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- 2021-06-10 发布
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§5.3 平面向量的数量积
考纲展示► 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
考点1 平面向量的数量积的运算
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,记=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则________ 叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=________,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.
(3)数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________的乘积.
答案:(2)|a||b|cos θ |a||b|cos θ
(3)|b|cos θ
2.平面向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
(3)(a+b)·c=________(分配律).
答案:(3)a·c+b·c
(1)[教材习题改编]在△ABC中,·>0,则△ABC是________三角形.
答案:钝角
解析:由向量夹角的定义可知,与的夹角为π-B,则·=||||cos(π-B)>0,
得cos(π-B)>0,∴cos B<0,即角B为钝角,∴△ABC为钝角三角形.
(2)[教材习题改编]在▱ABCD中,AB=4,BC=2,∠ABC=60°,则·=________.
答案:-4
解析:在平行四边形ABCD中,=, ∠BAD=180°-∠ABC=120°,
∴·=·=||||cos∠BAD
=4×2cos 120°=-4.
与平面向量的数量积有关的易错点:投影;向量夹角;运算律.
下列说法正确的有________个.
①向量b在向量a方向上的投影是向量;
②若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角;
③(a·b)·c=a·(b·c);
④若a·b=0,则a=0或b=0.
答案:0
解析:①向量b在a方向上的投影是数量,为|b|cos θ,它可以为正,可以为负,也可以为0;
②a·b>0与a和b的夹角为锐角不等价,a·b>0还包含a和b同向的情形.同样a·b<0不仅包含a和b的夹角为钝角,还包含a和b反向的情形;
③由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等,故数量积运算不适合结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c);
④a·b=0⇔|a||b|cos θ=0⇔|a|=0或|b|=0或cos θ=0,因此,若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b.
[典题1] (1)[2017·四川成都模拟]在△ABC中,点M在线段AC上,点P在线段BM上,且满足==2,若||=2,||=3,∠BAC=90°,则·=( )
A.1 B.-
C. D.-
[答案] B
[解析] 由题知,=-,=-=-,
=+=+=+,
·=·(-)
=·-2+2-·
=-+2=-.
(2)[2017·安徽合肥联考]已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a上的投影为________.
[答案] 2
[解析] ∵|a+b|2=a2+b2+2a·b=1+4+2×1×2×=7,
∴|a+b|=,
∴cos〈a+b,a〉===.
∴a+b在a上的投影为|a+b|cos〈a+b,a〉=×=2.
[点石成金] 向量数量积的两种运算方法
方法
运用提示
适用题型
定义法
当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a|·
|b|cos θ
适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题
坐标法
当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2
适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题
已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.
答案:1 1
解析:解法一:如图,
·=(+)·
=·+·=2=1.
·=(+)·
=·+·
=·=||·||≤||2=1.
解法二:以射线AB,AD为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
设E(t,0),t∈[0,1],则=(t,-1),=(0,-1),
∴·=(t,-1)·(0,-1)=1.
∵=(1,0),
∴·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,
故·的最大值为1.
解法三:由图知,无论点E在哪个位置,在方向上的投影都是CB=1,
∴·=||·1=1.
当E运动到点B时,在方向上的投影最大即为||=1,
∴(·)max=||·1=1.
考点2 平面向量数量积的性质
平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
(1)数量积:a·b=|a||b|cos θ=________.
(2)模:|a|==________.
(3)夹角:cos θ== .
(4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔________.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤ ·.
答案:(1)x1x2+y1y2 (2)
(4)x1x2+y1y2=0
(1)[教材习题改编]已知|a|=2,|b|=4,a·b=4,则a与b的夹角θ=________.
答案:30°
(2)[教材习题改编]已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb互相垂直,则实数k=________.
答案:±
平面向量数量积的常用结论.
(1)对任意向量a和b,(a+b)·(a-b)=________.
(2)对任意向量a和b,(a+b)2=__________.
(3)若两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b________0.
(4)若两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b________0.
答案:(1)a2-b2 (2)a2+2a·b+b2 (3)> (4)<
[考情聚焦] 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为选择题、填空题,难度适中,属中档题.
主要有以下几个命题角度:
角度一
平面向量的模
[典题2] (1)[2015·浙江卷]已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=________.
[答案]
[解析] ∵ e1·e2=,
∴ |e1||e2|cos〈e1,e2〉=,∴ 〈e1,e2〉=60°.
又∵ b·e1=b·e2=1>0,
∴ 〈b,e1〉=〈b,e2〉=30°.
由b·e1=1,得|b||e1|cos 30°=1,
∴ |b|==.
(2)[2017·河北石家庄模拟]已知平面向量a,b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则|a+b|=________.
[答案]
[解析] ∵|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2
=4+2|a||b|cos +1=5-2=3,
∴|a+b|=.
角度二
平面向量的夹角
[典题3] (1)[2017·湖南衡阳八中高三月考]若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 设向量a与a+2b的夹角等于α,因为向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,
所以a·(a+2b)=a2+2a·b
=4+2×2×1×cos =6,
|a+2b|===2,
∴cos α===.
∵α∈[0,π],∴α=.故选A.
(2)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=________.
[答案] 2
[解析] ∵b·c=b·[ta+(1-t)b]=ta·b+(1-t)b2=t|a||b|cos 60°+(1-t)|b|2
=t+1-t=-t+1=0,∴t=2.
角度三
平面向量的垂直
[典题4] 已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.
[答案]
[解析] =-,由于⊥,所以·=0,即(λ+)·(-)=-λ2+2+(λ-1)·=-9λ+4+(λ-1)×3×2×=0,解得λ=.
[点石成金] 平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角:cos θ=,要注意θ∈[0,π].
(2)两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是:a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|.
(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有:
①a2=a·a=|a|2或|a|=.
②|a±b|==.
③若a=(x,y),则|a|=.
真题演练集训
1.[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知向量=,=,则∠ABC=( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
答案:A
解析:由两向量的夹角公式,可得
cos∠ABC===,则∠ABC=30°.
2.[2016·北京卷]设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:D
解析:取a=-b≠0,则|a|=|b|≠0,|a+b|=|0|=0.|a-b|=|2a|≠0,所以|a+b|≠|a-b|,故由|a|=|b|推不出|a+b|=|a-b|.
由|a+b|=|a-b|,得|a+b|2=|a-b|2,整理得a·b=0,所以a⊥b,不一定能得出|a|=|b|,故由|a+b|=|a-b|推不出|a|=|b|.
故“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.故选D.
3.[2015·重庆卷]若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.π
答案:A
解析:由(a-b)⊥(3a+2b),得
(a-b)·(3a+2b)=0,
即3a2-a·b-2b2=0.
又∵ |a|=|b|,设〈a,b〉=θ,
即3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0,
∴ |b|2-|b|2·cos θ-2|b|2=0.
∴ cos θ=.
又∵ 0≤θ≤π,∴ θ=.
4.[2014·新课标全国卷Ⅱ]设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )
A.1 B.2
C.3 D.5
答案:A
解析:由条件可得,(a+b)2 =10,(a-b)2 =6,两式相减得4a·b=4,所以a·b=1.
5.[2016·天津卷]已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·
的值为( )
A.- B.
C. D.
答案:B
解析:如图,设=m,=n.
根据已知得,=m,
所以=+=m+n,=m-n,
·=·(m-n)
=m2-n2-m·n=--=.
6.[2016·浙江卷]已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤ ,则a·b的最大值是________.
答案:
解析:由题意,令e=(1,0),a=(cos α,sin α),b=(2cos β,2sin β),则由|a·e|+|b·e|≤,可得
|cos α|+2|cos β|≤.①
令sin α +2sin β=m.②
①2 +②2,得4[|cos αcos β|+sin αsin β]≤1+m2对一切实数α,β恒成立,
所以4[|cos αcos β|+sin αsin β]≤1.
故a·b=2(cos αcos β+sin αsin β)≤2[|cos αcos β|+sin αsin β]≤.
课外拓展阅读
以向量为背景的创新题
[典例1] (1)对任意两个非零的平面向量α和β,定义α·β=,若两个非零的平面向量a,b满足a与b的夹角θ∈,且a·b和b·a都在集合中,则a·b等于( )
A. B.
C.1 D.
[答案] D
[审题视角] 先根据定义表示a·b和b·a,利用其属于集合,将其表示成集合中元素的形式,两式相乘即可表示出cos θ,然后利用θ∈确定cos θ的取值范围,结合集合中n∈Z的限制条件即可确定n的值,从而求出a·b的值.
[解析] 根据新定义,得
a·b===cos θ,
b·a===cos θ.
又因为a·b和b·a都在集合中,
设a·b=,b·a=(n1,n2∈Z),
那么(a·b)·(b·a)=cos2θ=,
又θ∈,故cos2θ∈,
所以0