【推荐】专题2-2+椭圆-试题君之K三关2017-2018学年高二数学人教版（选修2-1）x 34页

‎2.2 椭 圆 ‎1．椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．‎ 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距．‎ 椭圆的集合描述：设点M是椭圆上任意一点，点F1，F2是椭圆的焦点，则由椭圆的定义，椭圆就是集合P＝{M｜|MF1|＋|MF2|＝2a，0＜|F1F2|＜2a}．‎ ‎2．椭圆的标准方程的推导过程 如图，给定椭圆，它的焦点为F1，F2，焦距|F1F2|＝2c(c＞0)，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a(a＞c)．‎ ‎（1）建系：以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy．那么焦点F1，F2的坐标分别为_________，_________．‎ ‎（2）列式：设M(x，y)是椭圆上任意一点，由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝2a，即 ．‎ ‎（3）化简：上式整理可得．令，可得(a＞b＞0)．‎ ‎3．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程有两种形式：‎ ‎（1）焦点落在x轴上的椭圆的标准方程为(a＞b＞0)，焦点为F1 (－c，0)，F2 (c，0)，焦距为_________，且_________，如图1所示；‎ ‎（2）焦点落在y轴上的椭圆的标准方程为(a＞b＞0)，焦点为F1 (0，－c)，‎ F2 (0，c)，焦距为_________，且_________，如图2所示．‎ 图1 图2 图3‎ 注：椭圆方程中，a表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半，可借助于图3记忆．正数a，b，c恰好构成一个直角三角形，其中a是斜边，所以a＞b，a＞c且，其中c是焦距的一半．对于图2中的椭圆，关系式a＞b，a＞c且也始终成立．‎ ‎4．椭圆(a＞b＞0)的简单几何性质 ‎（1）范围 易知，故，即；同理．‎ 故椭圆位于直线和所围成的矩形框里．‎ ‎（2）对称性 在方程中，以代替或以代替或以代替、以代替，方程都不改变，故椭圆关于x轴、y轴和原点都对称．原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心．‎ ‎（3）顶点 椭圆与x轴、y轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点．‎ 其中x轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，y轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为_________，短轴长为_________．‎ 说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置．‎ ‎（4）离心率 椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的_________．‎ 离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆．‎ ‎5．椭圆，(a＞b＞0)的几何性质比较 标准方程 (a＞b＞0)‎ (a＞b＞0)‎ 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点F1 (－c，0)，右焦点F2 (c，0)‎ 下焦点F1 (0，－c)，上焦点F2 (0，c)‎ 顶点 ‎ 轴 线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；‎ 长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，长半轴长为a，短半轴长为b 离心率 e K知识参考答案：‎ ‎1．常数 2．(－c，0) (c，0) 3．2c b2＋c2 2c b2＋c2 4．2a 2b 离心率 K—重点 椭圆的定义、标准方程及简单几何性质 K—难点 椭圆标准方程的应用（以椭圆的标准方程为载体，与其他知识综合）‎ K—易错 忽略椭圆定义中的限制条件、焦点的位置、椭圆的范围而致错 对椭圆的两种标准方程的理解 对于方程，‎ ‎①表示焦点在x轴上的椭圆且；‎ ‎②表示焦点在y轴上的椭圆且；‎ ‎③表示椭圆且．‎ 对于方程，‎ ‎（1）若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________________；‎ ‎（2）若该方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________________；‎ ‎（3）若该方程表示椭圆，则实数m的取值范围为________________．‎ ‎【答案】（1）(2，10)；（2）(－6，2)；（3）(－6，2)∪(2，10) ．‎ ‎【解析】（1）由题意可知，解得，故实数m的取值范围为(2，10)．‎ ‎（3）由题意可知，解得且，故实数m的取值范围为(－6，2)∪(2，10)．‎ ‎【名师点睛】对于形如：Ax2＋By2＝1(其中A＞0，B＞0，A≠B)的椭圆的方程，其包含焦点在x轴上和在y轴上两种情况，当B＞A时，表示焦点在x轴上的椭圆；当B＜A时，表示焦点在y轴上的椭圆．‎ 椭圆的定义及其标准方程的应用 椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点P到两焦点F1，F2的距离的和为常数2a，则已知椭圆上一点到一焦点的距离就可以利用|PF1|＋|PF2|＝2a求出该点到另一焦点的距离．‎ 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上．‎ ‎（1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为________________； ‎（2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为________________；‎ ‎（3）若，则点P到焦点F1的距离为________________．‎ ‎【答案】（1）3；（2）8；（3）．‎ ‎【解析】由椭圆的标准方程可知：，，故，，．‎ ‎（3）在中，由余弦定理可得，‎ 即，由椭圆的定义可得，两式联立解得 ．‎ ‎【名师点睛】在椭圆中，由三条线段，，围成的三角形称为椭圆的焦点三角形，涉及椭圆的焦点三角形的问题，可结合椭圆的定义：求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．同时应注意勾股定理、正弦定理、余弦定理等的灵活应用．‎ 由椭圆方程研究简单几何性质 描点法画椭圆的步骤：‎ ‎①依据椭圆的范围变形方程，得到椭圆在第一象限内的图象对应的函数关系式；‎ ‎②取点(x，y)，列表、描点；‎ ‎③用平滑的曲线连接各点，即得到椭圆在第一象限内的图象；‎ ‎④利用椭圆的对称性画出整个椭圆．‎ 求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】将椭圆的方程化为标准形式得，得a＝5，b＝3，则．‎ 因此，长轴2a＝10，短轴长2b＝6，离心率．‎ 焦点为F1(－4，0)和F2(4，0)，顶点为A1(－5，0)， A2(5，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)．‎ 将方程变形为，根据可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x，y)，列表如下：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎3‎ ‎2.94‎ ‎2.75‎ ‎2.4‎ ‎1.8‎ ‎0‎ 先描点，再用光滑曲线顺次连接这些点，得到椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称 性画出整个椭圆，如上图所示．‎ ‎【名师点睛】解决此类问题时，应先把椭圆方程化成标准形式，注意分清焦点的位置，这样便于写出a，b的值，再根据c2＝a2－b2求出c，进而求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．‎ 求椭圆的标准方程 ‎（1）定义法求椭圆的标准方程的步骤：①由焦点坐标确定方程形式；②由椭圆的定义求出a；③由求出b．（也可采用待定系数法进行求解，主要步骤可归纳为：先定型，再定量）．‎ ‎（2）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤(通常采用待定系数法)：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有，等．‎ 求满足下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）焦点分别为，，且经过点；‎ ‎（2）经过点，；‎ ‎（3）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；‎ ‎（4）经过点，且离心率；‎ ‎（5）经过点，且与椭圆有相同的焦点；‎ ‎（6）经过点，且与椭圆有相同的离心率．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或；（5）；（6）或．‎ ‎【解析】（1）因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为．‎ 方法1：由椭圆的定义知，所以．‎ 又，所以，所以所求椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）方法1：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为．‎ 由已知条件得，解得，所以所求椭圆的标准方程为．‎ 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为．‎ 由已知条件得，解得，由于，与矛盾，故舍去．‎ 综上，所求椭圆的标准方程为．‎ 方法2：设椭圆的一般方程为．‎ 将点，代入一般方程，得，解得，，‎ 所以所求椭圆的标准方程为．‎ ‎（3）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，‎ 由题意可知，结合可解得a＝5，b＝4，c＝3．‎ 因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为或．‎ 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为，‎ 由题意，得，因为，解得，从而，‎ 所以所求椭圆的标准方程为．‎ 综上，所以所求椭圆的标准方程为或．‎ ‎（5）方法1：求出焦点坐标，则可转化为（1）的形式，此处不再赘述．‎ 方法2：设所求椭圆的方程为，将点M的坐标代入可得，‎ 解得舍去．故所求椭圆的标准方程为．‎ ‎（6）方法1：求出离心率，由a，b，c之间的关系及方程过点N，列方程组即可求解，此处不再赘述．‎ 方法2：设所求椭圆的方程为或，‎ 将点N的坐标代入可得或，即，，‎ 故所求椭圆的标准方程为或，即或．‎ ‎【名师点睛】（1）若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为，从而避免讨论．‎ ‎（2）在椭圆的简单几何性质的应用中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个．‎ ‎（3）与椭圆有相同焦点的椭圆方程可设为且，与椭圆有相同离心率的椭圆方程可设为，焦点在x轴上或，焦点在y轴上．‎ 求椭圆的离心率 离心率是椭圆的重要几何性质，也是高考命题的重点，求解方法一般有两种：‎ ‎①易求a，c，代入求解；易求b，c，由求解；易求a，b，由求解．‎ ‎②列出含a，c的齐次方程，列式时常用公式代替式子中的b，然后将等式两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2)，从而利用转化为含e的方程，解方程即可．但应注意．‎ ‎（1）设F1，F2是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率为___________；‎ ‎（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆 的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为___________．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）如图2，设直线交x轴于D点，因为是底角为的等腰三角形，则有，因为，所以，，所以，即，即，即，所以椭圆E的离心率．‎ 图1 图2‎ 又点M在椭圆上，所以，整理得，‎ 两边同时除以，可得，解得或(舍去)．‎ ‎【名师点睛】在解一元二次方程时得出的根一般有两个，此时要根据椭圆的离心率进行根的取舍，否则易产生增根．‎ 与椭圆有关的轨迹问题 求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：‎ ‎①首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；‎ ‎②首先分析几何图形所揭示的几何关系，然后对比椭圆的定义，设出对应椭圆的标准方 程，求出其中a，b的值，得到标准方程．‎ 如图1，在圆C：(x＋1)2＋y2＝36内有一点A(1，0)，点Q为圆C上一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．‎ 图1 图2‎ ‎【答案】．‎ 故点M的轨迹方程为．‎ 直线与椭圆的位置关系 ‎（1）判断直线与椭圆的位置关系时，一般把二者方程联立得到方程组，判断方程组解的个数，方程组有几个解，直线与椭圆有几个公共点，方程组的解对应公共点的坐标．由直线与椭圆的公共点个数求参数的取值范围时，联立二者方程消元化为一元方程，对于二次方程依据判别式与0的大小关系求解．‎ ‎（2）求直线与椭圆的相交弦长时，可以先求出两个公共点的坐标，代入两点间距离公式，也可以联立方程消元为二次方程，利用根与系数的关系得到．‎ 已知直线，椭圆C：．试问当m取何值时，直线l与椭圆C： ‎ ‎（1）有两个不重合的公共点；‎ ‎（2）有且只有一个公共点；‎ ‎（3）没有公共点．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组，‎ 消去y，得 ①，判别式．‎ ‎（1）当，即时，方程①有两个不同的实数解，‎ 可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．‎ ‎（2）当，即时，方程①有两个相同的实数解，‎ 可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．‎ ‎（3）当，即或时，方程①没有实数解，‎ 可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点．‎ ‎【名师点睛】联立方程组后，消去x还是消去y都可以，这是不影响最终计算结果的．‎ 如图，已知斜率为1的直线l过椭圆C：的下焦点，交椭圆C于A，B两点，则弦AB的长等于_______________．‎ ‎【答案】 将其代入，化简整理得，所以，，‎ 所以．‎ ‎【名师点睛】解决直线与椭圆的交点问题常常利用设而不求和整体代入的方法，解题步骤为：‎ ‎（1）设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；‎ ‎（2）联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x或y的一元二次方程；‎ ‎（3）利用根与系数的关系设而不求；‎ ‎（4）利用题干中的条件转化为x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，进而求解．‎ 忽略椭圆定义中的限制条件从而导致错误 ‎（1）已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是 A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 ‎（2）若方程表示椭圆，则实数k的取值范围为________________．‎ ‎【错解】（1）由椭圆的定义知点M的轨迹是椭圆，故选A．‎ ‎（2）由，可得，所以实数k的取值范围为(6，8)．‎ ‎【错因分析】（1）中忽略了椭圆定义中|F1F2|＜2a这一隐含条件；（2）中忽略了椭圆标准方程中a＞b＞0这一限制条件，当a＝b＞0时表示的是圆的方程．‎ ‎【正解】（1）虽然动点M到两个定点F1，F2的距离为常数6，但由于这个常数等于|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2，故选D．‎ ‎（2）由，可得且，所以实数k的取值范围为(6，7)∪(7，8)．‎ ‎【名师点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性．‎ 忽略对椭圆焦点位置的讨论从而导致错误 已知椭圆的标准方程为，并且焦距为8，则实数k的值为_____________．‎ ‎【错解1】因为2c＝8，所以c＝4，由椭圆的标准方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，‎ 所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故．‎ ‎【错解2】因为2c＝8，所以c＝4，由椭圆的标准方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，‎ 所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故．‎ ‎【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论，从而导致错误．‎ 所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故；‎ ‎②当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，‎ 所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故．‎ 综上，或．‎ ‎【名师点睛】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不能顺着思维定式，想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解．‎ 忽略椭圆的范围从而导致错误 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到椭圆的最远距离为，求椭圆的标准方程．‎ ‎【错解】由题意可设椭圆的标准方程为，‎ 则，故，即．‎ 设椭圆上的点到点P的距离为d，‎ 则，‎ 所以当时，取得最大值，从而d取得最大值，‎ 所以，解得，．‎ 故所求椭圆的标准方程为．‎ ‎【错因分析】错解中“当时，取得最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y的取值范围，事实上，由于点在椭圆上，所以，因此在求的最大值时，应分类讨论．‎ ‎【正解】由题意可设椭圆的标准方程为，‎ 则，故，即．‎ 于是，解得，与矛盾，故，‎ 所以当时，取得最大值，从而d取得最大值，‎ 所以，解得，．‎ 故所求椭圆的标准方程为．‎ ‎【名师点睛】准确把握椭圆定义中的限制条件，是正确解题的前提，在求解时，应做到步步有依据，这样才能避免出错．‎ ‎1．已知椭圆，焦点在轴上，若焦距为，则等于 A． B． C． D． ‎2．椭圆的一个焦点坐标是 A． B． C． D． ‎3．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为 A． B． C． D． ‎4．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则 A． B． C． D． ‎5．已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是 A． B． C． D． ‎6．离心率为，长轴长为的椭圆的标准方程是 A． B．或 C． D．或 ‎7．如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为，是的中点，是坐标原点，则的长为 A． B． C． D． ‎8．设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，，，则的离心率为 A． B． C． D． ‎9．椭圆上横坐标为的点到右焦点的距离为_______________．‎ ‎10．已知椭圆，则离心率等于_______________．‎ ‎11．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为_______________．‎ ‎12．若椭圆的离心率，则实数的值为_______________．‎ ‎13．已知椭圆的中心在原点，两焦点，在轴上，且过点．若，求椭圆的标准方程．‎ ‎14．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．‎ ‎15．已知椭圆，，点在椭圆上，且，其中为坐标原点，则点的坐标为 A． B． C． D． ‎16．已知为椭圆的左，右焦点，点在上，，则等于 A． B． C． D． ‎17．椭圆的左，右焦点分别为，弦过，若△的内切圆周长为，两点的坐标分别为，则值为 A． B． C． D． ‎18．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为 A． B． C． D． ‎19．椭圆的左焦点为，为椭圆上的动点，是圆上的动点，则的最大值是_______________．‎ ‎20．在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于、两点．若为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是_______________．‎ ‎21．已知椭圆的离心率，焦距是．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于、两点，，求的值．‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，椭圆的左、右焦点分别是、，点为椭圆上的一个动点，面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）为椭圆上一点，与轴相交于，且．若直线与椭圆相交于另一点，求的面积．‎ ‎23．（2017浙江）椭圆的离心率是 A． B． C． D． ‎24．（2017新课标全国III理）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D． ‎25．（2017新课标全国I）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是 A． B． C． D． ‎26．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．‎ ‎27．（2017新课标全国I理）已知椭圆C：，四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．‎ ‎28．（2017天津）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为．‎ ‎①求直线的斜率；‎ ‎②求椭圆的方程．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】因为焦点在轴上，所以，即，又，所以，故选D．‎ ‎2．【答案】D ‎3．【答案】B ‎【解析】设所求距离为，由题意得．根据椭圆的定义得，故选B．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】由题椭圆焦点在轴上，且离心率为，故．故选B．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】如图，设椭圆的另外一个焦点为，由椭圆的方程知，则的周长．故选C．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】由题意知，当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，．故选B．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】∵椭圆方程为，∴，根据椭圆的定义得，‎ 而是△的中位线，∴，故选C．‎ ‎9．【答案】 ‎【解析】由椭圆方程可知，右焦点为，将代入椭圆方程得，所以两点间距离为．‎ ‎10．【答案】 ‎【解析】由椭圆的方程可知．‎ ‎11．【答案】且 ‎【解析】由椭圆的定义知解得且．‎ 故实数的取值范围为且．‎ ‎12．【答案】或 ‎【解析】由题意得，即或，解得或．‎ ‎13．【答案】．‎ ‎【解析】设椭圆的标准方程为，焦点，．‎ ‎∵，∴，而， ，‎ ‎∴，∴，即，∴，．‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴．‎ ‎∴所求椭圆的标准方程为．‎ ‎14．【答案】．‎ ‎【解析】如图，设焦点坐标为，，是椭圆上一点，依题意设点坐标为．‎ 在中，，即，‎ 而，整理得．‎ 又，所以，所以，‎ 所以，所以．‎ ‎16．【答案】B ‎【解析】由题意可知，， ，，故选B．‎ ‎17．【答案】A ‎【解析】由椭圆的标准方程可得，因为的内切圆周长为，所以的内切圆的半径为，而三角形内切圆半径和周长与三角形的面积的关系为，所以的面积为，而的面积又等于和的面积之和，即，所以，故选A．‎ ‎19．【答案】 ‎【解析】圆的圆心为，半径为．由椭圆方程可知，所以，左焦点为，右焦点为．‎ 故，‎ 所以．‎ ‎20．【答案】 ‎【解析】过点作轴，垂足为点，∵△是锐角三角形，∴，，∴，，化为，，∴，，解得，，故该椭圆离心率的取值范围是．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）．‎ ‎（2）设，，将代入，整理得，‎ 所以 ①，，，‎ 又，，所以，‎ 又，‎ 代入上式，整理得，即，‎ 解得（舍去）或，即，‎ 经验证，能使①成立，故．‎ ‎22．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由已知条件得，，‎ 又，∴，，．∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）由，知为的中点，设，则，‎ 又在椭圆上，所以可代入求得，∴直线的方程为．‎ 由消去可得，‎ 设，，则，，∴，，‎ ‎∴．‎ ‎24．【答案】A ‎【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，‎ 直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A．‎ ‎25．【答案】A ‎【解析】当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，故选A．‎ ‎26．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的半焦距为c．‎ 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，‎ 解得，于是，‎ 因此椭圆E的标准方程是．‎ ‎（2）由（1）知，，．‎ 设，因为为第一象限的点，故．‎ 当时，与相交于，与题设不符．‎ 当时，直线的斜率为，直线的斜率为．‎ 因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 从而直线的方程： ①，直线的方程： ②．‎ 由①②，解得，所以．‎ 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或．‎ 又在椭圆E上，故．‎ 由，解得；，无解．‎ 因此点P的坐标为．‎ ‎27．【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，‎ 由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）．‎ 则，得，不符合题设，从而可设l：（）．‎ 将代入得，由题设可知．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．‎ 而．‎ 由题设，故，‎ 即，解得，‎ 当且仅当时，于是l：，即，‎ 所以l过定点（2，）．‎ ‎【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．‎ ‎28．【答案】（1）；（2）①，②．‎ ‎【思路分析】（1）先根据题意得出，然后结合，即可求得离心率；‎ ‎（2）①首先设直线的方程为，再写出直线的方程，两方程联立得到点的坐标，根据求得的值，即得直线的斜率；②将直线的方程和椭圆方程联立，可得点的坐标，再求，确定直线和都垂直于直线，根据平面几何关系求面积，从而可求得的值，进而得椭圆的方程．‎ ‎（2）①依题意，设直线FP的方程为，则直线FP的斜率为．‎ 由（1）知，可得直线AE的方程为，即，‎ 与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为．‎ 由已知|FQ|=，有，‎ 整理得，所以，故直线FP的斜率为．‎ 因此可得点，进而可得，‎ 所以．‎ 由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，‎ 故直线和都垂直于直线．‎ 因为，所以，‎ 所以的面积为，同理的面积等于，‎ 由四边形的面积为，得，整理得，‎ 又由，得．‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎ ‎ ‎ ‎