2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第六章 第4节 数系的扩充与复数的引入 6页

多维层次练 35 [A 级 基础巩固] 1．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i 解析：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i. 答案：D 2．已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则 实数 m 的取值范围是( ) A．(－3，1) B．(－1，3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 解析：由已知可得 m＋3＞0， m－1＜0，⇒ m＞－3， m＜1， ⇒－3＜m＜1. 答案：A 3．设 i 是虚数单位，复数a＋i 2－i 是纯虚数，则实数 a＝( ) A．2 B.1 2 C．－1 2 D．－2 解析：因为a＋i 2－i ＝（a＋i）（2＋i） 5 ＝（2a－1）＋（a＋2）i 5 是纯虚 数，所以 2a－1＝0 且 a＋2≠0，所以 a＝1 2. 答案：B 4．(一题多解)(2019·北京卷)已知复数 z＝2＋i，则 z· — z＝( ) A. 3 B. 5 C．3 D．5 解析：法一 因为 z＝2＋i，所以 — z＝2－i， 所以 z· — z＝(2＋i)(2－i)＝5. 法二 因为 z＝2＋i，所以 z· — z＝|z|2＝5. 答案：D 5．如图所示，在复平面内，复数 z1，z2 对应的向量分别是OA → ，OB → ， 则复数 z1·z2 对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由图知OA → ＝(－2，－1)，OB → ＝(0，1)， 所以 z1＝－2－i，z2＝i，z1·z2＝1－2i， 所以复数 z1·z2 所对应的点为(1，－2)，该点在第四象限． 答案：D 6．(2020·深圳调研)设 i 为虚数单位，则复数|1－ 3i| 1＋i ＝( ) A．－1＋i B．－2＋2i C．1－i D．2－2i 解析：|1－ 3i| 1＋i ＝ 2 1＋i ＝ 2（1－i） （1＋i）（1－i）＝1－i. 答案：C 7．(2020·菏泽联考)在复平面内，复数 z 对应的点与 2 1－i 对应的点 关于实轴对称，则 z 等于( ) A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i 解析：因为复数 z 对应的点与 2 1－i ＝ 2（1＋i） （1－i）（1＋i）＝1＋i 对应的 点关于实轴对称， 所以 z＝1－i. 答案：D 8．(多选题)在下列命题中，错误的命题是( ) ①两个不是实数的复数不能比较大小； ②复数 z＝i－1 对应的点在第四象限； ③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则实数 x＝±1； ④若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则 z1＝z2＝z3. A．① B．② C．③ D．④ 解析：①显然为真命题．对于命题②，复数 z＝i－1 对应的点在第 二象限，所以该命题是错误的．对于命题③，若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则 x2－1＝0 且 x2＋3x＋2≠0，所以 x＝1，所以该命题是错 误的．对于命题④，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，可以 z1＝i，z2＝0，z3 ＝1，所以该命题是错误的． 答案：BCD 9．已知复数3i－a i 的实部与虚部相等(i 为虚数单位)，那么实数 a ＝________． 解析：因为3i－a i ＝－3－ai －1 ＝3＋ai 的实部与虚部相等， 所以 a＝3. 答案：3 10．(2019·天津卷)i 是虚数单位，则|5－i 1＋i|的值为________． 解析：因为5－i 1＋i ＝（5－i）（1－i） （1＋i）（1－i）＝2－3i， 所以|5－i 1＋i|＝|2－3i|＝ 13. 答案： 13 11．(2018·江苏卷)若复数 z 满足 i·z＝1＋2i，其中 i 是虚数单位， 则 z 的实部为________． 解析：因为 i·z＝1＋2i，所以 z＝1＋2i i ＝（1＋2i）（－i） i×（－i） ＝2－i. 所以复数 z 的实部为 2. 答案：2 12．已知复数 z＝x＋yi，且|z－2|＝ 3，则y x 的最大值为________． 解析：因为|z－2|＝ （x－2）2＋y2＝ 3， 所以(x－2)2＋y2＝3. 由图可知 y x max ＝ 3 1 ＝ 3. 答案： 3 [B 级 能力提升] 13．(2020·广州市质检)已知 i 为虚数单位，a 为实数，复数 z＝(1 －2i)(a＋i)在复平面内对应的点为 M，则“a>1 2 ”是“点 M 在第四象限” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：z＝(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i，若其对应的点在第四 象限，则 a＋2>0，且 1－2a<0，解得 a>1 2. 即“a>1 2 ”是“点 M 在第四象限”的充要条件． 答案：C 14．设 z 是复数，f(z)＝zn(n∈N*)．对于虚数单位 i，当 f(1＋i)取 得最小正整数时，对应 n 的值是( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：f(1＋i)＝(1＋i)n，当 f(1＋i)取得最小正整数时，n 为 8. 答案：D 15．已知 i 为虚数单位，若复数 z＝1－ai 1＋i (a∈R)的实部为－3，则 |z|＝________，复数 z 的共轭复数 z＝________． 解析：因为 z＝1－ai 1＋i ＝（1－ai）（1－i） （1＋i）（1－i） ＝1－a－（a＋1）i 2 的实部 为－3， 所以1－a 2 ＝－3，解得 a＝7. 所以 z＝－3－4i， 故|z|＝ （－3）2＋（－4）2＝5，且共轭复数 z＝－3＋4i. 答案：5 －3＋4i [C 级 素养升华] 16．(多选题)下面是关于复数 z＝ 2 －1＋i 的四个命题． p1：|z|＝2. p2：z2＝2i. p3：z 的共轭复数为 1＋i. p4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A．p1 B．p2 C．p3 D．p4 解析：z＝ 2 －1＋i ＝ 2（－1－i） （－1＋i）（－1－i）＝－1－i. |z|＝ 2，p1 为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2 为真命题； — z＝－1＋i，p3 为假命题；p4 为真命题．故选 BD. 答案：BD