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- 2021-06-10 发布
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徐州市2019-2020学年度第一学期期末抽测
高二年级数学试题
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 命题“,使得”的否定是( )
, ,
, ,
【答案】
2. 不等式的解集是( )
【答案】
3. 等差数列前项和为,若,,则( )
【答案】
4. 若平面的法向量分别为,,且,则的值为( )
【答案】
5. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆,且焦距为,则的值为( )
【答案】
6. 有同学用石子在沙滩上摆成各种形状来
研究数,如图1和图2所示. 图1中的
1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成
三角形,将其称为三角形数;类似地,
称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为
正方形数.下列数中既是三角形数又是正
方形数的是( )
【答案】
7. 已知都是实数,那么“”是“”的( )
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
【答案】
8.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画,现收藏于法国罗
浮宫博物馆.该油画规格为:纵77cm,横53cm.油画挂
在墙壁上的最低点处B离地面237cm(如图所示).有一
身高为175cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼
睛C的距离为15cm),设该游客离墙距离为xcm,视角
为.为使观赏视角最大,x应为( )
【答案】
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项
中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选
错的得0分。
9. 下列说法正确的有( )
若,则 若,则
若,则 若,则
【答案】
10.若双曲线的一个焦点,且渐近线方程为,则下列结论正确的是( )
的方程为 的离心率为
焦点到渐近线的距离为 两准线间的距离为
【答案】
11.等差数列的前项和为,若,公差,则下列命题正确的是( )
若,则必有 若,则必有是中最大的项 若,则必有 若,则必有
【答案】
12.下列命题中正确的是( )
是空间中的四点,若不能构成空间基底,则共面
已知为空间的一个基底,若,则也是空间的基底
若直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线
若直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线与平面
所成角的正弦值为
【答案】
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若数列满足,,则数列前项的和为 .
【答案】
14.在长方体中,,,则 .
【答案】
15.若是抛物线上一点,为抛物线的焦点,点,则取最
小值时点的坐标为 .
【答案】
16.已知正项等比数列满足,若存在两项使得,
则的最小值是 ,此时 .
【答案】
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
17.(10分)已知,.
(1)若,求; (2)若是的充分条件,求的取值范围.
【解】(1)由题意,得
当时, …………………………………2分
所以, ……………………………………4分
(2)由已知,是的充分条件,则 …………………………6分
又 ……………………………………………8分
所以 解得,,
所以的取值范围是 ………………………………………10分
18.(12分)已知函数,且不等式的解集是.
(1)求的值;
(2)若不等式对于恒成立,求实数的取值范围.
【解】(1)因为不等式的解集是
所以且的解是,…………………2分
所以,所以,, ………………………4分
所以, ……………………………………………………6分
(2)因为对于恒成立
所以对恒成立, ……………8分
当时,,
所以, …………10分
所以.………………………………12分
19.(12分)设为等差数列的前项和,已知,且.
(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的项和.
【解】(1)由已知,,且,
所以,……………………………………2分
所以 …………………………………………4分
(2)由(1)知,,…………………6分
所以,
,
两式相减得, …………………4分
所以
所以 …………………………………12分
20.(12分)已知动点到定点的距离比它到轴的距离大.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设点(为常数),过点作斜率分别为的两条直线与,交曲
线于两点,交曲线于两点,点分别是线段的中点,若
,求证:直线过定点.
【解】(1)因为点到定点的距离比它到轴的距离大1,
所以,点到定点的距离等于它到的距离,
所以点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,
所以,动点的轨迹的方程为 ………………………………4分
(2)由题意,直线的方程为,
设,由,得,
所以, ……………………………………6分
又线段的中点为,所以,同理……8分
所以,
所以直线,
即 ………………………………………………10分
所以,直线过定点 …………………………………12分
21.(12分)如图,在三棱锥中,已知,,平面平
面,点分别是的中点,
,连接.
(1)若,并异面直线与
所成角的余弦值的大小;
(2)若二面角的余弦值的大小
为,求的长.
【解】(1)连结OC.∵平面PAB⊥平面ABC,PO⊥AB,∴PO⊥平面ABC,所以PO⊥OC.
∵AC=BC,点O是AB的中点,∴OC⊥AB.且.
如图,建立空间直角坐标系.………………2分
,.
,,,
,. ………………4分
从而, .
∵,
∴异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为.…………………………6分
(2)设,则.∵ PO⊥OC,OC⊥AB,∴OC⊥平面PAB.
从而是平面PAB的一个法向量.…………………………8分
不妨设平面PBC的一个法向量为,
∵,, ∴
不妨令x=1,则y=1,,则. …………………10分
由已知,得,化简,得.
∴. …………………………………12分
22.(12分)在直角坐标系中,已知椭圆的上顶点坐标为,
离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若椭圆上的点的横坐标为,且位于第
一象限,点关于轴的对称点为点,是位于直线异侧的椭圆上的动点.
①若直线的斜率为,求四边形面积的最大值;
②若动点满足,试探求直线的斜率是否为定值?说明理由.
【解】(1)由题意,可得,
则椭圆的标准方程为. …………………………………2分
(2)由(1)可得点坐标为,则.
①设直线方程为,联立椭圆方程,
化简可得,
设,则,
所以当时,四边形面积最大值为. ………………6分
②由题意,因为,则直线斜率与直线斜率互为相反数.
设直线的方程为,联立椭圆方程,
化简可得,设,
则,又,所以,
设,同理可得,
所以,
所以直线的斜率为定值. ………………12分