内蒙古师范大学锦山实验学校2020届高三三模考试数学（文）试卷 13页

文科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。‎ ‎2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。‎ ‎4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。‎ ‎5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.设复数z满足，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.一个不透明的口袋中放有形状和大小相同的3个红球和1个白球，若从口袋中随机取出两个小球，则取到两个红球的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎4.某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了‎2020年2月18日-27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图.‎ 根据组合图判断，下列结论正确的是 A.前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差 B.前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差 C.这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大 D.这10天学生在线学习人数在逐日增加 ‎5.已知各项不为0的等差数列的前n项和为，若，则 ‎ A.9 B‎.12 ‎C.18 D.36‎ ‎6.若函数（，且）的值域为，则函数的图象大致是 ‎ ‎ ‎ A B C D ‎7.已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，过点的动直线l交椭圆于A，B两点.若的周长为8，则 ‎ A.4 B. C.2 D. ‎ ‎8.某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图.执行此程序框图，则输出的a的值为 A.13 B‎.18 ‎C.23 D.28‎ ‎9.如图，在正方体中，M，N分别为，的中点，则下列说法错误的是 A.平面 B. ‎ C.直线与平面所成角为45° D.异面直线与所成角为60°‎ ‎10.已知函数，则当时，函数的零点个数为 A.4 B‎.3 ‎C.2 D.1‎ ‎11已知双曲线E：（，）的右焦点为F，以（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）.若，则双曲线E的离心率为 A.4 B‎.2 ‎C. D. ‎ ‎12.已知函数（）的图象经过点，一条对称轴方程为.则函数的周期可以是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知向量，向量，则与的夹角大小为___________.‎ ‎14.已知等比数列的前n项和为，，，则___________.‎ ‎15.某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测：‎ 甲说：丙或丁被选上； 乙说：甲和丁均未被选上；‎ 丙说：丁被选上； 丁说：丙被选上.‎ 若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是___________.‎ ‎16.如图，正方形中，E，F分别是，的中点，沿，，把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体外接球的表面积为，则正方形的边长为___________.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 如图，在平面四边形中，，，的面积为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求四边形周长的最大值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某外卖平台为提高外卖配送效率，针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案．为比较两种配送方案的效率，共选取50名外卖骑手，并将他们随机分成两组，每组25人，第一组骑手用甲配送方案，第二组骑手用乙配送方案．根据骑手在相同时间内完成配送订单的数量（单位：单）绘制了如下茎叶图：‎ ‎（1）根据茎叶图，求各组内25位骑手完成订单数的中位数，已知用甲配送方案的25位骑手完成订单数的平均数为52，结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高，并说明理由；‎ ‎（2）设所有50名骑手在相同时间内完成订单数的平均数，将完成订单数超过记为“优秀”，不超过记为“一般”，然后将骑手的对应人数填入下面列联表；‎ 优秀 一般 甲配送方案 乙配送方案 ‎（3）根据（2）中的列联表，判断能否有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异．‎ 附：，其中．‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图所示,四边形为菱形, 平面 ‎1.求证: 平面 ‎2.当为何值时,直线平面?请说明理由 ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中e是自然对数的底数.‎ ‎（1）若，证明：；‎ ‎（2）若时，都有，求实数a的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：，过点且互相垂直的两条动直线，与抛物线C分别交于P，Q和M，N.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）记线段和的中点分别为E，F，求证：直线恒过定点.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，已知曲线：（为参数），曲线：（为参数），且，点P为曲线与的公共点.‎ ‎（1）求动点Ｐ的轨迹方程；‎ ‎（2）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，求动点P到直线l的距离的取值范围.‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a，b，c都为正实数，且.证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）. ‎ 数学（文科）参考答案 评分说明：‎ ‎1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。‎ ‎2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。‎ ‎3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎4.只给整数分。选择题和填空题不给中间分。‎ 一、选择题（60分）‎ ‎1.命题意图：本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识；考查运算求解能力.‎ 解析：选择A.由集合，所以.‎ ‎2.命题意图：本小题主要考查复数的除法、乘法运算，共轭复数的概念等基础知识；考查运算求解能力.‎ 解析：选择B.因为，则.‎ ‎3.命题意图：本小题主要考查古典概率等基本知识；考查运算求解能力，应用意识.‎ 解析：选择B.令红球为a，b，c，白球为D，取出两个小球的所有基本事件有，，，，，，共6个，其中满足条件的有3个，故所求概率为. ‎ ‎4.命题意图：本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识.‎ 解析：选择D.根据统计图表可知，A，B，C项错误，D项正确.‎ ‎5.命题意图：本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力.‎ 解析：选择C.由题意.‎ ‎6.命题意图：本小题主要考查含绝对值的指数函数和对数函数的图象及其性质等基础知识；考查逻辑推理能力，应用意识.‎ 解析：选择B.由函数（，且）的值域为得，则时，单调递减，排除A，C，D. ‎ ‎7.命题意图：本小题主要考查椭圆的定义及其性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解；考查数形结合等数学思想.‎ 解析：选C.根据椭圆的定义，的周长为4a，所以.‎ ‎8.命题意图：本小题主要考查程序框图的应用等基础知识；考查阅读理解能力，运算求解能力，数据处理能力，应用意识.‎ 解析：选择C.输入，得，不满足；输入，得，不满足；输入，得，不满足；输入，得.满足.即输出a的值为23.‎ ‎9.命题意图：本小题主要考查直线与平面平行，垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力.‎ 解析：选择D.如图，连结，，‎ 由M，N分别为，的中点知，选项A、B、C均正确；‎ 而为异面直线与所成角，应为45°.‎ ‎10.命题意图：本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查分类讨论思想，数形结合思想，方程思想，应用与创新意识.‎ 解析：选择C.在平面直角坐标系中作出函数（）的图象.易知当时，存在2个零点，. ‎ ‎11.命题意图：本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查数形结合等数学思想.‎ 解析：选择D.因为为直径，点M在圆上，所以.又，由圆的对称性，有，所以.由渐近线斜率，所以离心率为. ‎ ‎12.命题意图：本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数 图象和性质等基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想.‎ 解析：选择B.由，则，，当时，. ‎ 二、填空题（20分）‎ ‎13.命题意图：本小题主要考查平面向量的数量积、两个向量的夹角等基础知识；考查运算求解能力.‎ 解析：填150°（或），由， ‎ 所以夹角为150°.‎ ‎14.命题意图：本小题主要考查等比数列的通项公式，前n项和公式及其应用等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化等数学思想.‎ 解析：填255.设公比为q，由已知得，解得，，则.‎ ‎15.命题意图：本小题主要考查逻辑推理等基础知识；考查学生逻辑推理能力等能力.‎ 解答：填丁.若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件；乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件；丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件；丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件.‎ ‎16.命题意图：本小题主要考查直线与平面垂直的判定、球体体积公式等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力、运算求解能力及创新意识；考查化归与转化等数学思想.‎ 解析：填2.依题意折叠后的四面体如图1，设正方形边长为a，外接球半径为R，则，，将四面体补成如图2所示的长方体，它们具有共同的外接球.由得.而，所以，解得.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.命题意图：本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力.‎ 解析：（1）由面积公式，‎ 得， ‎ 所以. …………3分 在中，根据余弦定理得，‎ 所以. …………6分 ‎（2）令，，‎ 在中，根据余弦定理得，‎ 即有，即， ‎ 所以，当且仅当时，“＝”成立.‎ 所以，四边形周长的最大值为. …………12分 ‎18.解：（1）用甲配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为53， 1分 用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为49． 2分 因为用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的平均数为49，且， 4分 所以，甲配送方案的效率更高． 5分 ‎（2）由茎叶图知． 6分 列联表如下：‎ 优秀 一般 甲配送方案 ‎17‎ ‎8‎ 乙配送方案 ‎9‎ ‎16‎ ‎ 8分 ‎（3）因为， 11分 所以有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异． 12分 ‎19命题意图；本题考查空间中平行关系的转化、垂直关系的转化等知识,意在考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力 解析：1.因为平面,平面,所以,‎ 菱形中, ,,面,面.‎ 所以平面. 2.当时,直线平面,理由如下:‎ 设菱形中, 交于,取的中点,连结,则为△的中位线,‎ 所以,且,‎ 又,,‎ 所以,且.‎ 所以四边形为平行四边形.则.‎ 因为平面,平面,‎ 所以直线平面.‎ ‎20.命题意图：本小题主要考查指数函数，导数及其性质，不等式恒成立问题等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，分类讨论思想，化归与转化思想，应用与创新意识.‎ 解析：（1）由题意时，，‎ 所以，当时，； …………2分 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 所以在时取得极小值，也是最小值.‎ 所以. …………4分 ‎（2）令，，‎ 由时，都有，所以在上恒成立. …………5分 由，令，则在上恒成立.‎ 所以在上单调递增，又，‎ 所以当时，，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以，即，满足题意. …………8分 当时，因为在上单调递增，‎ 所以，‎ 存在，使得当时，，在上单调递减，‎ 所以当时，，这与在上恒成立矛盾.‎ 综上所述，，即实数a的取值范围. …………12分 ‎21.命题意图：本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想.‎ 解析：（1）由题意可知两直线，的斜率一定存在，且不等于0.‎ 设：（），，，则：（）.‎ 因为联立直线与抛物线的方程，有，‎ 其中，由韦达定理，有. ‎ 所以. …………3分 ‎ 设.‎ 因为，又因为.‎ 所以在定义域内单调递增，易得，‎ 即当时，；当时，.‎ 所以时，单调递减；，单调递增，‎ 所以在处取得最小值，且当时，. ‎ 故的最小值为. …………7分 ‎ ‎（2）因为由（1）有，，‎ 所以中点E的坐标为，同理点F的坐标为. ‎ 于是，直线的斜率为， …………10分 ‎ 则直线的方程为：，‎ 所以直线恒过定点. …………12分 选考题（10分）‎ ‎22.命题意图：本小题主要考查直线的参数方程、极坐标方程，圆的方程及轨迹方程的求法、不同方程形式的互化等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想.‎ 解析：（1）设点P的坐标为.‎ 因为点P为曲线与的公共点，所以点P同时满足曲线与的方程.‎ 曲线消去参数可得，曲线消去参数可得. ‎ 由，所以. ‎ 所以点P的轨迹方程为（）. …………5分 ‎（2）由已知，直线l的极坐标方程，‎ 根据，可化为直角坐标方程：.‎ 因为P的轨迹为圆（去掉两点），‎ 圆心O到直线l的距离为， ‎ 所以点P到直线l的距离的取值范围为. …………10分 ‎23.命题意图：本小题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查学生化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力.‎ 证明：（1） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（当且仅当取“=”）.‎ 所以. …………5分 ‎（2）‎ ‎（当且仅当取“=”）. …………10分