2021版高考数学一轮复习核心素养测评四十三利用空间向量证明空间中的位置关系新人教B版 0 9页

核心素养测评四十三 利用空间向量证明空间中的位置关系 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,1,1),‎ 则 (　　)‎ A.l∥α B.l⊥α ‎ C.l⊂α或l∥α D.l与α斜交 ‎【解析】选C.因为a=(1,0,2),n=(-2,1,1),‎ 所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l⊂α.‎ ‎2.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为 (　　)‎ A.-1,2 B.1,-2‎ C.1,2 D.-1,-2‎ ‎【解析】选A.由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),故a·c=3m+n+1=0,b·c=m+5n-9=0.解得m=-1,n=2.‎ ‎3.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是 (　　)‎ A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1)‎ C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4)‎ ‎【解析】选A. 逐一验证法,对于选项A,=(1,4,1),所以·n=6-12+6=0,所以⊥n,所以点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.‎ ‎4.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则: ‎ ‎①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;‎ ‎③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.‎ 9‎ 以上说法正确的个数为 (　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解析】选C.=+=+,=+=+,所以∥,所以A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.①③④正确.‎ ‎5.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有 (　　)‎ A.B1E=EB B.B1E=2EB C.B1E=EB D.E与B重合 ‎【解析】选A.分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,‎ 则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),‎ 设E(2,2,z),则=(0,1,-2),=(2,2,z),因为·=0×2+1×2-2z=0,所以z=1,所以B1E=EB.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=________. ‎ ‎【解析】 =1,-3,-,=-2,-1,-,‎ a·=0,a·=0,x∶y∶z 9‎ ‎=y∶y∶-y=2∶3∶(-4).‎ 答案: 2∶3∶(-4)‎ ‎7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是________. ‎ ‎【解析】以A为原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,‎ 则A(0,0,0),M,O,N,0,1,·=0,1,·0,-,1=0,‎ 所以ON与AM垂直.‎ 答案:垂直 ‎8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和的值为________.  ‎ ‎【解析】以D1A1,D1C1,D1D分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,‎ 则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),‎ B(1,1,1),所以=(x-1,0,1),=(1,1,y),因为B1E⊥平面ABF,所以·=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0,‎ 所以x+y=1.‎ 答案:1‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ 9‎ ‎9.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.‎ 求证:(1)AM∥平面BDE. ‎ ‎(2)AM⊥平面BDF.‎ ‎【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 设AC∩BD=N,连接NE.则N,,0,‎ E(0,0,1),A(,,0),M,,1,‎ 所以=-,-,1,=-,-,1.‎ 所以=且NE与AM不共线.所以NE∥AM.‎ 又因为NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,‎ 所以AM∥平面BDE.‎ ‎(2)由(1)知=-,-,1,‎ 因为D(,0,0),F(,,1),所以=(0,,1)‎ 所以·=0,所以AM⊥DF.同理AM⊥BF.‎ 又DF∩BF=F,所以AM⊥平面BDF.‎ ‎10.如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,‎ AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD. ‎ 证明:‎ ‎(1)PA⊥BD.(2)平面PAD⊥平面PAB.‎ 9‎ ‎【证明】(1)取BC的中点O,连接PO,‎ 因为平面PBC⊥底面ABCD,△PBC为等边三角形,‎ 平面PBC∩底面ABCD=BC,PO⊂平面PBC,‎ 所以PO⊥底面ABCD.‎ 以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.‎ 不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=,‎ 所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),‎ P(0,0,),‎ 所以=(-2,-1,0),=(1,-2,-).‎ 因为·=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0,‎ 所以⊥,所以PA⊥BD.‎ ‎(2)取PA的中点M,连接DM,则M,-1,.‎ 因为=,0,,=(1,0,-),‎ 所以·=×1+0×0+×(-)=0,‎ 所以⊥,即DM⊥PB.‎ 因为·=×1+0×(-2)+×(-)=0,所以⊥,即DM⊥PA.又因为PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,所以DM⊥平面PAB.因为DM⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.‎ ‎(15分钟　35分)‎ 9‎ ‎1.(5分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为 (　　)‎ A.a B.a C.a D.a ‎【解析】选A.以D为原点建立如图所示的空间 直角坐标系,则A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,a,.‎ 设M(x,y,z),‎ 因为点M在AC1上且=,‎ 所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),‎ 所以x=a,y=,z=,得M,,,‎ 所以||=‎ ‎=a.‎ ‎2.(5分)(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).下列结论正确的是 (　　)‎ A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的法向量 9‎ D.∥‎ ‎【解析】选ABC.因为·=0,·=0,所以AB⊥AP,AD⊥AP,则AB正确.‎ 又与不平行,所以是平面ABCD的法向量,则C正确.‎ 由于=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),所以与不平行,故D错误.‎ ‎3.(5分)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是________. ‎ ‎【解析】设平面α的法向量为m=(x,y,z),‎ 由m·=0,得x·0+y-z=0⇒y=z,‎ 由m·=0,得x-z=0⇒x=z,取x=1,所以m=(1,1,1),m=-n,所以m∥n,‎ 所以α∥β.‎ 答案:α∥β ‎4.(10分)如图所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,‎ ‎∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证: ‎ ‎(1)DE∥平面ABC.(2)B1F⊥平面AEF.‎ ‎【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),‎ B(4,0,0),B1(4,0,4).取AB的中点N,连接CN,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),‎ 所以=(-2,4,0),=(-2,4,0),‎ 9‎ 所以=,所以DE∥NC,‎ 又因为NC⊂平面ABC,DE⊄平面ABC.‎ 故DE∥平面ABC.‎ ‎(2)由(1)知=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0).‎ ‎·=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,·=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.‎ 所以⊥,⊥,即B1F⊥EF,B1F⊥AF,又因为AF∩FE=F,所以B1F⊥平面AEF.‎ ‎5.(10分)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.‎ ‎(1)求证:EF⊥CD. ‎ ‎(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.‎ ‎【解析】(1)如图,‎ 以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0)、‎ A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、Ea,,0、‎ P(0,0,a)、F,,.‎ ‎=-,0,,=(0,a,0).‎ 因为·=0,所以⊥,即EF⊥CD.‎ ‎(2)设G(x,0,z),则=x-,-,z-,‎ 若使GF⊥平面PCB,则由 ‎·=x-,-,z-·(a,0,0)‎ 9‎ ‎=ax-=0,得x=;‎ 由·=x-,-,z-·(0,-a,a)=+az-=0,得z=0.‎ 所以G点坐标为,0,0,‎ 即G点为AD的中点.‎ 9‎