高考数学复习卷140(含答案)+高考真题精编版 24页

高考数学复习卷 140(含答案)+高考真题精编版 数学复习卷 (理) (附参考答案) 班级 姓名 学号 内容：第三轮复习 高考模拟卷 V 满分 150 分 时间 120 分钟 一、填空题（本题满分 56 分）本大题共有 14 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． １． i 为虚数单位，复数 1 1 i 的虚部是＿＿＿＿． 2．设函数 2log , 0, ( ) 4 , 0,x x x f x x     ≤ 若函数 ( ) ( )g x f x k  存在两个零点，则实数 k的取 值范围是＿＿． 3．在极坐标系中，A为曲线 2cos  上的点，B为曲线 cos 4   上 的点，则线段 AB长度的最小值是＿＿． 4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的 n的值为 6，那么运行相应程 序，输出的 n的值为＿＿． 5．若 R  ，则方程 2sin 2 1 0 1 1   的解为＿＿＿＿． 6．已知正方形的四个顶点分别为 (0,0)O ， (1,0)A ， (1,1)B ， (0,1)C ， 点 ,D E分别在线段 ,OC AB上运动，且OD BE ，设 AD与OE交于 点G，则点G的轨迹方程是＿＿＿． 7．年龄在 60 岁（含 60 岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有 350 人， 他们的健康状况如下表： 其中健康指数的含义是：2 代表“健康”，1 代表“基本健康”，0 代表“不健康，但生活能 够自理”，-1 代表“生活不能自理”.按健康指数大于 0 和不大于 0 进行分层抽样，从该小区 的老龄人中抽取 5 位，并随机地访问其中的 3 位.则被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人 的健康指数不大于 0 的概率是_____（用分数作答）. 8．已知数列{ na }的通项公式为 13 1n na   ，则 0 1 nCa + 1 2 nCa + 2 3 na C  + n nn Ca 1 的最简表 达式为_____. 9 ．平面 的斜线 AB交 于点 B，过定点 A的动直线 l与 AB垂直，且交 于点C，则 动点C的轨迹是_________________. 10．祖暅原理对平面图形也成立，即夹在两条平行线间的两个平面图形被任意一条平行于这 两条直线的直线截得的线段总相等，则这两个平面图形面积相等.利用这个结论解答问题： 函数 ( ) 2xf x  、 ( ) 2 1xg x   与直线 0, 1x x  所围成的图形的面积为_______. 11．对于任意正整数，定义“n 的双阶乘 n!!”如下：对于 n 是偶数时， n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于 n 是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1． 现有如下四个命题：①(2013!!)·(2014!!)=2014!；②2014!!=21007·1007!；③2014!!的个位数是 0； ④2015!!的个位数不是 5．正确的命题是________． 12．已知关于 t 的一元二次方程 ),(0)(2)2(2 Ryxiyxxytit  .当方程有实根 时，则 t 的取值范围______. 健康指数 2 1 0 -1 60 岁至 79 岁的人数 120 133 34 13 80 岁及以上的人数 9 18 14 9 13．已知 P是 ABC! 内部一点， 2 3 0PA PB PC       ，记 PBC! 、 PAC! 、 PAB! 的 面积分别为 1S 、 2S 、 3S ，则 1 2 3: :S S S  ________. 14. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是 整数的点） ( )A n ： 1 2 3, , , , nA A A A 与 ( )B n ： 1 2 3, , , , nB B B B ，其中 3n  ，若同时满足： ①两点列的起点和终点分别相同；②线段 1 1i i i iA A B B  ，其中 1, 2,3, , 1i n  ，则称 ( )A n 与 ( )B n 互为正交点列. 则 (3)A ： 1 2 3(0, 2), (3,0), (5, 2)A A A 的正交点列 (3)B 为 二、选择题（本题满分 20分）本大题共有 4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结 论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分． 15．已知集合 *{ | 5 | 2 3 | }A x x N    ，则集合 A的非空真子集数为 （ ） （A）14 （B） 512 （C）511 （D）510 16．已知函数 *( ) 2 1,f x x x  N .若存在 * 0 ,x nN ，使 0 0( ) ( 1)f x f x    0( ) 63f x n  成立，则称 0( , )x n 为函数 ( )f x 的一个“生成点”.函数 ( )f x 的“生成点” 共有 （ ） （Ａ） 1 个 （Ｂ）2 个 （Ｃ）3 个 （Ｄ）4 个 17. 如图，梯形 ABCD中，AD  BC , 1AD AB  , AD AB , 45BCD   ,将 ABD 沿对角线 BD折起．设折起后点 A的位置为 A，使二面角 A BD C   为直二面角.给出下 面四个命题： ① A D BC  ；②三棱锥 A BCD  的体积为 2 2 ； ③CD 平面 A BD ；④平面 A BC 平面 A DC . 其中正确命题的序号是( ) （A）①② （B）③④ （C）①③ （D）②④ 18．已知动点 ( )P x y， 在椭圆 2 2 : 1 25 16 x yC   上，F 为 椭圆C的右焦点，若点M 满足 | | 1MF   且 0MP MF    ，则 | |PM  的最小值为（ ） （Ａ） 3 （Ｂ）3 （Ｃ） 12 5 （Ｄ）1 三、解答题：（本题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对 应的题号）内写出必要的步骤． 19．（本题 12 分）圆形广场的有南北两个大门在中轴线上，东、西各 有一栋建筑物与北门的距离分别为 30米和 40米，且以北门为顶点（视 大门和建筑物为点）的角为 060 ，求广场的直径（保留两位小数）. 20．（本题 14 分）本题共有 2小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满 分 8 分. 设底面直径和高都是 4 厘米的圆柱的内切球为O . （1）求球O的体积和表面积； （2）与底面距离为 1 的平面和球的截面圆为M ， AB是圆M 内的一条弦，其长为 2 3 ， 求 AB两点间的球面距离. 21．（本题 14 分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满 分 6 分. 如图，设椭圆   2 2 2 2 1 0y x a b a b     两顶点 ( ,0), ( ,0)A b B b ，短轴长为 4，焦距为 2，过 点 (4,0)P 的直线 l与椭圆交于 ,C D两点．设直线 AC与直线 BD交于点 1Q . （1）求椭圆的方程； （2）求线段 ,C D中点Q的轨迹方程； （3）求证：点 1Q 的横坐标为定值. 22．（本题 16 分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分 2 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满 分 8 分. 数列 }{ na 满足 12)1(1  naa n n n ,且 1 2a  ， nS 是 na 的前 n和. （1）求 2 3 4 5 6 7 8, , , , , ,a a a a a a a ；（2）求 na ；（3）求 nS . 23．（本题 18 分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满 分 8 分. 已知函数 ( ) (1 | 1|)f x a x   ， a为常数，且 1a  . （1）证明函数 ( )f x 的图象关于直线 1x  对称； （2）当 2a  时，讨论方程 ( ( ))f f x m 解的个数； （3）若 0x 满足 0 0( ( ))f f x x ，但 0 0( )f x x ，则称 0x 为函数 ( )f x 的二阶周期点，则 ( )f x 是否有两个二阶周期点，说明理由. 参考答案与评分标准（理科） 1、 1 2 ；2、 (0,1] ；3、2；4、5；5、 12 k    或 5 ( ) 12 k k Z    ；6、 (1 ) (0 1)y x x x    ；7、3/5；8、2 4n n ；9、直线；10、1；11、①②③；12、[ 4,0] ； 13、1：2：3；14、 1 2 3(0, 2), (2,5), (5, 2)B B B DBBA 19．设南、北门分别为点 A、B，东、西建筑物分别为点 C、D. 在 BCD! 中， 2 2 2 030 40 2 30 40 cos 60 1300CD        ， 1300CD  . 5分 由 于 AB 为 BCD! 的 外 接 圆 直 径 ， 所 以 0 2 1300 20 39 sin 60 33 CDAB    41.63 . 所以广场直径约为 41.63 米. 12 分 20． （1） 34 322 3 3 V    球 ，…… 3 分 24 2 16S    表面积 …… 6 分 （2） 2 3 AOB    ， …… 12 分 所以 AB 两点间的球面距离为 4 3  . …… 14 分 21．（1）椭圆方程为 2 2 1 5 4 y x   . …… 3 分 （2）设 1 1( , )C x y ， 2 2( , )D x y ， ( , )Q x y ，则 2 2 1 1 1 5 4 y x   ①， 2 2 2 2 1 5 4 y x   ② ①②得 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) 4 y y y y x x x x         ， …… 5 分 因 2 1 2 1 2 1 2 1 , 4 y y y yy y x x x x x x        ， 所以 5 4 4 y y x x     ，即 2 25 20 4 0x x y   （0 1x  ）. ……8 分 用代入法求解酌情给分。 （3）设直线 AC的方程为： 1 1 ( 2) 2 yy x x    ，直线 BD的方程分别为： 2 2 ( 2) 2 yy x x    ， 两式联立，消去 y得 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) 4( ) 2( )Q x y x y y yx x y x y y y        . ……10 分 由 ①②得 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 24( )x y x y y y   ，即 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2( )( ) 4( )( )x y x y x y x y y y y y     . ③ 又 , ,P C D三点共线，则 1 2 1 24 4 y y x x    ， 2 1 1 2 1 24( )x y x y y y   ， ④ 2 入③得 2 1 1 2 1 2x y x y y y   ， ⑤ 把③、④代入⑤整理得 2 1 2 1 6 2 1 6 2Q y yx y y     （定值）. ……14 分 22．（1） 2 3 4 5 6 7 83, 0, 5, 2, 11, 0, 13a a a a a a a       .……2 分 （2）由（1）猜想： 4 3 4 2 4 1 42, 8 5, 0, 8 3k k k ka a k a a k        .……3 分 用数学归纳法证明： ① 1,2,3,4n  时已经验证. ② 4 ( 1)n k k  时，猜想如上，则 4 4 1 4( 1) 2(4 ) 1k k ka a k     ，即 4 1 8 1 (8 3) 2ka k k      ； 4 1 4 2 4 1( 1) 2(4 1) 1k k ka a k       ， 即 4 2 2(4 1) 1 2 8( 1) 5ka k k        ； ……5 分 4 2 4 3 4 2( 1) 2(4 2) 1k k ka a k       ，即 4 3 2(4 2) 1 (8 3) 0ka k k       ； 4 3 4 4 4 3( 1) 2(4 3) 1k k ka a k       ，即 4 4 2(4 3) 1 0 8( 1) 3ka k k        . 由①、②可知，当 4 1n k  时，猜想成立. ……7 分 从而 * * * * 2, ( 4 3, ), 2 1, ( 4 2, ), 0, ( 4 1, ), 2 3, ( 4 , ). n n k k N n n k k N a n k k N n n k k N                  …… …… 8分 解 2 由已知可得 4 3 4 2 4 3 4 2 4 3( 1) 2(4 3) 1 8 7k k k k ka a a a k k             ， 0(1 ) 同理可得 4 1 4 2 2(4 2) 1 8 5k ka a k k       ， 0(2 ) 4 4 1 2(4 1) 1 8 3k ka a k k      ， 0(3 ) 4 1 4 2 4 1 8 1k ka a k k       ， 0(4 ) ……4 分 0(2 ) - 0(1 ) 得 4 1 4 3 2k ka a   0(5 ) 0(4 ) - 0(3 )得 4 1 4 1 2k ka a   0(6 ) 0(6 ) - 0(5 )得 4 1 4 3 0k ka a   ，即 4 1 4 3k ka a  . 因 1 2a  ，所以 4 1 4 3 4 7 5 1 2k k ka a a a a        . 把 4 3 2ka   代入 0(5 )得 4 1 0ka   ，把 4 1 0ka   代入 0(3 )得 4 8 3ka k  ，把 4 1 0ka   代入 0(2 )得 4 2 8 5ka k   . 即 4 3 4 2 4 1 42, 8 5, 0, 8 3k k k ka a k a a k        . ……6分 所以从而 * * * * 2, ( 4 3, ), 2 1, ( 4 2, ), 0, ( 4 1, ), 2 3, ( 4 , ). n n k k N n n k k N a n k k N n n k k N                  …… …… 8分 （3）当 4n k 时， 2 2 2 22 (4 ) 0 (4 ) 8 2 2n n nS k k k k k k k           ；………10 分 当 4 1n k  时， 2 2 4 1 4 4 8 2 (8 3) 8 6 3n k k kS S S a k k k k k          2 4 2 n n   ；……11 分 当 4 2n k  时 2 2 4 2 4 4 4 1 8 2 (8 3) 8 6 3n k k k kS S S a a k k k k k            2 4 2 n n   ；……13 分 当 4 3n k  时， 2 4 3 4 4 4 1 4 2 8 2 (8 3)n k k k k kS S S a a a k k k           (8 5)k  28 14 8k k   2 4 2 n n   . ……15 分 综合上述， 2 * 2 * 2 * 2 * 4 , ( 4 3, ), 2 4 , ( 4 2, ), 2 4 , ( 4 1, ), 2 , ( 4 , ). 2 n n n n k k N n n n k k N S n n n k k N n n n k k N                        …… 16 分 23． （1）设点 0 0( , )x y 为 ( )y f x 上任意一点，则 0 0 0 0 0 0(2 ) (1 | 2 1|) (1 |1 |) (1 | 1|) ( )f x a x a x a x y f x             ， 所以，函数 ( )f x 的图象关于直线 1x  对称. ……4分 （2）当 2a  时， 14 , , 2 14 4 , 1, 2( ( )) 34 4,1 , 2 38 4 , . 2 x x x x f f x x x x x                    ……8分 如图，当 0m  时，方程有2个解；当 0m  时，方程有3个解；当0 2m  时，方程有4个 解；当 2m  时，方程有2个解. ……9分 综合上述，当 0m  或 2m  时，方程有2个解；当 0m  时，方程有3个解；当0 2m  时， 方程有4个解. ……10分 （3）因 (2 ), 1, ( ) , 1. a x x f x ax x      ， 所以，当 1x  ， ( ( )) (1 | (2 ) 1|)f f x a a x    . 若 (2 ) 1 0a x   ，即 11 2x a    ， 2 2( ( )) 2 2f f x a a a x   ； 若 (2 ) 1 0a x   ，即 12x a   ， 2( ( )) (2 )f f x a x  . 当 1x  ，同理可得， 1 1x a   ， ( ( )) (2 )f f x a ax  ； 1x a  ， 2( ( ))f f x a x . 所以， 2 2 2 2 1, , 1(2 ), 1, ( ( )) 12 2 ,1 2 , 1(2 ), 2 . a x x a a ax x af f x a a a x x a a x x a                       ……14分 从而 ( ( ))f f x x 有四个解： 2 2 2 2 2 20, , , 1 1 1 a a a a a a   .……16分 又 (0) 0f  ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) , ( ) (2 ) 1 1 1 1 1 1 a a a a a af f a a a a a a a            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) (2 ) 1 1 1 1 a a a af a a a a a         ，所以只有 2 2 2 2 2, 1 1 a a a a  是二阶周期 点. …… …… 18分 数学复习卷 140(文) 班级 姓名 学号 内容：第三轮复习 高考模拟卷 V 满分 150 分 时间 120 分钟 一、填空题（本题满分 56 分）本大题共有 14 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． １． i 为虚数单位，复数 1 1 i 的虚部是＿＿＿＿． 2．若抛物线 2: 2C y px 的焦点在直线 2 0x y   上，则C的准线方程为_____． 3．设函数 2log , 0, ( ) 4 , 0,x x x f x x     ≤ 若函数 ( ) ( )g x f x k  存在 两个零点，则实数 k的取值范围是＿＿． 4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的 n的值为 6，那么运行 相应程序，输出的 n的值为＿＿. 5．若 R  ，则方程 2sin 2 1 0 1 1   的解为＿＿＿＿＿． 6．已知集合 * *{ | 2 | 2 3 | , }A x x N x N     ，则集合 A的子集 数为＿＿． 7．年龄在 60 岁（含 60 岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄 人有 350 人， 他们的健康状况如下表： 其中健康指数的含义是：2 代表“健康”，1 代表“基本健康”，0 代表“不健康，但生活能 够自理”，-1 代表“生活不能自理”.则随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人，该老人生 活能够自理的概率是_____（用分数作答）. 8．平面 的斜线 AB交 于点 B，过定点 A的动直线 l与 AB垂直，且交 于点C，则动 点C的轨迹是_________. 健康指数 2 1 0 -1 60 岁至 79 岁的人数 120 133 34 13 80 岁及以上的人数 9 18 14 9 9．已知函数 ( ) 2xf x  ,点 P( ,a b )在函数 1 ( 0)y x x   图象上，那么 ( ) ( )f a f b 的最小值 是____________. 10．在平面上， 1 2AB AB   ， 1 2| | 1,| | 2MB MB    , 1 2AP AB AB     .若 | | 1MP   ，则 | |MA  的取值范围是_____. 11．函数 ( ) (2 1)(2 )x xf x a   的图象关于 1x  对称，则 ( )f x 的最大值为___. 12．对于任意正整数，定义“n 的双阶乘 n!!”如下：对于 n 是偶数时， n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于 n 是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1． 现有如下四个命题：①(2013!!)·(2014!!)=2014!；②2014!!=21007·1007!；③2014!!的个位数是 0； ④2015!!的个位数是 5．正确的命题是________ 13．已知关于 t 的一元二次方程 ),(0)(2)2(2 Ryxiyxxytit  .当方程有实根 时，则点 ),( yx 的轨迹方程为______. 14. 已知向量序列： 1 2, , , na a a     满足如下条件： 1| | 4 | | 2a d    ， 12 1a d     且 1n na a d     （ 2,3,4,n  ）.若 1 0ka a    ，则 k  ___； 1 2| |,| |, ,| |na a a     中第___项 最小. 二、选择题（本题满分 20分）本大题共有 4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结 论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分． 15．下列函数中周期为 且图象关于直线 3 x   对称的函数是( ) （Ａ） 2sin( ) 2 3 xy    （Ｂ） 2sin(2 ) 6 y x    （Ｃ） 2sin(2 ) 6 y x    （Ｄ） 2sin( ) 2 3 xy    16．若 ,x y满足约束条件 , 1, 3 3. x y y x x y      ≤3 ≤ ≥ 则函数 2z x y  的最大值是( ) （A） 1 （B）0 （C）3 （D）6 17．棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如 图所示，那么该几何体的体积是( ) （A） 14 3 （B）4 （C） 10 3 （D）3 18．若直线 4ax by  和圆 2 2 4x y  没有公共点，则过点 ( , )P a b 的直线 l与椭圆 2 2 1 9 4 x y   的公共点( ) （A）至少有一个 （B）有两个 （C）只有一个 （D）不存在 三、解答题解答题：（本题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定 区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 19．（本题 12 分）圆形广场的有南北两个大门在中轴线上，东、西各有一栋建筑物与北门的 距离分别为 30 米和 40 米，且以北门为顶点（视大门和建筑物为点） 的角为 060 ，求广场的直径（保留两位小数）. 20．（本题 14 分）本题共有 2 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 设底面直径和高都是 4 的圆柱的内切球为O . （1）求球O的体积和表面积； （2） AB是与底面距离为 1 的平面和球的截面圆M 内的一条弦，其长为 2 3 ，求 AB两 点间的球面距离. 21．（本题 14 分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满 分 6 分. 设椭圆   2 2 2 2 1 0y x a b a b     两顶点 ( ,0), ( ,0)A b B b ，短轴长为 4， 焦距为 2，过点 (4,0)P 的直线 l与椭圆交于 ,C D两点． （1）求椭圆的方程； （2）求线段 ,C D中点Q的轨迹方程； （3）若直线 AC的斜率为 1，在椭圆上求一点M ，使三角形 MAC! 面积最大. 22．（本题 16 分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满 分 8 分. 数列 }{ na 满足 12)1(1  naa n n n ，其中 1 1a  ， nS 是 na 的前 n和. （1）求 2 3 4 5 6, , , ,a a a a a ； （2）求 na ； （3）求 nS . 23．（本题 18 分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满 分 8 分. 已知函数 ( ) (1 | 1|)f x a x   ， a为常数，且 1a  . （1）求 ( )f x 的最大值； （2）证明函数 ( )f x 的图象关于直线 1x  对称； （3）当 2a  时，讨论方程 ( ( ))f f x m 解的个数. 参考答案与评分标准（文科） 1、 1 2 ；2、x=-2；3、 (0,1]；4、5；5、 12 k    或 5 ( ) 12 k k Z    ； 6、4；7、287/300；8、直线；9、4；10、 | | (2, 5]MA   ；11、1/4； 12、．①②③④；13、 2 2( 1) ( 1) 2x y    ；14、9；3. BDBB 19．设南、北门分别为点 A、B，东、西建筑物分别为点 C、D. 在 BCD! 中， 2 2 2 030 40 2 30 40 cos 60 1300CD        ， 1300CD  . 5分 由于 AB为 BCD! 的外接圆直径，所以 0 2 1300 20 39 sin 60 33 CDAB    41.63 . 所以广场直径约为 41.63 米. 12 分 20． （1） 34 322 3 3 V    球 ，…… 3 分 24 2 16S    表面积 …… 6 分 （2） 2 3 AOB    ， …… 12 分 所以 AB 两点间的球面距离为 4 3  . …… 14 分 21．（1）椭圆方程为 2 2 1 5 4 y x   . …… 3 分 （2）设 1 1( , )C x y ， 2 2( , )D x y ， ( , )Q x y ，则 2 2 1 1 1 5 4 y x   ①， 2 2 2 2 1 5 4 y x   ② ①②得 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) 4 y y y y x x x x         ， …… 5 分 因 2 1 2 1 2 1 2 1 , 4 y y y yy y x x x x x x        ， 所以 5 4 4 y y x x     ，即 2 25 20 4 0x x y   （0 1x  ）. ……8 分 用代入法求解酌情给分。 （3）设平行于 AC的直线方程为 y x m  ，代入椭圆方程得 2 29 8 4 20 0x mx m    . 2 264 4 9 4( 5) 0m m     ! ，解得 3m   ， 3m  （舍）.把 3m   代入上式解得 4 3 x  ，从而解得 4 5( , ) 3 3 M  . …… 11 分 把 2y x  代入椭圆方程整理得 29 16 4 0x x   ， 216 16 20 2| | 2 ( ) 9 9 9 AC      ， AC边上高的最大值 5 2 h  ，所以 max 1 20 2 5 50 2 9 92 S     . …… …… 14分 22．（1） 2 3 4 5 62, 1, 6, 1, 10a a a a a     . …… 3 分 （2）解 1 由（1）猜想： * * 1, ( 2 1, ), 2 2, ( 2 , ).n n k k N a n n k k N         …… 4 分 用数学归纳法证明： 3 1,2n  ，已经验证. ②设 2 1( 1)n k k   ，则由归纳假设得 2 1 21, 4 2k ka a k    ，那么 2 2 1 2( 1) 2(2 ) 1k k ka a k     ，即 2 1 4 1 (4 2) 1ka k k      ；…… 6 分 2 1 2 2 2 1( 1) 2(2 1) 1k k ka a k       ，即 2 2 2(2 1) 1 1 4( 1) 2ka k k        . 由①、②可知，猜想成立. …… …… 9 分 解 2 因 12)1(1  naa n n n ，以 1n  代 n得 12)1( 1 1 2     naa n n n . 当 2 1( 1)n k k   时， 121  naa nn ，① 1212   naa nn ，② ②-①得 22  nn aa ，由 1 1a  知， 1na  . …… 6 分 当 2 ( 1)n k k  时，由已知得 1 2( 1) 1n na a n    ，即 2( 1) 1 1 2 2na n n      . 所以 * * 1, ( 2 1, ), 2 2, ( 2 , ).n n k k N a n n k k N         …… 9分 （3）若 2 ( 1)n k k  ，则 ( 1) ( 1)2 21 2 4 2 2 2 2n n n n n n nS          .…12 分 若 2 1( 1)n k k   ，则 2 1 1 ( 1)( 2) 2[2( 1) 2] 2 2n n n n n n nS S a n             .……15 分 所以 2 2 , ( 2 ), 2 2 , ( 2 1). 2 n n n n k S n n n k         …… …… 16 分 23． (1) (2 ), 1, ( ) (1 | 1|) , 1. a x x f x a x ax x         ……2分 当 1x  ， ( )f x 为增函数，最大值为 a；当 1x  时， ( )f x 为减函数， 最大值为 a，故 ( )f x 的最大值为 a .……4分 （2）设点 0 0( , )x y 为 ( )y f x 上任意一点，则 0 0 0 0 0 0(2 ) (1 | 2 1|) (1 |1 |) (1 | 1|) ( )f x a x a x a x y f x             ， 所以，函数 ( )f x 的图象关于直线 1x  对称. 9分 （3）当 2a  时， 14 , , 2 14 4 , 1, 2( ( )) 34 4,1 , 2 38 4 , . 2 x x x x f f x x x x x                    …… 13分 如图，当 0m  时，方程有2个解；当 0m  时，方程有3个解；当0 2m  时，方程有4个 解；当 2m  时，方程有2个解. …… 17分 综合上述，当 0m  或 2m  时，方程有2个解；当 0m  时，方程有3个解；当0 2m  时， 方程有4个解. …… ……18分 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． （1）已知集合 A= B= ，则 （A） （B） （C） （D） （2）若 x,y 满足 ，则 2x+y 的最大值为 （A）0 （B）3 （C）4 （D）5 （3）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）设 a,b 是向量，则“ a = b ”是“ a+b = a-b ”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （5）已知 x,y R,且 x y o，则 （A） - （B） （C） (- 0 （D）lnx+lny (6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A） （B） （C） （D）1 (7)将函数 图像上的点 P（ ，t）向左平移 s（s﹥0）个单位长度得到点 P′. 若 P′位于函数 的图像上，则 （A）t= ，s 的最小值为 （B）t= ，s 的最小值为 （C）t= ，s 的最小值为 （D）t= ，s 的最小值为 （8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半。甲、乙、丙是三个空盒。每次从袋中 任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否 则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 第二部分（非选择题 共 110分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． （9）设 a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则 a=_______________。 （10）在 的展开式中， 的系数为__________________.（用数字作答） （11）在极坐标系中，直线 与圆 交于 A，B 两点， 则 =____________________. （12）已知 为等差数列， 为其前 n 项和，若 ， ，则 . （13）双曲线 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线， 点 B 为该双曲线的焦点。若正方形 OABC 的边长为 2，则 a=_______________. （14）设函数 ①若 a=0，则 f(x)的最大值为____________________； ②若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是_________________。 三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题 13 分） 在 ABC 中， 3 3 3 2a c b ac   （I）求 B 的大小 （II）求 2 cos cosA C 的最大值 （16）（本小题 13 分） A、B、C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学 生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （I）试估计 C 班的学生人数； （II）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人 记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （III）再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25 （单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 ，表格中数据 的平均数记为 ，试判断 和 的大小，（结论不要求证明） （17）（本小题 14 分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， 平 面 PAD  平 面 ABCD ， PA PD,PA=PD,AB AD,AB=1,AD=2,AC=CD= 5 , （I）求证：PD平面 PAB; （II）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； （III）在棱 PA上是否存在点 M，使得 BM//平面 PCD?若存在，求 AM AP 的值；若不存在，说 明理由。 （18）（本小题 13 分） 设函数 f(x)=x a xe  +bx，曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=(e-1)x+4， （I）求 a,b 的值； (II) 求 f(x)的单调区间。 （19）（本小题 14 分） 已知椭圆 C： 2 2 2 2 1X y a b   （a>b>0）的离心率为 3 2 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB 的面积为 1. （I）求椭圆 C 的方程； (II)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 Y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N。 求证： AN · BM 为定值。 （20）（本小题 13 分） 设数列 A： 1a ， 2a ,… Na (N≥2)。如果对小于 n(2≤n≤N)的每个正整数 k 都有 ka ＜ na ，则 称 n 是数列 A 的一个“G时刻”。记 G（A）是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合。 （I）对数列 A：-2，2，-1，1，3，写出 G（A）的所有元素； (II)证明：若数列 A 中存在 na 使得 na > 1a ，则 G（A） ； (III）证明：若数列 A 满足 na - 1na  ≤1（n=2,3,…,N）,则 G（A）的元素个数不小于 Na - 1a 。 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据 x1,x2,…,xn的方差其中 棱柱的体积 V=Sh，其中 S是圆柱的底面积，h 为高. 棱锥的体积 V= 1 3 Sh，其中 S是圆锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共 14 小题,每小题 5分,共 70 分.请把答案写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。 1.已知集合 { 1,2,3,6}, { | 2 3},A B x x      则 =A B ________▲________. 2.复数 (1 2i)(3 i),z    其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是________▲________. 3.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 2 2 1 7 3 x y   的焦距是________▲________. 4.已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 5.函数 y= 23 2x x- - 的定义域是 ▲ . 6.如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 ▲ . 7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方 体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 ▲ . 8.已知{an}是等差数列，Sn是其前 n项和.若 a1+a22=- 3，S5=10，则 a9的值是 ▲ . 9.定义在区间 [0,3π]上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是 ▲ . 10.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 2 2 2 2 1( )x y a b a b   ＞ ＞0 的右焦点，直 线 2 by  与椭圆交于 B，C 两点，且 90BFC   ,则该椭圆的离心率是 ▲ .(第 6 题) (第 10 题) 11.设 f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[ −1,1)上， , 1 0, ( ) 2 ,0 1, 5 x a x f x x x          其中 .aR 若 5 9( ) ( ) 2 2 f f  ，则 f（5a）的值是 ▲ . 12. 已知实数 x，y满足 2 4 0 2 2 0 3 3 0 x y x y x y            ，则 x2+y2的取值范围是 ▲ . 13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， · =4， 1BF CF     ， 则BE CE   的值是 ▲ . 14.在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 ▲ . 二、解答题:（本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡制定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 14 分） 在 ABC△ 中，AC=6， 4 πcos . 5 4 B C= =， （1）求 AB 的长； （2）求 πcos( 6 A- )的值. 16.(本小题满分 14 分) 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 1 1B D AF ， 1 1 1 1AC AB . 求证：（1）直线 DE∥平面 A1C1F； （2）平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 17.（本小题满分 14 分） 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 1 1 1 1P ABC D ，下部的形状是正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D (如图所示)，并要求 正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4倍. (1)若 AB=6 m,PO1=2 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6m,则当 1PO 为多少时，仓库的容积最大？ 18. （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M为圆心的圆 M: 2 2 12 14 60 0x y x y     及其 上一点 A(2，4). (1)设圆 N与 x轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N在直线 x=6 上，求圆 N的标准方程； (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点，且 BC=OA,求直线 l 的方 程； (3)设点 T（t,0）满足：存在圆 M 上的两点 P和 Q,使得 ,TA TP TQ     求实 数 t 的取值范围。 19. （本小题满分 16 分） 已知函数 ( ) ( 0, 0, 1, 1)x xf x a b a b a b      . （1） 设 a=2,b= 1 2 . 1 求方程 ( )f x =2 的根; 2 若对于任意 x R,不等式 (2 ) f( ) 6f x m x  恒成立，求实数 m的最大值； （2）若0 1, 1a b  ＞ ，函数     2g x f x  有且只有 1 个零点，求 ab 的值. 20.（本小题满分 16 分） 记  1,2, 100U  …， .对数列   * na n N 和 U 的子集 T，若 T   ,定义 0TS  ;若  1 2, , kT t t t …， ，定义 1 2 + kT t t tS a a a  … .例如：  = 1,3,66T 时， 1 3 66+TS a a a  . 现设  * na n N 是公比为 3 的等比数列，且当  = 2,4T 时， =30TS . (1)求数列  na 的通项公式； (2)对任意正整数  1 100k k  ，若  1,2, kT  …， ，求证： 1T kS a  ； （3）设 , , C DC U D U S S   ,求证： 2C C D DS S S  . 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅱ（附加题） 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．． 作答．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． A．[选修 4—1：几何证明选讲]（本小题满分 10 分） 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是 BC 的中点，求证：∠EDC=∠ABD. B.[选修 4—2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 已知矩阵 1 2 , 0 2 A       矩阵 B 的逆矩阵 1 11 = 2 0 2 B        ，求矩阵 AB. C.[选修 4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 11 2 3 2 x t y t       （t 为参数），椭圆 C 的参数方程为 cos , 2sin x y      （ 为参数）.设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求 线段 AB 的长. D.[选修 4—5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 设 a＞0，|x-1|＜ 3 a ，|y-2|＜ 3 a ，求证：|2x+y-4|＜a. 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分 10 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：x-y-2=0，抛物线 C：y2=2px(p ＞0). （1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； （2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q. ①求证：线段 PQ 的中点坐标为（2-p，-p）； ②求 p 的取值范围. 23.（本小题满分 10 分） （1）求 3 4 6 7–47C C 的值； （2）设 m，nN*，n≥m，求证： （m+1）Cm m +（m+2） +1Cm m +（m+3） +2Cm m +…+n –1Cm n +（n+1）Cm n =（m+1） +2 +2Cm n .