专题10 数列、等差数列﹑等比数列（仿真押题）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 11页

专题10 数列、等差数列﹑等比数列（仿真押题）‎ ‎2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 ‎1．在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于(　　)‎ A．(2n－1)2　　　　　　　 B. C．4n－1 D. ‎2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝(　　)‎ A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2 解析：∵a1，a3,2a2成等差数列，∴a3×2＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，∴q2＝1＋2q，解得q＝1＋或q＝1－(舍)，∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.‎ 答案：C ‎3．设等比数列{an}的前6项和S6＝6，且1－为a1，a3的等差中项，则a7＋a8＋a9＝(　　)‎ A．－2 B．8‎ C．10 D．14‎ 解析：依题意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2，数列S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即数列2,4，S9－6成等比数列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8，选B.‎ 答案：B ‎4．已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝，若b10b11＝2，则a21＝(　　)‎ A．29 B．210‎ C．211 D．212‎ 解析：由bn＝，且a1＝2，得b1＝＝，a2＝2b1；b2＝，a3＝a2b2＝2b1b2；b3＝，a4＝a3b3＝2b1b2b3；…；an＝2b1b2b3…bn－1，∴a21＝2b1b2b3…b20，又{bn}为等比数列，∴a21＝2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝2(b10b11)10＝211.‎ 答案：C ‎5．已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于(　　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．10‎ 解析：设数列{an}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，故(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得d＝2a1，所以＝＝＝8，选C.‎ 答案：C ‎6．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝(　　)‎ A．n(3n－1) B. C．n(n＋1) D. ‎7.在等差数列{an}中，a1＋3a3＋a15＝10，则a5的值为(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 解析　设数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a1＋a15＝2a8，∴2a8＋3a3＝10，‎ ‎∴2(a5＋3d)＋3(a5－2d)＝10，‎ ‎∴5a5＝10，∴a5＝2.‎ 答案　A ‎8.等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为(　　)‎ A.－2或1 B.－1或2 C.－2 D.1‎ 解析　法一　若q＝1，则S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1，‎ 显然不满足2S4＝S5＋S6，故A、D错.‎ 若q＝－1，则S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，‎ 不满足条件，故B错，因此选C.‎ 法二　经检验q＝1不适合，‎ 则由2S4＝S5＋S6，‎ 得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得 q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.‎ 答案　C ‎9.已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为(　　)‎ A.－110 B.－90 C.90 D.110‎ ‎10.等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于(　　)‎ A.n(n＋1) B.n(n－1)‎ C. D. 解析　由a2，a4，a8成等比数列，得a＝a2a8，‎ 即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.‎ ‎∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1).‎ 答案　A ‎11.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 解析 由等差数列的前n项和及等差中项，‎ 可得＝ ‎＝＝ ‎＝＝ ‎＝＝7＋ (n∈N*)，‎ 故n＝1,2,3,5,11时，为整数.‎ 即正整数n的个数是5. ‎ 答案 D ‎12.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.‎ 解析　根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8＞0，即a8＞0.又a8＋a9＝a7＋a10＜0，∴a9＜0，∴当n＝8时，{an}的前n项和最大.‎ 答案　8‎ ‎13.在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.‎ 答案　3‎ ‎14.设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1 (n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.‎ 解析　由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0，又∵|q|>1，∴{an}的连续四项为－24,36，－54，81，∴q＝＝－，∴6q＝－9.‎ 答案　.－9‎ ‎15.公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，…构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________.‎ 答案 22‎ 解析　根据题意可知等差数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1⇒ak4＝a1＋(n－1)·(3a1)＝64a1，解得n＝22，即k4＝22.‎ ‎16.设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，则数列{an ‎}的通项公式为________.‎ 答案 an＝ ‎17.若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，则f2016(4)＝________.‎ 答案 5‎ 解析　因为42＋1＝17，f(4)＝1＋7＝8，‎ 则f1(4)＝f(4)＝8，f2(4)＝f(f1(4))＝f(8)＝11，‎ f3(4)＝f(f2(4))＝f(11)＝5，‎ f4(4)＝f(f3(4))＝f(5)＝8，…，‎ 所以fk＋1(n)＝f(fk(n))为周期数列.‎ 可得f2016(4)＝5.‎ ‎18.数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则an＝__________.‎ 答案 an＝ 解析　∵a1＋a2＋…＋an＝2n＋5.①‎ ‎∴a1＋a2＋…＋an－1＝2(n－1)＋5.②‎ 由①－②得an＝2，∴an＝2n＋1 (n≥2).‎ 又∵a1＝2＋5，∴a1＝14.‎ ‎∴an＝ ‎19.对于正项数列{an}，定义Hn＝为{an}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn＝，则数列{an}的通项公式为________.‎ 答案 an＝ 解析　由Hn＝可得 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝＝，①‎ a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝，②‎ ‎①－②得nan＝－＝，‎ 所以an＝.‎ ‎20.已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*).‎ ‎(1) 证明：1≤≤2(n∈N*)；‎ ‎(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：≤≤(n∈N*).‎ 证明　(1)由题意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，故an≤.‎ 由an＝(1－an－1)an－1得 an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1＞0.‎ 由0＜an≤得 ＝＝∈(1,2]，‎ 即1≤≤2成立.‎ ‎(2)由题意得a＝an－an＋1，‎ 所以Sn＝a1－an＋1，①‎ 由－＝和1≤≤2得 ‎1≤－≤2，‎ 所以n≤－≤2n，‎ 因此≤an＋1≤(n∈N*).②‎ 由①②得≤≤(n∈N*).‎ ‎21.已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和.‎ ‎22.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列.‎ ‎(1)解　设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.‎ 依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15.‎ 解得a＝5.‎ 所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d.‎ 依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，‎ 解得d＝2或d＝－13(舍去).‎ 故{bn}的第3项为5，公比为2.‎ 由b3＝b1·22，即5＝b1·22，‎ 解得b1＝.‎ 所以bn＝b1·qn－1＝·2n－1＝5·2n－3，‎ 即数列{bn}的通项公式bn＝5·2n－3.‎ ‎23．在公差不为零的等差数列{an}中，已知a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列．数列{bn}满足bn＋1＝2bn－1，且b1＝3.‎ ‎(1)求{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设数列的前n项和为Sn，试比较Sn与1－的大小．‎ 解析：(1)设数列{an}的公差为d.‎ 因为a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列，‎ 所以a＝a1·a5，即(1＋d)2＝1·(1＋4d)，‎ 所以d2－2d＝0，解得d＝2(d＝0不合要求，舍去)．‎ 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.‎ 因为bn＋1＝2bn－1，所以bn＋1－1＝2(bn－1)．‎ 所以{bn－1}是首项为b1－1＝2，公比为2的等比数列．‎ 所以bn－1＝2×2n－1＝2n.‎ 所以bn＝2n＋1.‎