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- 2021-06-10 发布
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【训练目标】
1、 理解斜率、倾斜角的概念,会利用多种方法计算斜率,掌握斜率与倾斜角之间的变化关系;
2、 掌握直线方程的5种形式,熟练两直线的位置关系的充要条件,并且能够熟练使用点到直线的距离,两点间的距离,两平行间的距离公式;
3、 识记圆的标准方程和一般方程,掌握两个方程的求法;
4、 掌握直线与圆的位置关系的判断,圆与圆的位置关系判断;
5、 掌握圆的切线求法,弦长求法,切线长的求法。
6、 掌握椭圆,双曲线,抛物线的定义及简单几何性质;
7、 掌握椭圆,双曲线的离心率求法;
8、 掌握直线与圆锥曲线的位置关系;
9、 掌握圆锥曲线中的定值问题,定点问题,最值与范围问题求法;
【温馨小提示】
本专题在高考中属于压轴题,文科相对简单,只需掌握常见的方法,有一定的计算能力即可;对于理科生来讲,思维难度加大,计算量加大,因此在复习时应该多总结,对于常见的一些小结论加以识记,并采用一些诸如特殊值法,特殊点法加以验证求解。
【名校试题荟萃】
1、已知圆和圆.
(1)若直线过点且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)设平面上的点满足:存在过点的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点的坐标。
【答案】
(1)或
(2)或
【解析】
(1)设直线的方程为:,即
由垂径定理,得:圆心到直线的距离,
点到直线距离公式,得:
求直线的方程为:或,即或;
故有:,
化简得:
关于的方程有无穷多解,有:,或
解之得:点P坐标为或。
2、已知椭圆与抛物线共交点,抛物线上的点到轴的距离等于,且椭圆与抛物线的交点满足.
(1)求抛物线的方程和椭圆的方程;
(2)过抛物线上的点做抛物线的切线交椭圆于,两点,设线段的中点为,求的取值范围.
【答案】
(1),
(2)
(2)显然,,由,消去,得,
由题意知,得,
由,消去,得,
其中,化简得,
又,得,解得.
设,,则.
由,得.∴的取值范围是.
3、已知椭圆:的离心率,点,点 分别为椭圆的上顶点和左焦点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过定点的直线与椭圆交于两点(在之间)设直线的斜率,在
轴上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形为菱形?如果存在,求出的取值范围?如果不存在,请说明理由.
【答案】
(1) (2)
(Ⅱ)设直线的方程为,
设,则,
,
,
由于菱形对角线垂直,则,
解得,
即,,(当且仅当时,等号成立).
所以存在满足条件的实数,的取值范围为.
4、已知椭圆.
(1)若椭圆的离心率为,求的值;
(2)若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点,在轴上是否存在点,使得, 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1) (2)(-1,0)
5、在平面直角坐标系中,椭圆:的短轴长为,离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为椭圆的上顶点,点为轴正半轴上一点,过点作的垂线与椭圆交于另一点,若,求点的坐标.
【答案】
(1) (2)
【解析】
(1)因为椭圆的短轴长为,离心率为,
所以解得,所以椭圆的方程为.
在直角中,由,得,
所以,解得,所以点的坐标为.
6、已知点F是椭圆+y2=1(a>0)的右焦点,点M(m,0),N(0,n)分别是x轴,y轴上的动点,且满足·=0.若点P满足=2+(O为坐标原点).
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A,B两点,直线OA,OB与直线x=-a分别交于点S,T,试判断以线段ST为直径的圆是否经过点F?请说明理由.
【答案】
(1)y2=4ax (2)经过
【解析】
(1) ∵椭圆+y2=1(a>0)右焦点F的坐标为(a,0),
∴=(a,-n).∵=(-m,n),
∴由·=0,得n2+am=0.
设点P的坐标为(x,y),由=2+,有(m,0)=2(0,n)+(-x,-y),
代入n2+am=0,得y2=4ax.即点P的轨迹C的方程为y2=4ax.
解法二:①当AB⊥x时,A(a,2a),B(a,-2a),则lOA:y=2x,lOB:y=-2x.
由得点S的坐标为S(-a,-2a),则=(-2a,-2a).
由得点T的坐标为T(-a,2a),则=(-2a,2a).
∴·=(-2a)×(-2a)+(-2a)×2a=0.
②当AB不垂直x轴时,设直线AB的方程为y=k(x-a)(k≠0),A,B,
同解法一,得·=4a2+.
由得ky2-4ay-4ka2=0,∴y1y2=-4a2.
则·=4a2+=4a2-4a2=0.
因此,以线段ST为直径的圆经过点F.
7、如图,已知抛物线C:y2=x和⊙M:(x-4)2+y2=1,过抛物线C上一点H(x0,y0)
(y0≥1)作两条直线与⊙M分别相切于A、B两点,分别交抛物线于E、F两点.
(1)当∠AHB的角平分线垂直x轴时,求直线EF的斜率;
(2)若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值.
【答案】
(1)- (2)-11
法二:∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),
∴∠AHB=60°,可得kHA=,kHB=-,∴直线HA的方程为y=x-4+2,
联立方程组得y2-y-4+2=0,
∵yE+2=,∴yE=,xE=.
同理可得yF=,xF=,∴kEF=-.
(2)法一:
设点H(m2,m)(m≥1),HM2=m4-7m2+16,HA2=m4-7m2+15.
以H为圆心,HA为半径的圆方程为:(x-m2)2+(y-m)2=m4-7m2+15,①
⊙M方程:(x-4)2+y2=1.②
①-②得:直线AB的方程为(2x-m2-4)(4-m2)-(2y-m)m=m4-7m2+14.
当x=0时,直线AB在y轴上的截距t=4m-(m≥1),
∵t关于m的函数在[1,+∞)单调递增,∴tmin=-11.
法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵kMA=,∴kHA=,
可得,直线HA的方程为(4-x1)x-y1y+4x1-15=0,
同理,直线HB的方程为(4-x2)x-y2y+4x2-15=0,
∴(4-x1)y-y1y0+4x1-15=0,(4-x2)y-y2y0+4x2-15=0,
∴直线AB的方程为(4-y)x-y0y+4y-15=0,
令x=0,可得t=4y0-(y0≥1),
∵t关于y0的函数在[1,+∞)单调递增,∴tmin=-11.
8、已知椭圆的一个焦点,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线平行于直线(坐标原点),且与椭圆交于,两个不同的点,若为钝角,求直线在轴上的截距的取值范围.
【答案】
(1) (2)
(2)由直线平行于得直线的斜率为,又在轴上的截距,
故的方程为.
由得,又线与椭圆交于,两个不同的点,
设,,则,.
所以,于是.
为钝角等价于,且,则,
即,又,所以的取值范围为.
9、椭圆:()的离心率为,其左焦点到点的距离为.不过原点的直线与椭圆相交于、两点,且线段被直线平分.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 求的面积取最大时直线的方程.
【答案】
(1)
(2)
(2)易得直线的方程,设,,中点,其中,因为
在椭圆上,所以,,相减得,即
,
故,
,其中且.
令,则
,
令得,(因和不满足且,舍去)
当时,,当时,,所以,当时,取得最大值,此时直线的方程为.
10、已知抛物线的焦点为,抛物线上存在一点到焦点的距离等于.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点在抛物线上且异于原点,点为直线上的点,且.求直线与抛物线的交点个数,并说明理由.
【答案】(1) (2)1个
【解析】
(1)抛物线的准线方程为,
所以点到焦点的距离为.解得.
所以抛物线的方程为.
故直线的斜率 .
故直线的方程为,即.①
又抛物线的方程,②
联立消去得 ,故,且.
故直线与抛物线只有一个交点.
11、已知圆与轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(﹣2,﹣3)的直线上.
(1)求圆的方程;
(2)圆与圆:相交于M、N两点,求两圆的公共弦MN的长.
【答案】(1)(x﹣4)2+(y﹣3)2=16 (2)
【解析】
(1)经过点(2,1)与点(﹣2,﹣3)的直线方程为,
即y=x﹣1.
由题意可得,圆心在直线y=3上,
联立,解得圆心坐标为(4,3),
故圆C1的半径为4.
则圆C1的方程为(x﹣4)2+(y﹣3)2=16;
12、已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线与圆C相切.
(1)求圆C的方程;
(2)过点Q(0,-3)的直线与圆C交于不同的两点A、B,当时,求△AOB的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)设圆心为,
因为圆C与相切,
所以,
解得(舍去),
所以圆C的方程为
设,则, ①,
将①代入并整理得,
解得k = 1或k =-5(舍去),
所以直线l的方程为
圆心C到l的距离,
13、已知是椭圆C:上两点,点的坐标为.
(1)当两点关于轴对称,且为等边三角形时,求的长;
(2)当两点不关于轴对称时,证明:不可能为等边三角形.
【答案】(1) (2)见解析
⑵根据题意可知,直线AB斜率存在.
设直线AB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为N(x0,y0),联立
,消去y得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-9=0,
由△>0得2m2-9k2-6<0,① 所以x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2m=, 所以N(-,),又M(1, 0),
假设△MAB为等边三角形,则有MN⊥AB,所以kMN×k=-1,即×k=-1,
化简得3k2+2+km=0,② 由②得m=-,代入①得2-3(3k2+2)<0,
化简得3k2+4<0,矛盾,所以原假设不成立, 故△MAB不可能为等边三角形.
14、已知圆,点为圆上的一个动点,轴于点,且动点满足,设动点的轨迹为曲线.
(1)求动点的轨迹曲线的方程;
(2)若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点,
求线段长度的取值范围.
【答案】
(1) (2)
(2)当直线的斜率不存在时,因以为直径的圆过坐标原点,故可设直线为,联立解得 同理求得所以;
当直线的斜率存在时,设其方程为,设
联立,可得
由求根公式得(*)
∵以为直径的圆过坐标原点, 即
即化简可得,
将(*)代入可得,即 即,
又将代入,可得
∴当且仅当,即时等号成立.又由,,
;
综上,得.
15、如图,椭圆经过点A(0,-1),且离心率为。
(1)求椭圆E的方程;
(2)若经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的亮点P,Q(均异于点A),
证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值。
【答案】(1) (2)见解析
由已知,设则
从而直线的斜率之和为
16、如图,抛物线的焦点为,准线与x轴的交点为A,点C在抛物线E上,以C为圆心,为半径作圆,设圆C与准线交于不同的两点M,N.
(1)若点C的纵坐标为2,求;
(2)若,求圆C的半径.
【答案】(1)2 (2)
由x=-1,得.设,则
由,得,所以,解得,此时.
所以圆心C的坐标为或,从而,,即圆C的半径为.
17、已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上,圆心在直线上的圆与轴相切,且关于点对称.
(1)求和的标准方程;
(2)过点的直线与交于,与交于,求证:.
【答案】(1) (2)见解析
所以的标准方程为.因为与轴相切,故半径,所以的标准方程为.
所以.
所以,即.