2017-2018学年山东省济宁市微山一中、邹城一中高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 14页

山东省济宁市微山一中、邹城一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数，则其虚部为（ ）‎ A．-1 B．2 C．-2 D．‎ ‎2.设函数（为自然对数的底数）.若，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎3.已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形. ①、②、③组合成“三段论”.根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（ ）‎ A．正方形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等 ‎ C．正方形的对角线相等 D．以上均不正确 ‎4.函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）‎ A．1个 B．2个 C. 3个 D．4个 ‎5.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（ ）‎ A．1项 B．项 C.项 D．项 ‎6.给出下列两个论断：‎ ‎①已知：，求证：；用反证法证明时，可假设.‎ ‎②设为实数，，求证：与中至少有一个不小于；用反证法证明时可假设且.以下说法正确的是（ ）‎ A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 ‎ C. ①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确 ‎7.下列类比推理中，得到的结论正确的是（ ）‎ A．把长方体与正方体类比，则有长方体的对角线平方等于长、宽、高的平方和 B．把与类比，则有 C. 向量，的数量积运算与实数，的运算性质类比，则有 D．把与类比，则有 ‎8.函数（为自然对数的底数）的递增区间为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.如图所示，阴影部分的面积为（ ）‎ A． B．1 C. D．‎ ‎10.函数在上的最小值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.‎ ‎2018年4月我市事业编招考笔试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四位同学同时报考了教育类的高中数学职位，他们的成绩有如下关系：甲、乙的成绩之和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，甲的成绩大于乙、丙成绩之和.那么四人的成绩最高的是（ ）‎ A．甲 B．乙 C. 丙 D．丁 ‎12.已知是定义在上的函数，其导函数满足（，为自然对数的底数），则（ ）‎ A．， B．， ‎ C. ， D．，‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设复数满足（为虚数单位），则的值为 ．‎ ‎14.已知力（为自然对数的底数）且和轴正方向相同.若力作用在质点上，并从点处运动到处，则对质点所做的功是 ．‎ ‎15.设函数在上是增函数，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦曼德尔布罗特（）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照分型的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知复数.（，为虚数单位）.‎ ‎（Ⅰ）若是纯虚数,求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若，设，试求.‎ ‎18. 已知，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，试求函数的最小值.‎ ‎19. 我市大学生创业孵化基地某公司生产一种“儒风邹城”特色的旅游商品.该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元；设该公司年内共生产该旅游商品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且满足函数关系：.‎ ‎（Ⅰ）写出年利润（万元）关于该旅游商品（千件）的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）年产量为多少千件时，该公司在该旅游商品的生产中所获年利润最大？‎ ‎20. 已知数列满足：，.‎ ‎（Ⅰ）试求数列，，的值；‎ ‎（Ⅱ）请猜想的通项公式，并运用数学归纳法证明之.‎ ‎21. 已知：，其中为自然对数的底数，.‎ ‎（Ⅰ）试猜想与的大小关系；‎ ‎（Ⅱ）请对你得出的结论写出证明过程.‎ ‎22. 已知函数，，，为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）若函数在上存在零点，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数在处的切线方程为.求证：对任意的，总有.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BDCAC 6-10:CADBA 11、12：DC 二、填空题 ‎13. 14． 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（Ⅰ）若是纯虚数，则， 解得.‎ ‎（Ⅱ）若，则. ‎ ‎∴， ‎ ‎∴，，∴. ‎ ‎18.（Ⅰ）证明：【法一】∵，，‎ ‎∴， ‎ 当且仅当时等号成立． ‎ ‎∴（当且仅当时等号成立）. ‎ ‎【法二】∵，，∴要证， ‎ 只需证， ‎ 只需证，‎ 只需证，即证，‎ 即证，显然，对于，总成立. ‎ ‎∴成立. ‎ ‎（Ⅱ）解：由于，‎ 可将看作（Ⅰ）中的，看作（Ⅰ）中的.‎ 依据（Ⅰ）的结论，则有， ‎ 当且仅当，即时，等号成立. ‎ 所以，所求函数的最小值为． ‎ ‎19.解：（Ⅰ）依题意，知当时，，‎ 当时，， ‎ ‎∴. ‎ ‎（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）得，‎ 令，得. ‎ ‎∴当时，；当时，，‎ ‎∴当时，有. ‎ ‎②当时，，‎ 当且仅当，即时，. ‎ 综合①、②知，当时，取得最大值. ‎ 即当年产量为千件时，该公司在该旅游商品生产中获得的年利润最大. ‎ ‎20.解：（Ⅰ）由题意，得，，. ‎ ‎（Ⅱ）依据（Ⅰ），得，，，‎ 由此猜想. ‎ 下面用数学归纳法证明之： ‎ 当时，，结论成立； ‎ 假设时，结论成立，即有， ‎ 则对于时，‎ ‎ . ‎ ‎∴当时，结论成立.‎ 综上，可得对，有成立. ‎ ‎21.解：（Ⅰ）依题意，取，，得，即有；‎ 取，时，有，∴；‎ 取，时，，.‎ 又，，∴，‎ 此时有.‎ 由此猜测对一切成立. ‎ ‎（Ⅱ）证明：要证对一切成立，‎ 只需证， ‎ 即证. ‎ 设函数，. ‎ ‎∴，当时，恒成立，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ 又，∴，即，‎ 故有.‎ ‎22.（Ⅰ）解：易得. ‎ 若，有，不合题意；‎ 若，有，，满足题设； ‎ 若，令，得.‎ ‎∴在上单调递减；在单调递增，‎ 则，∴. ‎ 又满足题设， ‎ 综上所述，所求实数. ‎ ‎（Ⅱ）证明：易得，，‎ 则由题意，得，解得.‎ ‎∴，从而，即切点为. ‎ 将切点坐标代入中，解得. ∴. ‎ 要证，即证（），‎ 只需证（）.‎ 令，，. ‎ 则由，得，‎ ‎∴在上单调递减；在上单调递增，‎ ‎∴. ‎ 又由，得，‎ ‎∴在上单调递增；在上单调递减，‎ ‎∴. ‎ ‎∴，‎ 显然，上式的等号不能同时取到.‎ 故对任意的，总有. ‎ ‎ 高二数学（理）试题参考答案 2018.05‎ 一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C A C C A D B A D C 二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) ‎ ‎13. 14． 15. 16. ‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）‎ ‎17. 解：（Ⅰ）若是纯虚数，则 ‎ 解得. ………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）若，则. …………………………………………………5分 ‎∴， ……………………………8分 ‎∴，∴. …………………………………………………10分 ‎18.（Ⅰ）证明：【法一】∵，‎ ‎∴， …………………………4分 当且仅当时等号成立．……………………………………………………5分 ‎∴（当且仅当时等号成立）. ……………………………6分 ‎ ‎【法二】∵，∴要证，………………………………2分 ‎ 只需证， ……………………………………………………3分 ‎ 只需证，‎ ‎ 只需证，即证，‎ 即证，显然，对于总成立. …………………………5分 ‎∴成立. ……………………………………………………………6分 ‎【说明】本小题若考生运用作差法等它方法证明（略述），只要步骤合理、正确，请参照标准赋分.）‎ ‎（Ⅱ）解：由于，‎ 可将看作（Ⅰ）中的，看作（Ⅰ）中的.‎ 依据（Ⅰ）的结论，则有，…………………10分 当且仅当，即时，等号成立. …………………………………11分 所以，所求函数的最小值为． ………………………………12分 ‎19.解：（Ⅰ）依题意，知当时，，‎ 当时，，…………………3分 ‎∴. ……………………………………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）得，‎ 令，得. ………………………………………………………………5分 ‎∴当时，；当时，，‎ ‎∴当时，有. …………………………7分 ‎ ‎②当时，，‎ 当且仅当，即时，.………………………………10分 ‎ 综合①、②知，当时，取得最大值.……………………………………11分 即当年产量为千件时，该公司在该旅游商品生产中获得的年利润最大.……12分 ‎20.解：（Ⅰ）由题意，得，，. ………………………………3分 ‎（Ⅱ）依据（Ⅰ），得，，，‎ 由此猜想. ………………………………………………………5分[]‎ 下面用数学归纳法证明之： ‎ 当时，，结论成立； ………………………………………6分 假设时，结论成立，即有， ……………………………7分 则对于时，‎ ‎ …………8分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ………………………10分 ‎ ∴当时，结论成立. ……………………………………………………11分 综上，可得对，有成立. ………………………………12分 ‎21.解：（Ⅰ）依题意，取，得，即有；‎ ‎ 取时，有，∴；‎ ‎ 取时，，.‎ ‎ 又，，∴，‎ 此时有. …………………………………………………………………3分 ‎ 由此猜测对一切成立.……………………………………4分 ‎ （Ⅱ）证明：要证对一切成立，‎ ‎ 只需证，………………………………………………………………5分 即证. ……………………………………………………………………6分 设函数，. …………………………………………………8分 ‎∴，当时，恒成立，‎ ‎∴函数在上单调递增，…………………………………………10分 ‎ 又，∴，即，………………………………11分 ‎ 故有. ……………………………………………………………………12分 ‎22.（Ⅰ）解：易得. ………………………………………1分 若，有，不合题意；‎ 若，有，满足题设；…………………2分 若，令，得.‎ ‎∴在上单调递减；在单调递增，‎ ‎ 则，∴. ‎ ‎ 又满足题设， ……………………………………………………4分 ‎ 综上所述，所求实数. …………………………………5分 ‎（Ⅱ）证明：易得，，‎ 则由题意，得，解得.‎ ‎∴，从而，即切点为. …………………………6分 ‎ 将切点坐标代入中，解得. ∴. …………7分 要证，即证（），‎ 只需证（）.‎ ‎ 令，，. ……………………………8分 ‎ 则由，得，‎ ‎ ∴在上单调递减；在上单调递增，‎ ‎ ∴. …………………………………………………………9分 ‎ 又由，得，‎ ‎ ∴在上单调递增；在上单调递减，‎ ‎∴. …………………………………………………………10分[]‎ ‎∴，‎ 显然，上式的等号不能同时取到. ……………………………………………11分[]‎ 故对任意的，总有. …………………………………12分