2019高三数学（北师大版理科）一轮：单元质检卷五+平面向量、数系的扩充与复数的引入 7页

单元质检卷五　平面向量、数系的扩充与复数的引入 ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)‎ ‎1.(2017山西太原一模)复数‎2-ii=(　　)‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　‎ A.-1-2i B.-1+2i C.1-2i D.1+2i ‎2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2OA‎+OB+‎OC=0,则(　　)‎ A.AO=2OD B.‎AO‎=‎OD C.AO=3OD D.2‎AO‎=‎OD ‎3.(2017湖北武汉二月调考)若非零向量a,b满足a⊥(2a+b),且a与b的夹角为‎2π‎3‎,则‎|a|‎‎|b|‎=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎3‎‎2‎ D.2‎ ‎4.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则BD‎·‎CD=(　　)‎ A.-‎3‎‎2‎a2 B.-‎3‎‎4‎a2‎ C.‎3‎‎4‎a2 D.‎3‎‎2‎a2‎ ‎5.(2017安徽合肥一模)设i为虚数单位,复数z=‎1-i‎3-i的虚部是(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.-‎1‎‎5‎ C.1 D.-1‎ ‎6.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),O为坐标原点,在x轴上存在一点P使AP‎·‎BP有最小值,则点P的坐标是(　　)‎ A.(-3,0) B.(2,0)‎ C.(3,0) D.(4,0)‎ ‎7.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(b+λa)⊥c,则λ的值为(　　)‎ A.-‎3‎‎11‎ B.-‎‎11‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎5‎ ‎8.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎‎2‎ B.‎‎3‎‎15‎‎2‎ C.-‎3‎‎2‎‎2‎ D.-‎‎3‎‎15‎‎2‎ ‎9.(2017湖北武昌1月调研)在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边BC,CD上,且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则AN‎·‎MN=(　　)‎ A.-‎7‎ B.0‎ C.‎7‎ D.7‎ ‎10.已知向量OB=(2,0),OC=(2,2),CA=(‎2‎cos α,‎2‎sin α),O为坐标原点,则向量OA与OB的夹角的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎π‎4‎ B.π‎4‎‎,‎‎5π‎12‎ ‎ C.‎5π‎12‎‎,‎π‎2‎ D.π‎12‎‎,‎‎5π‎12‎〚导学号21500624〛‎ ‎11.已知|OA|=|OB|=2,O为坐标原点,点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,则|OA-tOB|(t∈R)的最小值为(　　)‎ A.‎2‎ B.‎‎3‎ C.2 D.‎‎5‎ ‎12.(2017河北石家庄二中测试,理8)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,且a·b=1.若e为平面单位向量,则(a+b)·e的最大值为(　　)‎ A.‎6‎ B.6‎ C.‎7‎ D.7‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)‎ ‎13.(2017湖南邵阳一模)设θ∈‎0,‎π‎2‎,向量a=(cos θ,2),b=(-1,sin θ),若a⊥b,则tan θ=　　　　　. ‎ ‎14.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则AE‎·‎AF的最大值为　　　　　. ‎ ‎15.(2017河南郑州三模)在△ABC中,∠A=π‎3‎,O为平面内一点.且|OA|=|OB|=|OC|,M为劣弧BC上一动点,且OM=pOB+qOC,则p+q的取值范围为　　　　　.〚导学号21500625〛 ‎ ‎16.(2017湖南长沙一模)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,P为矩形内部一点,且AP=1,若AP=xAB+yAD,则3x+2y的取值范围是　　　　　.〚导学号21500626〛 ‎ 参考答案 单元质检卷五　平面向量、数 系的扩充与复数的引入 ‎1.A　‎2-ii‎=‎(2-i)ii‎2‎=‎‎1+2i‎-1‎=-1-2i.‎ ‎2.B　由2OA‎+OB+‎OC=0,得OB‎+‎OC=-2OA=2AO,即OB‎+‎OC=2OD=2AO,所以OD‎=‎AO,故选B.‎ ‎3.B　∵a⊥(2a+b),且a与b的夹角为‎2π‎3‎,∴a·(2a+b)=2a2+a·b=2|a|2-‎1‎‎2‎|a||b|=0.‎ 又|a|≠0,|b|≠0,∴2|a|=‎1‎‎2‎|b|,‎ ‎∴‎|a|‎‎|b|‎‎=‎‎1‎‎4‎,故选B.‎ ‎4.D　如图,设BA=a,BC=b,‎ 则BD‎·‎CD=(BA‎+‎BC)·‎BA ‎=(a+b)·a=a2+a·b ‎=a2+a·a·cos 60°=a2+‎1‎‎2‎a2=‎3‎‎2‎a2.‎ ‎5.B　∵z=‎1-i‎3-i‎=‎(1-i)(3+i)‎‎(3-i)(3+i)‎=‎4-2i‎10‎=‎2‎‎5‎-‎‎1‎‎5‎i,∴复数z=‎1-i‎3-i的虚部是-‎1‎‎5‎.‎ ‎6.C　设点P坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),AP‎·‎BP=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,AP‎·‎BP有最小值1.∴点P坐标为(3,0).‎ ‎7.A　由题意,得b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ).‎ 因为c=(3,4),(b+λa)⊥c,‎ 所以(b+λa)·c=0,即(1+λ,2λ)·(3,4)=3+3λ+8λ=0,解得λ=-‎3‎‎11‎,故选A.‎ ‎8.A　由题意,得AB=(2,1),CD=(5,5),故向量AB在CD方向上的投影为AB‎·‎CD‎|CD|‎‎=‎15‎‎5‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎,故选A.‎ ‎9.B　如图,∵BC=3MC,DC=4NC,AB=4,AD=3,‎ ‎∴AN‎·‎MN=(AD‎+‎DN)·(MC‎+‎CN)=AD‎+‎‎3‎‎4‎AB‎·‎1‎‎3‎AD-‎1‎‎4‎AB=‎1‎‎3‎|‎AD|2-‎3‎‎16‎‎|‎AB|2=‎1‎‎3‎×9-‎3‎‎16‎×16=0.‎ ‎10.D　‎ 设A(x,y),由题意,得OA‎=OC+‎CA=(2+‎2‎cos α,2+‎2‎sin α),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量OA与OB的夹角分别取到最大值、最小值.易知OC与两切线的夹角均为π‎6‎,∠BOC=π‎4‎,所以所求夹角的最大值为π‎6‎‎+π‎4‎=‎‎5π‎12‎,最小值为π‎4‎‎-π‎6‎=‎π‎12‎,故选D.‎ ‎11.B　依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上.由点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(OA-tOB)2=4+4t2-2t×22cos 120°=4t2+4t+4=4t+‎‎1‎‎2‎‎2‎+3的最小值为3,因此|OA-tOB|的最小值为‎3‎.‎ ‎12.C　(a+b)·e=a·e+b·e≤|a·e|+|b·e|=a·e‎|e|‎‎+‎b·e‎|e|‎,其几何意义为a在e方向上的投影的绝对值与b在e方向上的投影的绝对值的和,当e与a+b共线时,取得最大值,(|a·e|+|b·e|)max=|a+b|‎ ‎=‎|a‎|‎‎2‎+|b‎|‎‎2‎+2a·b‎=‎‎7‎,则(a+b)·e的最大值为‎7‎,故选C.‎ ‎13.‎1‎‎2‎　∵a⊥b,∴a·b=0,即-cos θ+2sin θ=0,∴sinθcosθ=tan θ=‎1‎‎2‎.‎ ‎14.‎9‎‎2‎　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E‎2,‎‎1‎‎2‎.‎ 设F(x,y),则0≤x≤2,0≤y≤1,则AE‎·‎AF=2x+‎1‎‎2‎y,令z=2x+‎1‎‎2‎y,当z=2x+‎1‎‎2‎y过点(2,1)时,AE‎·‎AF取得最大值‎9‎‎2‎.‎ ‎15.[1,2]　如图所示,在△ABC中,∠A=π‎3‎,则∠BOC=‎2π‎3‎.‎ 设|OA|=|OB|=|OC|=r,则O为△ABC外接圆圆心.‎ ‎∵OM=pOB+qOC,∴|OM|2=(pOB+qOC)2=r2,‎ 即p2r2+q2r2+2pqr2cos‎2π‎3‎=r2,‎ ‎∴p2+q2-pq=1,‎ ‎∴(p+q)2=3pq+1.‎ 又M为劣弧BC上一动点,‎ ‎∴0≤p≤1,0≤q≤1,‎ ‎∴p+q≥2pq,‎ ‎∴pq≤p+q‎2‎‎2‎‎=‎‎(p+q‎)‎‎2‎‎4‎,‎ ‎∴1≤(p+q)2≤‎3‎‎4‎(p+q)2+1,‎ 解得1≤(p+q)2≤4,‎ ‎∴1≤p+q≤2,即p+q的取值范围是[1,2].‎ ‎16.(1,‎2‎]　由题意,得|AP|2=(xAB+yAD)2=9x2+4y2≥‎1‎‎2‎(3x+2y)2.‎ ‎∵|AP|2=1,∴‎1‎‎2‎(3x+2y)2≤1,故3x+2y≤‎2‎.‎ 如图,以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,建立平面直角坐标系,‎ 则A(0,0),B(3,0),D(0,2),‎ ‎∴AP=xAB+yAD=x(3,0)+y(0,2)=(3x,2y),‎ ‎∴3x+2y>1,‎ ‎∴3x+2y的取值范围是(1,‎2‎].‎