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- 2021-06-10 发布
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课时分层训练(二十九) 数系的扩充与复数
的引入
(对应学生用书第 253 页)
A 组 基础达标
一、选择题
1.在复平面内,复数 z= 2i
1-i
对应的点的坐标为( )
A.(1,-1) B.(1,1)
C.(-1,1) D.(-1,-1)
C [因为 z= 2i
1-i
= 2i(1+i)
(1-i)(1+i)=-1+i,所以该复数在复平面内对应的点
为(-1,1),故选 C.]
2.(2018·郑州第二次质量预测)已知复数 f(n)=in(n∈N+),则集合{z|z=f(n)}中元
素的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.无数
A [集合{i,-1,-i,1}中有 4 个元素,故选 A.]
3.(2017·全国卷Ⅲ)设复数 z 满足(1+i)z=2i,则|z|=( )
A.1
2 B. 2
2
C. 2 D.2
C [法一:由(1+i)z=2i 得 z= 2i
1+i
=1+i,
∴|z|= 2.
故选 C.
法二:∵2i=(1+i)2,
∴由(1+i)z=2i=(1+i)2,得 z=1+i,
∴|z|= 2.
故选 C.]
4.(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A.i(1+i)2 B.i2(1-i)
C.(1+i)2 D.i(1+i)
C [A 项,i(1+i)2=i(1+2i+i2)=i×2i=-2,不是纯虚数.
B 项,i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数.
C 项,(1+i)2=1+2i+i2=2i,是纯虚数.
D 项,i(1+i)=i+i2=-1+i,不是纯虚数.
故选 C.]
5.(2017·山东高考)已知 a∈R,i 是虚数单位.若 z=a+ 3i,z·z=4,则 a=( )
A.1 或-1 B. 7或- 7
C.- 3 D. 3
A [∵z·z=4,∴|z|2=4,即|z|=2.
∵z=a+ 3i,∴|z|= a2+3,∴ a2+3=2,
∴a=±1.故选 A.]
6.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是
( )
【导学号:79140163】
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
B [∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i 在复平面内对应的点在第二象限,
∴Error!∴a<-1.故选 B.]
7.已知复数 z=1+ 2i
1-i
,则 1+z+z2+…+z2 019=( )
A.1+i B.1-i
C.i D.0
D [z=1+ 2i
1-i
=1+2i(1+i)
2
=i,∴1+z+z2+…+z2 019=1 × (1-z2 020)
1-z
=
1-i2 020
1-i
=1-i4 × 505
1-i
=0.]
二、填空题
8.(2017·北京高考改编)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则
实数 a 的取值范围是________.
(-∞,-1) [∵(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,
又∵复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,
∴Error!解得 a<-1.]
9.复数|1+ 2i|+(1- 3i
1+i )
2
=________.
i [原式= 12+(
(2))2+
(1-
(3)i)2
(1+i)2
= 3+-2-2 3i
2i
= 3+i- 3=i.]
10.已知复数 z=x+yi,且|z-2|= 3,则y
x
的最大值为
________.
【导学号:79140164】
3 [∵|z-2|= (x-2)2+y2= 3,
∴(x-2)2+y2=3.
由图可知 (y
x )max= 3
1
= 3.]
B 组 能力提升
11.设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假命题是( )
A.若|z1-z2|=0,则 z1=z2
B.若 z1=z2,则 z1=z2
C.若|z1|=|z2|,则 z1·z1=z2·z2
D.若|z1|=|z2|,则 z21=z22
D [A 中,|z1-z2|=0,则 z1=z2,故 z1=z2 成立.
B 中,z1=z2,则 z1=z2 成立.
C 中,|z1|=|z2|,则|z1|2=|z2|2,即 z1·z1=z2·z2,C 正确.
D 不一定成立,如 z1=1+ 3i,z2=2,
则|z1|=2=|z2|,但 z21=-2+2 3i,z22=4,z21≠z22.]
12.(2017·郑州二次质检)定义运算|a b
c d |=ad-bc,则符合条件|z 1+i
-i 2i|=0 的复
数z对应的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B [由题意得 z×2i-(1+i)(-i)=0,所以 z=
(1+i)(-i)
2i
=-1
2
-1
2i,则z=-1
2
+1
2i 在复平面内对应的点为(-1
2
,1
2),位于第二象限,故选 B.]
13.(2018·重庆调研(二))已知 i 为虚数单位,m∈R,若关于 x 的方程 x2+(1-2i)·x
+m-i=0 有实数根,则 m 的取值为( )
A.m≤5
4 B.m≤-3
4
C.m=1
4 D.m=-1
2
C [设 t 为方程 x2+(1-2i)x+m-i=0 的实数根,则 t2+(1-2i)t+m-i=
0,即 t2+t+m-(1+2t)i=0,则Error!解得 t=-1
2
,m=1
4
,故选 C.]
14.复数 z1,z2 满足 z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),
并且 z1=z2,则 λ 的取值范围是( )
A.[-1,1] B.[- 9
16
,1]
C.[- 9
16
,7] D.[ 9
16
,7]
C [由复数相等的充要条件可得Error!化简得 4-4cos2θ=λ+3sin θ,由此可
得 λ=-4cos2θ-3sin θ+4=-4(1-sin 2θ)-3sin θ+4=4sin 2θ-3sin θ=4
(sin θ-3
8)2- 9
16
,因为 sin θ∈[-1,1],所以 4sin2θ-3sin θ∈[- 9
16
,7].]
15.给出下列命题:
①若 z∈C,则 z2≥0;
②若 a,b∈R,且 a>b,则 a+i>b+i;
③若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数;
④若 z=-i,则 z3+1 在复平面内对应的点位于第一象限.
其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号)
④ [由复数的概念及性质知,①错误;②错误;若 a=-1,则 a+1=0 不
满足纯虚数的条件,③错误;z3+1=(-i)3+1=i+1,④正确.]
16.已知复数 z1=cos 15°+sin 15°i 和复数 z 2=cos 45°+sin 45°i,则 z 1·z2=
________.
【导学号:79140165】
1
2
+ 3
2 i [z1·z2=(cos 15°+sin 15°i)(cos 45°+sin 45°i)=(cos 15°cos 45°-sin
15°sin 45°)+(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)i=cos 60°+sin 60°i=1
2
+ 3
2 i.]