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  • 2021-06-10 发布

专题10 数列、等差数列﹑等比数列(仿真押题)-2017年高考数学(理)命题猜想与仿真押题

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专题10 数列、等差数列﹑等比数列(仿真押题)‎ ‎2017年高考数学(理)命题猜想与仿真押题 ‎1.在数列{an}中,已知a1+a2+…+an=2n-1,则a+a+…+a等于(  )‎ A.(2n-1)2        B. C.4n-1 D. ‎2.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=(  )‎ A.1+ B.1- C.3+2 D.3-2 解析:∵a1,a3,2a2成等差数列,∴a3×2=a1+2a2,即a1q2=a1+2a1q,∴q2=1+2q,解得q=1+或q=1-(舍),∴==q2=(1+)2=3+2.‎ 答案:C ‎3.设等比数列{an}的前6项和S6=6,且1-为a1,a3的等差中项,则a7+a8+a9=(  )‎ A.-2 B.8‎ C.10 D.14‎ 解析:依题意得a1+a3=2-a2,即S3=a1+a2+a3=2,数列S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即数列2,4,S9-6成等比数列,于是有S9-S6=8,即a7+a8+a9=8,选B.‎ 答案:B ‎4.已知数列{an}的首项a1=2,数列{bn}为等比数列,且bn=,若b10b11=2,则a21=(  )‎ A.29 B.210‎ C.211 D.212‎ 解析:由bn=,且a1=2,得b1==,a2=2b1;b2=,a3=a2b2=2b1b2;b3=,a4=a3b3=2b1b2b3;…;an=2b1b2b3…bn-1,∴a21=2b1b2b3…b20,又{bn}为等比数列,∴a21=2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)=2(b10b11)10=211.‎ 答案:C ‎5.已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则等于(  )‎ A.4 B.6‎ C.8 D.10‎ 解析:设数列{an}的公差为d,则S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,故(2a1+d)2=a1(4a1+6d),整理得d=2a1,所以===8,选C.‎ 答案:C ‎6.在数列{an}中,若a1=2,且对任意正整数m,k,总有am+k=am+ak,则{an}的前n项和Sn=(  )‎ A.n(3n-1) B. C.n(n+1) D. ‎7.在等差数列{an}中,a1+3a3+a15=10,则a5的值为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 解析 设数列{an}的公差为d,‎ ‎∵a1+a15=2a8,∴2a8+3a3=10,‎ ‎∴2(a5+3d)+3(a5-2d)=10,‎ ‎∴5a5=10,∴a5=2.‎ 答案 A ‎8.等比数列{an}的前n项和为Sn,若2S4=S5+S6,则数列{an}的公比q的值为(  )‎ A.-2或1 B.-1或2 C.-2 D.1‎ 解析 法一 若q=1,则S4=4a1,S5=5a1,S6=6a1,‎ 显然不满足2S4=S5+S6,故A、D错.‎ 若q=-1,则S4=S6=0,S5=a5≠0,‎ 不满足条件,故B错,因此选C.‎ 法二 经检验q=1不适合,‎ 则由2S4=S5+S6,‎ 得2(1-q4)=1-q5+1-q6,化简得 q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.‎ 答案 C ‎9.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为(  )‎ A.-110 B.-90 C.90 D.110‎ ‎10.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn等于(  )‎ A.n(n+1) B.n(n-1)‎ C. D. 解析 由a2,a4,a8成等比数列,得a=a2a8,‎ 即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),∴a1=2.‎ ‎∴Sn=2n+×2=2n+n2-n=n(n+1).‎ 答案 A ‎11.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 解析 由等差数列的前n项和及等差中项,‎ 可得= ‎== ‎== ‎==7+ (n∈N*),‎ 故n=1,2,3,5,11时,为整数.‎ 即正整数n的个数是5. ‎ 答案 D ‎12.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大.‎ 解析 根据题意知a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0.又a8+a9=a7+a10<0,∴a9<0,∴当n=8时,{an}的前n项和最大.‎ 答案 8‎ ‎13.在等比数列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15=________.‎ 答案 3‎ ‎14.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1 (n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q=________.‎ 解析 由题意知,数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,说明{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由于{an}中连续四项至少有一项为负,∴q<0,又∵|q|>1,∴{an}的连续四项为-24,36,-54,81,∴q==-,∴6q=-9.‎ 答案 .-9‎ ‎15.公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1,ak2,ak3,…构成等比数列,且k1=1,k2=2,k3=6,则k4=________.‎ 答案 22‎ 解析 根据题意可知等差数列的a1,a2,a6项成等比数列,设等差数列的公差为d,则有(a1+d)2=a1(a1+5d),解得d=3a1,故a2=4a1,a6=16a1⇒ak4=a1+(n-1)·(3a1)=64a1,解得n=22,即k4=22.‎ ‎16.设函数f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1,f(0)=,数列{an}满足f(1)=n2an(n∈N*),则数列{an ‎}的通项公式为________.‎ 答案 an= ‎17.若f(n)为n2+1(n∈N*)的各位数字之和,如62+1=37,f(6)=3+7=10,f1(n)=f(n),f2(n)=f(f1(n)),…,fk+1(n)=f(fk(n)),k∈N*,则f2016(4)=________.‎ 答案 5‎ 解析 因为42+1=17,f(4)=1+7=8,‎ 则f1(4)=f(4)=8,f2(4)=f(f1(4))=f(8)=11,‎ f3(4)=f(f2(4))=f(11)=5,‎ f4(4)=f(f3(4))=f(5)=8,…,‎ 所以fk+1(n)=f(fk(n))为周期数列.‎ 可得f2016(4)=5.‎ ‎18.数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=2n+5,则an=__________.‎ 答案 an= 解析 ∵a1+a2+…+an=2n+5.①‎ ‎∴a1+a2+…+an-1=2(n-1)+5.②‎ 由①-②得an=2,∴an=2n+1 (n≥2).‎ 又∵a1=2+5,∴a1=14.‎ ‎∴an= ‎19.对于正项数列{an},定义Hn=为{an}的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为Hn=,则数列{an}的通项公式为________.‎ 答案 an= 解析 由Hn=可得 a1+2a2+3a3+…+nan==,①‎ a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=,②‎ ‎①-②得nan=-=,‎ 所以an=.‎ ‎20.已知数列{an}满足a1=且an+1=an-a(n∈N*).‎ ‎(1) 证明:1≤≤2(n∈N*);‎ ‎(2)设数列{a}的前n项和为Sn,证明:≤≤(n∈N*).‎ 证明 (1)由题意得an+1-an=-a≤0,即an+1≤an,故an≤.‎ 由an=(1-an-1)an-1得 an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.‎ 由0<an≤得 ==∈(1,2],‎ 即1≤≤2成立.‎ ‎(2)由题意得a=an-an+1,‎ 所以Sn=a1-an+1,①‎ 由-=和1≤≤2得 ‎1≤-≤2,‎ 所以n≤-≤2n,‎ 因此≤an+1≤(n∈N*).②‎ 由①②得≤≤(n∈N*).‎ ‎21.已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和.‎ ‎22.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列.‎ ‎(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.‎ 依题意,得a-d+a+a+d=15.‎ 解得a=5.‎ 所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.‎ 依题意,有(7-d)(18+d)=100,‎ 解得d=2或d=-13(舍去).‎ 故{bn}的第3项为5,公比为2.‎ 由b3=b1·22,即5=b1·22,‎ 解得b1=.‎ 所以bn=b1·qn-1=·2n-1=5·2n-3,‎ 即数列{bn}的通项公式bn=5·2n-3.‎ ‎23.在公差不为零的等差数列{an}中,已知a1=1,且a1,a2,a5依次成等比数列.数列{bn}满足bn+1=2bn-1,且b1=3.‎ ‎(1)求{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设数列的前n项和为Sn,试比较Sn与1-的大小.‎ 解析:(1)设数列{an}的公差为d.‎ 因为a1=1,且a1,a2,a5依次成等比数列,‎ 所以a=a1·a5,即(1+d)2=1·(1+4d),‎ 所以d2-2d=0,解得d=2(d=0不合要求,舍去).‎ 所以an=1+2(n-1)=2n-1.‎ 因为bn+1=2bn-1,所以bn+1-1=2(bn-1).‎ 所以{bn-1}是首项为b1-1=2,公比为2的等比数列.‎ 所以bn-1=2×2n-1=2n.‎ 所以bn=2n+1.‎

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