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  • 2021-06-10 发布

专题16+解析几何(大题部分)-解题思维大提升之2019年高考数学二轮复习训练手册

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‎【训练目标】‎ 1、 理解斜率、倾斜角的概念,会利用多种方法计算斜率,掌握斜率与倾斜角之间的变化关系;‎ 2、 掌握直线方程的5种形式,熟练两直线的位置关系的充要条件,并且能够熟练使用点到直线的距离,两点间的距离,两平行间的距离公式;‎ 3、 识记圆的标准方程和一般方程,掌握两个方程的求法;‎ 4、 掌握直线与圆的位置关系的判断,圆与圆的位置关系判断;‎ 5、 掌握圆的切线求法,弦长求法,切线长的求法。‎ 6、 掌握椭圆,双曲线,抛物线的定义及简单几何性质;‎ 7、 掌握椭圆,双曲线的离心率求法;‎ 8、 掌握直线与圆锥曲线的位置关系;‎ 9、 掌握圆锥曲线中的定值问题,定点问题,最值与范围问题求法;‎ ‎【温馨小提示】‎ 本专题在高考中属于压轴题,文科相对简单,只需掌握常见的方法,有一定的计算能力即可;对于理科生来讲,思维难度加大,计算量加大,因此在复习时应该多总结,对于常见的一些小结论加以识记,并采用一些诸如特殊值法,特殊点法加以验证求解。‎ ‎【名校试题荟萃】‎ ‎1、已知圆和圆.‎ ‎(1)若直线过点且被圆截得的弦长为,求直线的方程;‎ ‎(2)设平面上的点满足:存在过点的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点的坐标。‎ ‎【答案】‎ ‎(1)或 ‎(2)或 ‎【解析】‎ ‎(1)设直线的方程为:,即 由垂径定理,得:圆心到直线的距离,‎ 点到直线距离公式,得: ‎ 求直线的方程为:或,即或; ‎ 故有:,‎ 化简得:‎ 关于的方程有无穷多解,有:,或 ‎ 解之得:点P坐标为或。 ‎ ‎2、已知椭圆与抛物线共交点,抛物线上的点到轴的距离等于,且椭圆与抛物线的交点满足.‎ ‎(1)求抛物线的方程和椭圆的方程;‎ ‎(2)过抛物线上的点做抛物线的切线交椭圆于,两点,设线段的中点为,求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎(1),‎ ‎(2)‎ ‎(2)显然,,由,消去,得,‎ 由题意知,得,‎ 由,消去,得,‎ 其中,化简得,‎ 又,得,解得.‎ 设,,则.‎ 由,得.∴的取值范围是.‎ ‎3、已知椭圆:的离心率,点,点 分别为椭圆的上顶点和左焦点,且.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若过定点的直线与椭圆交于两点(在之间)设直线的斜率,在 轴上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形为菱形?如果存在,求出的取值范围?如果不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎(1) (2)‎ ‎(Ⅱ)设直线的方程为,‎ 设,则,‎ ‎,‎ ‎,‎ 由于菱形对角线垂直,则,‎ 解得,‎ 即,,(当且仅当时,等号成立).‎ 所以存在满足条件的实数,的取值范围为.‎ ‎4、已知椭圆.‎ ‎(1)若椭圆的离心率为,求的值; ‎ ‎(2)若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点,在轴上是否存在点,使得, 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎(1) (2)(-1,0)‎ ‎5、在平面直角坐标系中,椭圆:的短轴长为,离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知为椭圆的上顶点,点为轴正半轴上一点,过点作的垂线与椭圆交于另一点,若,求点的坐标.‎ ‎【答案】‎ ‎(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)因为椭圆的短轴长为,离心率为,‎ 所以解得,所以椭圆的方程为.‎ 在直角中,由,得,‎ 所以,解得,所以点的坐标为.‎ ‎6、已知点F是椭圆+y2=1(a>0)的右焦点,点M(m,0),N(0,n)分别是x轴,y轴上的动点,且满足·=0.若点P满足=2+(O为坐标原点).‎ ‎(1)求点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A,B两点,直线OA,OB与直线x=-a分别交于点S,T,试判断以线段ST为直径的圆是否经过点F?请说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)y2=4ax (2)经过 ‎【解析】‎ ‎(1) ∵椭圆+y2=1(a>0)右焦点F的坐标为(a,0),‎ ‎∴=(a,-n).∵=(-m,n),‎ ‎∴由·=0,得n2+am=0.‎ 设点P的坐标为(x,y),由=2+,有(m,0)=2(0,n)+(-x,-y),‎ 代入n2+am=0,得y2=4ax.即点P的轨迹C的方程为y2=4ax.‎ 解法二:①当AB⊥x时,A(a,2a),B(a,-2a),则lOA:y=2x,lOB:y=-2x.‎ 由得点S的坐标为S(-a,-2a),则=(-2a,-2a).‎ 由得点T的坐标为T(-a,2a),则=(-2a,2a).‎ ‎∴·=(-2a)×(-2a)+(-2a)×2a=0.‎ ‎②当AB不垂直x轴时,设直线AB的方程为y=k(x-a)(k≠0),A,B,‎ 同解法一,得·=4a2+.‎ 由得ky2-4ay-4ka2=0,∴y1y2=-4a2.‎ 则·=4a2+=4a2-4a2=0. ‎ 因此,以线段ST为直径的圆经过点F. ‎ ‎7、如图,已知抛物线C:y2=x和⊙M:(x-4)2+y2=1,过抛物线C上一点H(x0,y0)‎ ‎(y0≥1)作两条直线与⊙M分别相切于A、B两点,分别交抛物线于E、F两点.‎ ‎(1)当∠AHB的角平分线垂直x轴时,求直线EF的斜率;‎ ‎(2)若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)- (2)-11‎ 法二:∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),‎ ‎∴∠AHB=60°,可得kHA=,kHB=-,∴直线HA的方程为y=x-4+2,‎ 联立方程组得y2-y-4+2=0,‎ ‎∵yE+2=,∴yE=,xE=.‎ 同理可得yF=,xF=,∴kEF=-.‎ ‎(2)法一:‎ 设点H(m2,m)(m≥1),HM2=m4-7m2+16,HA2=m4-7m2+15.‎ 以H为圆心,HA为半径的圆方程为:(x-m2)2+(y-m)2=m4-7m2+15,①‎ ‎⊙M方程:(x-4)2+y2=1.②‎ ‎①-②得:直线AB的方程为(2x-m2-4)(4-m2)-(2y-m)m=m4-7m2+14.‎ 当x=0时,直线AB在y轴上的截距t=4m-(m≥1),‎ ‎∵t关于m的函数在[1,+∞)单调递增,∴tmin=-11.‎ 法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵kMA=,∴kHA=,‎ 可得,直线HA的方程为(4-x1)x-y1y+4x1-15=0,‎ 同理,直线HB的方程为(4-x2)x-y2y+4x2-15=0,‎ ‎∴(4-x1)y-y1y0+4x1-15=0,(4-x2)y-y2y0+4x2-15=0,‎ ‎∴直线AB的方程为(4-y)x-y0y+4y-15=0,‎ 令x=0,可得t=4y0-(y0≥1),‎ ‎∵t关于y0的函数在[1,+∞)单调递增,∴tmin=-11.‎ ‎8、已知椭圆的一个焦点,点在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)直线平行于直线(坐标原点),且与椭圆交于,两个不同的点,若为钝角,求直线在轴上的截距的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎(1) (2)‎ ‎(2)由直线平行于得直线的斜率为,又在轴上的截距,‎ 故的方程为.‎ 由得,又线与椭圆交于,两个不同的点,‎ 设,,则,.‎ 所以,于是. ‎ 为钝角等价于,且,则,‎ 即,又,所以的取值范围为. ‎ ‎9、椭圆:()的离心率为,其左焦点到点的距离为.不过原点的直线与椭圆相交于、两点,且线段被直线平分.‎ ‎(1) 求椭圆的方程;‎ ‎(2) 求的面积取最大时直线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(2)易得直线的方程,设,,中点,其中,因为 在椭圆上,所以,,相减得,即 ‎,‎ 故,‎ ‎,其中且.‎ 令,则 ‎,‎ 令得,(因和不满足且,舍去)‎ 当时,,当时,,所以,当时,取得最大值,此时直线的方程为.‎ ‎10、已知抛物线的焦点为,抛物线上存在一点到焦点的距离等于.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)已知点在抛物线上且异于原点,点为直线上的点,且.求直线与抛物线的交点个数,并说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)1个 ‎【解析】‎ ‎(1)抛物线的准线方程为,‎ 所以点到焦点的距离为.解得. ‎ 所以抛物线的方程为.‎ 故直线的斜率 .‎ 故直线的方程为,即.①‎ 又抛物线的方程,②‎ 联立消去得 ,故,且.‎ 故直线与抛物线只有一个交点.‎ ‎11、已知圆与轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(﹣2,﹣3)的直线上.‎ ‎(1)求圆的方程;‎ ‎(2)圆与圆:相交于M、N两点,求两圆的公共弦MN的长.‎ ‎【答案】(1)(x﹣4)2+(y﹣3)2=16 (2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)经过点(2,1)与点(﹣2,﹣3)的直线方程为,‎ 即y=x﹣1.‎ 由题意可得,圆心在直线y=3上,‎ 联立,解得圆心坐标为(4,3),‎ 故圆C1的半径为4.‎ 则圆C1的方程为(x﹣4)2+(y﹣3)2=16;‎ ‎12、已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线与圆C相切.‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)过点Q(0,-3)的直线与圆C交于不同的两点A、B,当时,求△AOB的面积.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设圆心为, 因为圆C与相切, 所以, 解得(舍去), 所以圆C的方程为 ‎ 设,则,   ①, 将①代入并整理得, 解得k = 1或k =-5(舍去), 所以直线l的方程为  ‎ 圆心C到l的距离, ‎ ‎13、已知是椭圆C:上两点,点的坐标为.‎ ‎(1)当两点关于轴对称,且为等边三角形时,求的长;‎ ‎(2)当两点不关于轴对称时,证明:不可能为等边三角形.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎⑵根据题意可知,直线AB斜率存在.‎ 设直线AB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为N(x0,y0),联立 ‎,消去y得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-9=0,‎ 由△>0得2m2-9k2-6<0,① 所以x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2m=, 所以N(-,),又M(1, 0),‎ 假设△MAB为等边三角形,则有MN⊥AB,所以kMN×k=-1,即×k=-1,‎ 化简得3k2+2+km=0,② 由②得m=-,代入①得2-3(3k2+2)<0,‎ 化简得3k2+4<0,矛盾,所以原假设不成立, 故△MAB不可能为等边三角形.‎ ‎14、已知圆,点为圆上的一个动点,轴于点,且动点满足,设动点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求动点的轨迹曲线的方程;‎ ‎(2)若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点,‎ 求线段长度的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎(1) (2)‎ ‎(2)当直线的斜率不存在时,因以为直径的圆过坐标原点,故可设直线为,联立解得 同理求得所以;‎ 当直线的斜率存在时,设其方程为,设 联立,可得 ‎ 由求根公式得(*) ∵以为直径的圆过坐标原点, 即 即化简可得,‎ 将(*)代入可得,即 即,‎ 又将代入,可得 ‎ ‎ ‎∴当且仅当,即时等号成立.又由,,‎ ‎;‎ 综上,得.‎ ‎15、如图,椭圆经过点A(0,-1),且离心率为。‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)若经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的亮点P,Q(均异于点A),‎ 证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值。‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 由已知,设则 从而直线的斜率之和为 ‎16、如图,抛物线的焦点为,准线与x轴的交点为A,点C在抛物线E上,以C为圆心,为半径作圆,设圆C与准线交于不同的两点M,N.‎ ‎(1)若点C的纵坐标为2,求;‎ ‎(2)若,求圆C的半径.‎ ‎【答案】(1)2 (2)‎ 由x=-1,得.设,则 由,得,所以,解得,此时.‎ 所以圆心C的坐标为或,从而,,即圆C的半径为.‎ ‎17、已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上,圆心在直线上的圆与轴相切,且关于点对称.‎ ‎(1)求和的标准方程;‎ ‎(2)过点的直线与交于,与交于,求证:.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 所以的标准方程为.因为与轴相切,故半径,所以的标准方程为.‎ 所以.‎ 所以,即.‎

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