2018届二轮复习 不等式选讲 课件（全国通用） 23页

第 4 讲　不等式选讲 高考定位　 高考对本内容的考查主要有： (1) 含绝对值的不等式的解法； B 级要求 .(2) 不等式证明的基本方法； B 级要求 .(3) 利用不等式的性质求最值； B 级要求 .(4) 几个重要的不等式的应用 .B 级要求 . 真 题 感 悟 2. (2015· 江苏卷 ) 解不等式 x ＋ |2 x ＋ 3| ≥ 2. 考 点 整 合 1. 含有绝对值的不等式的解法 (1)| f ( x )|> a ( a >0) ⇔ f ( x )> a 或 f ( x )< － a ； (2)| f ( x )|< a ( a >0) ⇔ － a < f ( x )< a ； (3) 对形如 | x － a | ＋ | x － b | ≤ c ， | x － a | ＋ | x － b | ≥ c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解 . 2. 含有绝对值的不等式的性质 | a | － | b | ≤ | a ± b | ≤ | a | ＋ | b |. 此性质可用来解不等式或证明不等式 . 3. 基本不等式 4. 柯西不等式 5. 绝对值不等式 | a | － | b | ≤ | a ± b | ≤ | a | ＋ | b |. 需要灵活地应用 . 6. 不等式的性质，特别是基本不等式链 7. 证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法 . 另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等 . 热点一　绝对值不等式 [ 微题型 1] 　考查绝对值不等式的解法 【例 1 － 1 】 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ a | ＋ | x － 2|. (1) 当 a ＝－ 3 时，求不等式 f ( x ) ≥ 3 的解集； (2) 若 f ( x ) ≤ | x － 4| 的解集包含 [1 ， 2] ，求 a 的取值范围 . 探究提高 　 (1) 用零点分段法解绝对值不等式的步骤： ① 求零点； ② 划区间、去绝对值号； ③ 分别解去掉绝对值的不等式； ④ 取每个结果的并集 ，注意在分段时不要遗漏区间 的端点值 .(2) 用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式 ， 使得代数问题几何化 ， 既通俗易懂 ， 又简洁直观 ， 是一种较好的方法 . 探究提高 　 解答含有绝对值不等式的恒成立问题时 ， 通常将其转化为分段函数 ， 再求分段函数的最值 ，从而求出所求参数的值 . 【训练 1 】 (2016· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － a | ＋ a . (1) 当 a ＝ 2 时，求不等式 f ( x ) ≤ 6 的解集； (2) 设函数 g ( x ) ＝ |2 x － 1|. 当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ≥ 3 ，求 a 的取值范围 . 解　 (1) 当 a ＝ 2 时， f ( x ) ＝ |2 x － 2| ＋ 2. 解不等式 |2 x － 2| ＋ 2 ≤ 6 得－ 1 ≤ x ≤ 3. 因此 f ( x ) ≤ 6 的解集为 { x | － 1 ≤ x ≤ 3}. (2) 当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ＝ |2 x － a | ＋ a ＋ |1 － 2 x | ≥ |2 x － a ＋ 1 － 2 x | ＋ a ＝ |1 － a | ＋ a ， 所以当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ≥ 3 等价于 |1 － a | ＋ a ≥ 3. ① 当 a ≤ 1 时， ① 等价于 1 － a ＋ a ≥ 3 ，无解 . 当 a ＞ 1 时， ① 等价于 a － 1 ＋ a ≥ 3 ，解得 a ≥ 2. 所以 a 的取值范围是 [2 ，＋ ∞ ). 热点二　不等式的证明 【例 2 】 (2014· 江苏卷 ) 已知 x ＞ 0 ， y ＞ 0 ，证明： (1 ＋ x ＋ y 2 )(1 ＋ x 2 ＋ y ) ≥ 9 xy . 探究提高　 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等 . 【训练 2 】 (2013· 江苏卷 ) 已知 a ≥ b ＞ 0 ，求证： 2 a 3 － b 3 ≥ 2 ab 2 － a 2 b . 证明 　 2 a 3 － b 3 － (2 ab 2 － a 2 b ) ＝ 2 a ( a 2 － b 2 ) ＋ b ( a 2 － b 2 ) ＝ ( a 2 － b 2 )(2 a ＋ b ) ＝ ( a － b )( a ＋ b )(2 a ＋ b ). 因为 a ≥ b ＞ 0 ，所以 a － b ≥ 0 ， a ＋ b ＞ 0 ， 2 a ＋ b ＞ 0 ，从而 ( a － b )( a ＋ b )(2 a ＋ b ) ≥ 0 ，即 2 a 3 － b 3 ≥ 2 ab 2 － a 2 b . 探究提高 　 根据柯西不等式的结构特征 ， 利用柯西不等式对有关不等式进行证明 ， 证明时 ， 需要对不等式变形 ， 使之与柯西不等式有相似的结构 ， 从而应用柯西不等式 .