)或;(4)或;(5);(6)或.‎ ‎【解析】(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为.‎ 方法1:由椭圆的定义知,所以.‎ 又,所以,所以所求椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)方法1:若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为.‎ 由已知条件得,解得,所以所求椭圆的标准方程为.‎ 若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为.‎ 由已知条件得,解得,由于,与矛盾,故舍去.‎ 综上,所求椭圆的标准方程为.‎ 方法2:设椭圆的一般方程为.‎ 将点,代入一般方程,得,解得,,‎ 所以所求椭圆的标准方程为.‎ ‎(3)设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,‎ 由题意可知,结合可解得a=5,b=4,c=3.‎ 因为不确定焦点在哪个坐标轴上,所以所求椭圆的标准方程为或.‎ 当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为,‎ 由题意,得,因为,解得,从而,‎ 所以所求椭圆的标准方程为.‎ 综上,所以所求椭圆的标准方程为或.‎ ‎(5)方法1:求出焦点坐标,则可转化为(1)的形式,此处不再赘述.‎ 方法2:设所求椭圆的方程为,将点M的坐标代入可得,‎ 解得舍去.故所求椭圆的标准方程为.‎ ‎(6)方法1:求出离心率,由a,b,c之间的关系及方程过点N,列方程组即可求解,此处不再赘述.‎ 方法2:设所求椭圆的方程为或,‎ 将点N的坐标代入可得或,即,,‎ 故所求椭圆的标准方程为或,即或.‎ ‎【名师点睛】(1)若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为,从而避免讨论.‎ ‎(2)在椭圆的简单几何性质的应用中,轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个.‎ ‎(3)与椭圆有相同焦点的椭圆方程可设为且,与椭圆有相同离心率的椭圆方程可设为,焦点在x轴上或,焦点在y轴上.‎ 求椭圆的离心率 离心率是椭圆的重要几何性质,也是高考命题的重点,求解方法一般有两种:‎ ‎①易求a,c,代入求解;易求b,c,由求解;易求a,b,由求解.‎ ‎②列出含a,c的齐次方程,列式时常用公式代替式子中的b,然后将等式两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2),从而利用转化为含e的方程,解方程即可.但应注意.‎ ‎(1)设F1,F2是椭圆E:的左、右焦点,P为直线上一点, 是底角为的等腰三角形,则椭圆E的离心率为___________;‎ ‎(2)如图1,在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,B1,B2为椭圆 的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为___________.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)如图2,设直线交x轴于D点,因为是底角为的等腰三角形,则有,因为,所以,,所以,即,即,即,所以椭圆E的离心率.‎ 图1 图2‎ 又点M在椭圆上,所以,整理得,‎ 两边同时除以,可得,解得或(舍去).‎ ‎【名师点睛】在解一元二次方程时得出的根一般有两个,此时要根据椭圆的离心率进行根的取舍,否则易产生增根.‎ 与椭圆有关的轨迹问题 求解有关椭圆的轨迹问题,一般有如下两种思路:‎ ‎①首先通过题干中给出的等量关系列出等式,然后化简等式得到对应的轨迹方程;‎ ‎②首先分析几何图形所揭示的几何关系,然后对比椭圆的定义,设出对应椭圆的标准方 程,求出其中a,b的值,得到标准方程.‎ 如图1,在圆C:(x+1)2+y2=36内有一点A(1,0),点Q为圆C上一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,求点M的轨迹方程.‎ 图1 图2‎ ‎【答案】.‎ 故点M的轨迹方程为.‎ 直线与椭圆的位置关系 ‎(1)判断直线与椭圆的位置关系时,一般把二者方程联立得到方程组,判断方程组解的个数,方程组有几个解,直线与椭圆有几个公共点,方程组的解对应公共点的坐标.由直线与椭圆的公共点个数求参数的取值范围时,联立二者方程消元化为一元方程,对于二次方程依据判别式与0的大小关系求解.‎ ‎(2)求直线与椭圆的相交弦长时,可以先求出两个公共点的坐标,代入两点间距离公式,也可以联立方程消元为二次方程,利用根与系数的关系得到.‎ 已知直线,椭圆C:.试问当m取何值时,直线l与椭圆C: ‎ ‎(1)有两个不重合的公共点;‎ ‎(2)有且只有一个公共点;‎ ‎(3)没有公共点.‎ ‎【答案】(1);(2);(3).‎ ‎【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组,‎ 消去y,得 ①,判别式.‎ ‎(1)当,即时,方程①有两个不同的实数解,‎ 可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.‎ ‎(2)当,即时,方程①有两个相同的实数解,‎ 可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点.‎ ‎(3)当,即或时,方程①没有实数解,‎ 可知原方程组没有实数解,这时直线l与椭圆C没有公共点.‎ ‎【名师点睛】联立方程组后,消去x还是消去y都可以,这是不影响最终计算结果的.‎ 如图,已知斜率为1的直线l过椭圆C:的下焦点,交椭圆C于A,B两点,则弦AB的长等于_______________.‎ ‎【答案】 将其代入,化简整理得,所以,,‎ 所以.‎ ‎【名师点睛】解决直线与椭圆的交点问题常常利用设而不求和整体代入的方法,解题步骤为:‎ ‎(1)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2);‎ ‎(2)联立直线与椭圆的方程,消元得到关于x或y的一元二次方程;‎ ‎(3)利用根与系数的关系设而不求;‎ ‎(4)利用题干中的条件转化为x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2,进而求解.‎ 忽略椭圆定义中的限制条件从而导致错误 ‎(1)已知F1,F2为两定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 ‎(2)若方程表示椭圆,则实数k的取值范围为________________.‎ ‎【错解】(1)由椭圆的定义知点M的轨迹是椭圆,故选A.‎ ‎(2)由,可得,所以实数k的取值范围为(6,8).‎ ‎【错因分析】(1)中忽略了椭圆定义中|F1F2|<2a这一隐含条件;(2)中忽略了椭圆标准方程中a>b>0这一限制条件,当a=b>0时表示的是圆的方程.‎ ‎【正解】(1)虽然动点M到两个定点F1,F2的距离为常数6,但由于这个常数等于|F1F2|,故动点M的轨迹是线段F1F2,故选D.‎ ‎(2)由,可得且,所以实数k的取值范围为(6,7)∪(7,8).‎ ‎【名师点睛】准确理解椭圆的定义,明确椭圆定义中的限制条件,才能减少解题过程中的失误,从而保证解题的正确性.‎ 忽略对椭圆焦点位置的讨论从而导致错误 已知椭圆的标准方程为,并且焦距为8,则实数k的值为_____________.‎ ‎【错解1】因为2c=8,所以c=4,由椭圆的标准方程知a2=36,b2=k2,a2=b2+c2,‎ 所以36=k2+42,即k2=20,又k>0,故.‎ ‎【错解2】因为2c=8,所以c=4,由椭圆的标准方程知a2=k2,b2=36,a2=b2+c2,‎ 所以k2=36+42,即k2=52,又k>0,故.‎ ‎【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时,求椭圆的标准方程需要进行分类讨论,而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论,从而导致错误.‎ 所以36=k2+42,即k2=20,又k>0,故;‎ ‎②当焦点在y轴上时,由椭圆的标准方程知a2=k2,b2=36,a2=b2+c2,‎ 所以k2=36+42,即k2=52,又k>0,故.‎ 综上,或.‎ ‎【名师点睛】涉及椭圆方程的问题,如果没有指明椭圆焦点所在的位置,一般都会有两种可能的情形,不能顺着思维定式,想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解.‎ 忽略椭圆的范围从而导致错误 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率,已知点到椭圆的最远距离为,求椭圆的标准方程.‎ ‎【错解】由题意可设椭圆的标准方程为,‎ 则,故,即.‎ 设椭圆上的点到点P的距离为d,‎ 则,‎ 所以当时,取得最大值,从而d取得最大值,‎ 所以,解得,.‎ 故所求椭圆的标准方程为.‎ ‎【错因分析】错解中“当时,取得最大值”这一步的推理是错误的,没有考虑椭圆方程中y的取值范围,事实上,由于点在椭圆上,所以,因此在求的最大值时,应分类讨论.‎ ‎【正解】由题意可设椭圆的标准方程为,‎ 则,故,即.‎ 于是,解得,与矛盾,故,‎ 所以当时,取得最大值,从而d取得最大值,‎ 所以,解得,.‎ 故所求椭圆的标准方程为.‎ ‎【名师点睛】准确把握椭圆定义中的限制条件,是正确解题的前提,在求解时,应做到步步有依据,这样才能避免出错.‎ ‎1.已知椭圆,焦点在轴上,若焦距为,则等于 A. B. C. D. ‎2.椭圆的一个焦点坐标是 A. B. C. D. ‎3.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为,则点到另一个焦点的距离为 A. B. C. D. ‎4.若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则 A. B. C. D. ‎5.已知的顶点、在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长是 A. B. C. D. ‎6.离心率为,长轴长为的椭圆的标准方程是 A. B.或 C. D.或 ‎7.如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为,是的中点,是坐标原点,则的长为 A. B. C. D. ‎8.设椭圆的左、右焦点分别为,,是上的点,,,则的离心率为 A. B. C. D. ‎9.椭圆上横坐标为的点到右焦点的距离为_______________.‎ ‎10.已知椭圆,则离心率等于_______________.‎ ‎11.已知方程表示椭圆,则实数的取值范围为_______________.‎ ‎12.若椭圆的离心率,则实数的值为_______________.‎ ‎13.已知椭圆的中心在原点,两焦点,在轴上,且过点.若,求椭圆的标准方程.‎ ‎14.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.‎ ‎15.已知椭圆,,点在椭圆上,且,其中为坐标原点,则点的坐标为 A. B. C. D. ‎16.已知为椭圆的左,右焦点,点在上,,则等于 A. B. C. D. ‎17.椭圆的左,右焦点分别为,弦过,若△的内切圆周长为,两点的坐标分别为,则值为 A. B. C. D. ‎18.已知椭圆上有一点,它关于原点的对称点为,点为椭圆的右焦点,且满足,设,且,则该椭圆的离心率的取值范围为 A. B. C. D. ‎19.椭圆的左焦点为,为椭圆上的动点,是圆上的动点,则的最大值是_______________.‎ ‎20.在平面直角坐标系中,点是椭圆上的点,以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点,圆与轴相交于、两点.若为锐角三角形,则该椭圆离心率的取值范围是_______________.‎ ‎21.已知椭圆的离心率,焦距是.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线与椭圆交于、两点,,求的值.‎ ‎22.已知椭圆的离心率为,椭圆的左、右焦点分别是、,点为椭圆上的一个动点,面积的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)为椭圆上一点,与轴相交于,且.若直线与椭圆相交于另一点,求的面积.‎ ‎23.(2017浙江)椭圆的离心率是 A. B. C. D. ‎24.(2017新课标全国III理)已知椭圆C:的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线相切,则C的离心率为 A. B. C. D. ‎25.(2017新课标全国I)设A,B是椭圆C:长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是 A. B. C. D. ‎26.(2017江苏)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.‎ ‎ (1)求椭圆的标准方程;‎ ‎ (2)若直线,的交点在椭圆上,求点的坐标.‎ ‎27.(2017新课标全国I理)已知椭圆C:,四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.‎ ‎28.(2017天津)已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为,的面积为.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设点在线段上,,延长线段与椭圆交于点,点,在轴上,,且直线与直线间的距离为,四边形的面积为.‎ ‎①求直线的斜率;‎ ‎②求椭圆的方程.‎ ‎1.【答案】D ‎【解析】因为焦点在轴上,所以,即,又,所以,故选D.‎ ‎2.【答案】D ‎3.【答案】B ‎【解析】设所求距离为,由题意得.根据椭圆的定义得,故选B.‎ ‎4.【答案】B ‎【解析】由题椭圆焦点在轴上,且离心率为,故.故选B.‎ ‎5.【答案】C ‎【解析】如图,设椭圆的另外一个焦点为,由椭圆的方程知,则的周长.故选C.‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】由题意知,当焦点在轴上时,;当焦点在轴上时,.故选B.‎ ‎7.【答案】C ‎【解析】∵椭圆方程为,∴,根据椭圆的定义得,‎ 而是△的中位线,∴,故选C.‎ ‎9.【答案】 ‎【解析】由椭圆方程可知,右焦点为,将代入椭圆方程得,所以两点间距离为.‎ ‎10.【答案】 ‎【解析】由椭圆的方程可知.‎ ‎11.【答案】且 ‎【解析】由椭圆的定义知解得且.‎ 故实数的取值范围为且.‎ ‎12.【答案】或 ‎【解析】由题意得,即或,解得或.‎ ‎13.【答案】.‎ ‎【解析】设椭圆的标准方程为,焦点,.‎ ‎∵,∴,而, ,‎ ‎∴,∴,即,∴,.‎ ‎∵,‎ ‎∴,∴.‎ ‎∴所求椭圆的标准方程为.‎ ‎14.【答案】.‎ ‎【解析】如图,设焦点坐标为,,是椭圆上一点,依题意设点坐标为.‎ 在中,,即,‎ 而,整理得.‎ 又,所以,所以,‎ 所以,所以.‎ ‎16.【答案】B ‎【解析】由题意可知,, ,,故选B.‎ ‎17.【答案】A ‎【解析】由椭圆的标准方程可得,因为的内切圆周长为,所以的内切圆的半径为,而三角形内切圆半径和周长与三角形的面积的关系为,所以的面积为,而的面积又等于和的面积之和,即,所以,故选A.‎ ‎19.【答案】 ‎【解析】圆的圆心为,半径为.由椭圆方程可知,所以,左焦点为,右焦点为.‎ 故,‎ 所以.‎ ‎20.【答案】 ‎【解析】过点作轴,垂足为点,∵△是锐角三角形,∴,,∴,,化为,,∴,,解得,,故该椭圆离心率的取值范围是.‎ ‎21.【答案】(1);(2).‎ ‎(2)设,,将代入,整理得,‎ 所以 ①,,,‎ 又,,所以,‎ 又,‎ 代入上式,整理得,即,‎ 解得(舍去)或,即,‎ 经验证,能使①成立,故.‎ ‎22.【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)由已知条件得,,‎ 又,∴,,.∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)由,知为的中点,设,则,‎ 又在椭圆上,所以可代入求得,∴直线的方程为.‎ 由消去可得,‎ 设,,则,,∴,,‎ ‎∴.‎ ‎24.【答案】A ‎【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点,半径为,圆的方程为,‎ 直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即,整理可得,即即,从而,则椭圆的离心率,故选A.‎ ‎25.【答案】A ‎【解析】当时,焦点在轴上,要使C上存在点M满足,则,即,得;当时,焦点在轴上,要使C上存在点M满足,则,即,得,故的取值范围为,故选A.‎ ‎26.【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)设椭圆的半焦距为c.‎ 因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以,,‎ 解得,于是,‎ 因此椭圆E的标准方程是.‎ ‎(2)由(1)知,,.‎ 设,因为为第一象限的点,故.‎ 当时,与相交于,与题设不符.‎ 当时,直线的斜率为,直线的斜率为.‎ 因为,,所以直线的斜率为,直线的斜率为,‎ 从而直线的方程: ①,直线的方程: ②.‎ 由①②,解得,所以.‎ 因为点在椭圆上,由对称性,得,即或.‎ 又在椭圆E上,故.‎ 由,解得;,无解.‎ 因此点P的坐标为.‎ ‎27.【答案】(1);(2)证明见解析.‎ ‎(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t,‎ 由题设知,且,可得A,B的坐标分别为(t,),(t,).‎ 则,得,不符合题设,从而可设l:().‎ 将代入得,由题设可知.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.‎ 而.‎ 由题设,故,‎ 即,解得,‎ 当且仅当时,于是l:,即,‎ 所以l过定点(2,).‎ ‎【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中未告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况,其通法是联立方程,求判别式,利用根与系数的关系,再根据题设关系进行化简.‎ ‎28.【答案】(1);(2)①,②.‎ ‎【思路分析】(1)先根据题意得出,然后结合,即可求得离心率;‎ ‎(2)①首先设直线的方程为,再写出直线的方程,两方程联立得到点的坐标,根据求得的值,即得直线的斜率;②将直线的方程和椭圆方程联立,可得点的坐标,再求,确定直线和都垂直于直线,根据平面几何关系求面积,从而可求得的值,进而得椭圆的方程.‎ ‎(2)①依题意,设直线FP的方程为,则直线FP的斜率为.‎ 由(1)知,可得直线AE的方程为,即,‎ 与直线FP的方程联立,可解得,即点Q的坐标为.‎ 由已知|FQ|=,有,‎ 整理得,所以,故直线FP的斜率为.‎ 因此可得点,进而可得,‎ 所以.‎ 由已知,线段的长即为与这两条平行直线间的距离,‎ 故直线和都垂直于直线.‎ 因为,所以,‎ 所以的面积为,同理的面积等于,‎ 由四边形的面积为,得,整理得,‎ 又由,得.‎ 所以,椭圆的方程为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎

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