2019届二轮复习小题对点练5　立体几何(1)作业（全国通用） 9页

小题对点练(五)　立体几何(1) (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1．如图 2，四棱锥 P­ABCD 中，M，N 分别为 AC，PC 上的点，且 MN∥平 面 PAD，则(　　) 图 2 A. MN∥PD　　　　　　　　 B. MN∥PA C. MN∥AD D. 以上均有可能 B　[因为 MN∥平面 PAD，平面 PAC∩平面 PAD＝PA，MN⊂平面 PAC， 所以 MN∥PA.故选 B.] 2．(2018·成都模拟)一个棱锥的三视图如图 3 所示，其中侧视图为边长为 1 的正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是(　　) 图 3 A. 3 4 　　 　B．1　　 　C. 2　　 　D. 7 4 D　[由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为 ABCD 为边长为 1 的正方形， △PAD 是边长为 1 的等边三角形，PO 垂直于 AD 于点 O，其中 O 为 AD 的中点， 由四棱锥的直观图可知，四棱锥侧面中最大侧面是△PBC，PB＝PC＝ 2，BC＝ 1，面积是1 2 ×1× 2－1 4 ＝ 7 4 .] 3．设 α，β 是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是(　　) A．若 l⊥α，α⊥β，则 l⊂β B．若 l⊥α，α∥β，则 l⊥β C．若 l∥α，α∥β，则 l⊂β D．若 l∥α，α⊥β，则 l⊥β B　[若 l⊥α，α⊥β，则 l⊂β 或 l∥β，故 A 错误； 若 l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得 l⊥β，故 B 正确； 若 l∥α，α∥β，则 l⊂β 或 l∥β，故 C 错误； 若 l∥α，α⊥β，则 l⊥β 或 l∥β 或 l⊂β，故 D 错误；故选 B.] 4．在正四棱柱 ABCD­A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝4，则点 A1 到平面 AB1D1 的 距离是(　　) A．1 B.4 3 C.16 9 D．2 B　[设点 A1 到平面 AB1D1 的距离为 h，因为 VA1­AB1D1＝VA­A1B1D1，所以 1 3 S△AB1D1h ＝ 1 3S△A1B1D1×AA1 ， 所 以 h ＝ S △ A1B1D1 × AA1 S △ AB1D1 ＝ 1 2 × 2 × 2 × 4 1 2 × 2 2 × 42＋22－( 2)2 ＝4 3 ，故选 B.] 5．(2018·大庆实验中学模拟)四棱锥 P­ABCD 的三视图如图 4 所示，四棱锥 P­ABCD 的五个顶点都在一个球面上， E，F 分别是棱 AB，CD 的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2，则该球的表面积为(　　) 图 4 A. 12π B. 24π C. 36π D. 48π A　[四棱锥 P­ABCD 中 PA⊥面 ABCD，且 ABCD 为正方形，球心为 PC 中 点，因为 PA＝AB＝a，PC＝ 3a＝2R，所以 R2＝(a 2 )2＋( 2)2⇒R2＝( R 3 )2＋ ( 2)2⇒R2＝3，∴S＝4πR2＝12π，选 A.] 6．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何 体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相 等．已知某不规则几何体与如图 5 所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几 何体的体积为(　　) 图 5 A.16 5 B.32 5 C．3 D．6 B　[由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等， 图示几何体是一个三棱锥，其直观图如下图： 其底面是底和高分别为 5，12 5 的三角形，高为 42－(12 5 )2＝16 5 ，则该三棱 锥的体积为 V＝1 3 ×1 2 ×5×12 5 ×16 5 ＝32 5 ，从而该不规则几何体的体积为32 5 .] 7．已知△ABC 的三个顶点在以 O 为球心的球面上，且 AB＝2，AC＝4，BC ＝2 5，三棱锥 O­ABC 的体积为8 3 ， 则球 O 的表面积为(　　) A. 22π B.74π 3 C. 24π D. 36π D　[△ABC 中，AB＝2，AC＝4，BC＝2 5，由勾股定理可知斜边 BC 中点 O′ 就 是 △ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 ， ∵ 三 棱 锥 O­ABC 的 体 积 为8 3 ， ∴1 3 ×1 2 ×2×4×OO′＝8 3 ， ∴OO′＝2，球的半径 R＝ 22＋( 5)2＝3，所以球 O 的表面积为 4πR2＝ 4π×9＝36π.故选 D.] 8．已知在四棱锥 P­ABCD 中，ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，则在四棱 锥 P­ABCD 的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有(　　) A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对 C　[因为 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD， BD⊥PA，AD⊥PB.共 5 对．] 9．某几何体的三视图如图 6 所示，记 A 为此几何体所有棱的长度构成的集 合，则(　　) 图 6 A．3∈A B．5∈A C．2 6∈A D．4 3∈A D　[由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为 4 的正 方形，AF⊥平面 ABCD，AF∥DE，AF＝2，DE＝4，可求得 BE 的长为 4 3，BF 的长为 2 5，EF 的长为 2 5，EC 的长为 4 2，故选 D.] 10．在四棱锥 P­ABCD 中，四条侧棱长均为 2，底面 ABCD 为正方形，E 为 PC 的中点．若异面直线 PA 与 BE 所成的角为 45°，则该四棱锥的体积是(　　) A．4 B．2 3 C.4 3 D.2 3 3 D　[连接 AC 和 BD 相交于点 O，连接 OE(图略)，则 OE∥PA，则∠OEB＝ 45°，又∠EOB＝90°，则 BO＝OE＝1，底面正方形的边长为 2，四棱锥的高为 3，则体积为1 3 ×( 2)2× 3＝2 3 3 ，故选 D.] 11．如图 7，在正四棱锥 S­ABCD 中，E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中 点．动点 P 在线段 MN 上运动时，下列四个结论： 图 7 ①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面 SBD；④EP⊥平面 SAC， 其中恒成立的为(　　) A．①③ B．③④ C．①② D．②③④ A　[如图所示，设 AC、BD 相交于点 O，连接 SO，EM，EN. 对于①，由 S­ABCD 是正四棱锥，可得 SO⊥底面 ABCD，AC⊥BD，∵AC⊂ 平面 ABCD，∴SO⊥AC.∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面 SBD，∵E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而 EM∩MN＝M，SD∩BD＝D， SD，BD⊂平面 SBD，MN，EM⊂平面 EMN，∴平面 EMN∥平面 SBD，∴AC⊥ 平面 EMN，∵EP⊂平面 EMN，∴AC⊥EP.故①正确． 对于②，易知 EP 与 BD 是异面直线，因此②不正确． 对于③，由①可知平面 EMN∥平面 SBD， ∵EP⊂平面 EMN，∴EP∥平面 SBD，因此③正确． 对于④，由①同理可得 EM⊥平面 SAC，若 EP⊥平面 SAC，则 EP∥EM， 与 EP∩EM＝E 相矛盾，因此当 P 与 M 不重合时，EP 与平面 SAC 不垂直．即④ 不正确．故选 A.] 12．如图 8，在△ABC 中，AB＝BC＝ 6，∠ABC＝90°，点 D 为 AC 的中 点，将△ABD 沿 BD 折起到△PBD 的位置，使 PC＝PD，连接 PC，得到三棱锥 P­BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是(　　) 图 8 A. 7π B. 5π C. 3π D. π A　[依题意可得该三棱锥的面 PCD 是边长为 3的正三角形，且 BD⊥平面 PCD，设三棱锥 P­BDC 外接球的球心为 O，△PCD 外接圆的圆心为 O1，则 OO1⊥ 平面 PCD，所以四边形 OO1DB 为直角梯形，由 BD＝ 3，O1D＝1，及 OB＝ OD，可得 OB＝ 7 2 ，则外接球的半径 R＝ 7 2 .所以该球的表面积 S 球＝4πR2＝ 7π.] 二、填空题 13．某三棱锥的三视图如图 9 所示，则该三棱锥的全面积是________． 图 9 4＋2 6　[三棱锥的直观图如图所示：由三视图可知 PO⊥平面 ABC，OC⊥ 平面 PAB，且 OP＝OC＝2，OB＝OA＝1，∴PA＝PB＝ PO2＋OA2＝ 5，AC＝ BC＝ OB2＋OC2＝ 5，PC＝ PO2＋OC2＝2 2，∴S△PAB＝S△CAB＝2，S△PAC＝ S△PBC＝ 6，∴全面积为 4＋2 6.] 14．如图 10①所示，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱 锥形实心装饰块，容器内盛有 a(L)水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 P.如果 将容器倒置，水面也恰好过点 P(如图 10②所示)．有下列四个命题： ①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半； ②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 P； 　　　　图 10①　　　　　　　图 10② ③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 P； ④ 若 往 容 器 内 再 注 入 a(L) 水 ， 则 容 器 恰 好 能 装 满 ． 其 中 真 命 题 是 ________． ②④　[易知所盛水的体积为容器容积的一半，故④正确，于是①错误；水 平放置时由容器形状的对称性知水面经过点 P，故②正确；③的错误可这样推出： 将图①中容器的位置向右边倾斜一些，可推知点 P 将露出水面．] 15．如图 11，三棱柱 ABC­A1B1C1 的各条棱长都是 2，且顶点 A1 在底面 ABC 上的射影 O 为△ABC 的中心，则三棱锥 A1­ABC 的体积为________． 图 11 1 3 　[由题意可知，底面三角形 ABC 为正三角形， 由 O 为△ABC 的中心，可知 O 为△ABC 的外心， 则 OA 为底面高的2 3 ， ∵底面三角形的边长为 2， ∴底面三角形的高为 ( 2)2－( 2 2 )2＝ 6 2 ， ∴OA＝ 6 3 ， 在 Rt△A1AO 中，由 A1A＝ 2，OA＝ 6 3 ， 得 OA1＝ ( 2)2－( 6 3 )2＝2 3 3 ， ∴三棱锥 A1­ABC 的体积为1 3 ×1 2 × 2× 6 2 ×2 3 3 ＝1 3.] 16．将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A­BD­C, 在正方形 ABCD 中，AC∩BD＝O 有如下四个结论： ①AC⊥BD；②△ACD 是等边三角形；③AB 与 CD 所成的角为 90°，④取 BC 中点 E，则∠AEO 为二面角 A­BC­D 的平面角． 其中正确结论是________．(写出所有正确结论的序号) ①②④　[如图①所示，取 BD 中点 E，则 AE⊥BD，CE⊥BD， 所以 BD⊥平面 AEC，从而可得 AC⊥BD，故①正确； 设正方形 ABCD 边长为 1，则 AE＝EC＝ 2 2 ， 所以 AC＝ AE2＋CE2＝1，又因为 AD＝CD＝1，所以△ACD 是等边三角形， 故②正确； 分别取 BC，AC 的中点为 M，N，连接 ME，NE，MN， 则 MN∥AB，且 MN＝1 2 ，ME∥CD， 且 ME＝1 2 ，则∠EMN 是异面直线 AB，CD 所成的角． 在 Rt△AEC 中，AE＝CE＝ 2 2 ，AC＝1， ∴NE＝1 2. 则△MEN 是正三角形，故∠EMN＝60°，③错误； 图①　　　　　　　　　　　图② 如图①所示，由题意可得：AB＝AC，则 AE⊥BC， 由 BE＝EC，BO＝OD，BC⊥CD 可得 OE⊥BC， 据此可知：∠AEO 为二面角 A­BC­D 的平面角，说法④正确．]