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- 2021-06-10 发布
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数学试卷
一、单选题（共20题；共40分）
1.已知函数 ， 则 =（ ）
A. B. C. -8 D. 8
2.已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
3.已知全集U=N，,则（ ）
A. B. C. D.
4.已知集合M={x|y=ln（2﹣x）}，N={x|x2﹣3x﹣4≤0}，则M∩N=（ ）
A. [﹣1，2） B. [﹣1，2] C. [﹣4，1] D. [﹣1，4]
5.已知函数对任意 ， 都有 ， 若的图象关于直线x=1对称，且 ， 则 （ ）
A. 2 B. 3 C. -2 D. -3
6.函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
7.若集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A. {x|﹣1≤x＜3} B. {x|0＜x≤1} C. {x|1≤x＜3} D. {x|0≤x≤3}
8.设 ，则 等于（ ）
A. f（x） B. ﹣f（x） C. D.
9.已知集合A={x| ＜2x≤2}，B={x|ln（x﹣ ）≤0}，则A∩（∁RB）=（ ）
A. ∅ B. （﹣1， ] C. [ ，1） D. （﹣1，1]
10.已知集合A={x|ax2﹣5x+6=0}，若2∈A，则集合A的子集个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
11.函数y=（ ）|x|的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
12.设a=1，b=0.35 ， c=50.3 ， 则下列不等式中正确的是（ ）
A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. c＞a＞b D. a＞c＞b
13.已知函效f（x）= ，则下列结论正确的是（ ）
A. f（x）有极值 B. f（x）有零点 C. f（x）是奇函数 D. f（x）是增函数
14.下列函数在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A. y=﹣ B. y= C. y=log2|x| D. y=﹣
15.函数 的图象可能是
A. B.
C. D.
16.已知函数 的图象关于点 对称，且当 时， 成立（其中 是 的导函数），若 ， ，
，则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
17.若集合P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则{x|x＜4}=（ ）
A. Q∪P B. P∩Q C. P∪CRQ D. Q∪CRP
18.设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， .若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
19.函数 ，若函数 三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
20.函数的单调递减区间是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题（共10题；共10分）
21.集合{1，3，4}共有________个子集．
22.已知f（x）= 是（﹣∞，+∞）上的增函数，则实数a的取值范围是________．
23.若函数 的定义域为 ，则 的取值范围为________.
24.计算： =________．
25.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1 ， 有以下结论：
①2是函数f（x）的一个周期；
②函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增；
③函数f（x）的最大值为1，最小值为0；
④当x∈（3，4）时，f（x）=23﹣x ．
其中，正确结论的序号是________．（请写出所有正确结论的序号）
26.某同学在研究函数 f（x）= （x∈R） 时，分别给出下面几个结论：
①等式f（-x）=-f（x）在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（-1，1）；
③若x1≠x2 ， 则一定有f（x1）≠f（x2）；
④方程f（x）=x在R上有三个根．
其中正确结论的序号有________．（请将你认为正确的结论的序号都填上）
27.函数f（x）=（ ）|x﹣1|+2cosπx（﹣4≤x≤6）的所有零点之和为________．
28.已知 满足 当 时， 若函数 在 内有2个零点，则实数 的取值范围是________.
29.设函数 ， ，若函数 恰有三个零点 ，则 的取值范围是________．
30.设集合 ， ．记 为同时满足下列条件的集合 的个数：
① ；②若 ，则 ；③若 ，则 ．
则（ ） ________；
（ ） 的解析式（用 表示） ________．
三、解答题（共4题；共50分）
31.已知A={x|x2+px﹣2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∪B={﹣2，1，5}，A∩B={﹣2}，则p，q，r的值．
32.已知函数f（x）=lnx﹣x， ．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若关于x的不等式xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b的值．
33.已知函数 ，
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在区间 上有1个零点，求实数 的取值范围；
（3）是否存在正整数 ，使得 在 上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．
34.已知函数 对任意实数 ， 恒有 ，且当 ， ，又 .
（1）判断 的奇偶性；
（2）求 在区间 上的最大值；
（3）是否存在实数 ，使得不等式 对一切 都成立？若存在求出 ；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
2.【答案】 D
3.【答案】 D
4.【答案】A
5.【答案】 A
6.【答案】 D
7.【答案】 A
8.【答案】B
9.【答案】 B
10.【答案】A
11.【答案】 C
12.【答案】 C
13.【答案】 D
14.【答案】 C
15.【答案】 A
16.【答案】C
17.【答案】A
18.【答案】 D
19.【答案】D
20.【答案】 D
二、填空题
21.【答案】8
22.【答案】（1，5）
23.【答案】
24.【答案】70
25.【答案】①②④
26.【答案】 ①②③
27.【答案】10
28.【答案】
29.【答案】
30.【答案】4；
三、解答题
31.【答案】解：由A∩B={﹣2}可知x=﹣2为x2﹣px﹣2=0和x2+qx+r=0的解， 代入求得p=﹣1，4﹣2q+r=0①．
把p=﹣1代入到x2﹣px﹣2=0中解得x=﹣2，x=1．
又因为A∪B={﹣2，1，5}，
可知5为x2+qx+r=0的解，
代入得25+5q+r=0②；
将①②联立求得q=﹣3，r=﹣10，
综上所述：p=﹣1，q=﹣3，r=﹣10．
32.【答案】 （1）解：因为 ，所以 ，
由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，
所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞），
所以当x=e时，h（x）取得最大值 ；
（2）因为xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
即xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
亦即 对一切x∈（0，+∞）恒成立，
设 ，因为 ，
故ϕ（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，ϕ（x）min=ϕ（3）=7+ln3，
所以a≤7+ln3．
（3）因为方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，
即lnx﹣x﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，即 恰有一解，
由（1）知，h（x）在x=e时， ，
而函数k（x）=x2﹣2ex+b+1在（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，
故x=e时，k（x）min=b+1﹣e2 ，
故方程 =x2﹣2ex+b+1恰有一解当且仅当b+1﹣e2= ，
即b=e2+ ﹣1；
33.【答案】 （1）解：当 时， ， ．
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
∴ 的单调增区间为 ，单调减区间为 ．
（2）解： ，
当 时，由 ，知 ，
所以， 在 上是单调增函数，且图象不间断，
又 ，∴当 时， ，
∴函数 在区间 上没有零点，不合题意．
当 时，由 ，解得 ，
若 ，则 ，故 在 上是单调减函数，
若 ，则 ，故 在 上是单调增函数，
∴当 时， ，
又∵ ， 在 上的图象不间断，
∴函数 在区间 上有1个零点，符合题意．
综上所述， 的取值范围为 ．
（3）解：假设存在正整数 ，使得 在 上恒成立，
则由 知 ，从而 对 恒成立（*）
记 ，得 ，
设 ， ，
∴ 在 是单调增函数，
又 在 上图象是不间断的，
∴存在唯一的实数 ，使得 ，
∴当 时， 在 上递减，
当 时， 在 上递增，
∴当 时， 有极小值，即为最小值， ，
又 ，∴ ，∴ ，
由（*）知， ，又 ， ，∴ 的最大值为3，
即存在最大的正整数 ，使得 在 上恒成立．
34.【答案】 （1）解：依题意，函数 对任意实数 ， 恒有 .
令 ，得 ，解得 .
令 ，得 ，即 ，故函数 为奇函数.
（2）解：任取 ，即 ，即 ，所以 在 上递减.所以 在区间 上的最大值为
（3）解：由（1）（2）知 是在 上递减的奇函数，故由 得 ，即 ，即 ，对对一切 都成立，所以 ，即 ，解得 .
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