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  • 2021-06-10 发布

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练29 数系的扩充与复数的引入

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课时分层训练(二十九) 数系的扩充与复数 的引入 (对应学生用书第 253 页) A 组 基础达标 一、选择题 1.在复平面内,复数 z= 2i 1-i 对应的点的坐标为(  ) A.(1,-1)      B.(1,1) C.(-1,1) D.(-1,-1) C [因为 z= 2i 1-i = 2i(1+i) (1-i)(1+i)=-1+i,所以该复数在复平面内对应的点 为(-1,1),故选 C.] 2.(2018·郑州第二次质量预测)已知复数 f(n)=in(n∈N+),则集合{z|z=f(n)}中元 素的个数是(  ) A.4   B.3 C.2    D.无数 A [集合{i,-1,-i,1}中有 4 个元素,故选 A.] 3.(2017·全国卷Ⅲ)设复数 z 满足(1+i)z=2i,则|z|=(  ) A.1 2 B. 2 2 C. 2 D.2 C [法一:由(1+i)z=2i 得 z= 2i 1+i =1+i, ∴|z|= 2. 故选 C. 法二:∵2i=(1+i)2, ∴由(1+i)z=2i=(1+i)2,得 z=1+i, ∴|z|= 2. 故选 C.] 4.(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是(  ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) C [A 项,i(1+i)2=i(1+2i+i2)=i×2i=-2,不是纯虚数. B 项,i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数. C 项,(1+i)2=1+2i+i2=2i,是纯虚数. D 项,i(1+i)=i+i2=-1+i,不是纯虚数. 故选 C.] 5.(2017·山东高考)已知 a∈R,i 是虚数单位.若 z=a+ 3i,z·z=4,则 a=(  ) A.1 或-1 B. 7或- 7 C.- 3 D. 3 A [∵z·z=4,∴|z|2=4,即|z|=2. ∵z=a+ 3i,∴|z|= a2+3,∴ a2+3=2, ∴a=±1.故选 A.] 6.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是 (  ) 【导学号:79140163】 A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) B [∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i 在复平面内对应的点在第二象限, ∴Error!∴a<-1.故选 B.] 7.已知复数 z=1+ 2i 1-i ,则 1+z+z2+…+z2 019=(  ) A.1+i B.1-i C.i D.0 D [z=1+ 2i 1-i =1+2i(1+i) 2 =i,∴1+z+z2+…+z2 019=1 × (1-z2 020) 1-z = 1-i2 020 1-i =1-i4 × 505 1-i =0.] 二、填空题 8.(2017·北京高考改编)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则 实数 a 的取值范围是________. (-∞,-1) [∵(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i, 又∵复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, ∴Error!解得 a<-1.] 9.复数|1+ 2i|+(1- 3i 1+i ) 2 =________. i [原式= 12+( (2))2+ (1- (3)i)2 (1+i)2 = 3+-2-2 3i 2i = 3+i- 3=i.] 10.已知复数 z=x+yi,且|z-2|= 3,则y x 的最大值为 ________. 【导学号:79140164】 3 [∵|z-2|= (x-2)2+y2= 3, ∴(x-2)2+y2=3. 由图可知 (y x )max= 3 1 = 3.] B 组 能力提升 11.设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假命题是(  ) A.若|z1-z2|=0,则 z1=z2 B.若 z1=z2,则 z1=z2 C.若|z1|=|z2|,则 z1·z1=z2·z2 D.若|z1|=|z2|,则 z21=z22 D [A 中,|z1-z2|=0,则 z1=z2,故 z1=z2 成立. B 中,z1=z2,则 z1=z2 成立. C 中,|z1|=|z2|,则|z1|2=|z2|2,即 z1·z1=z2·z2,C 正确. D 不一定成立,如 z1=1+ 3i,z2=2, 则|z1|=2=|z2|,但 z21=-2+2 3i,z22=4,z21≠z22.] 12.(2017·郑州二次质检)定义运算|a b c d |=ad-bc,则符合条件|z 1+i -i 2i|=0 的复 数z对应的点在 (  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B [由题意得 z×2i-(1+i)(-i)=0,所以 z= (1+i)(-i) 2i =-1 2 -1 2i,则z=-1 2 +1 2i 在复平面内对应的点为(-1 2 ,1 2),位于第二象限,故选 B.] 13.(2018·重庆调研(二))已知 i 为虚数单位,m∈R,若关于 x 的方程 x2+(1-2i)·x +m-i=0 有实数根,则 m 的取值为(  ) A.m≤5 4 B.m≤-3 4 C.m=1 4 D.m=-1 2 C [设 t 为方程 x2+(1-2i)x+m-i=0 的实数根,则 t2+(1-2i)t+m-i= 0,即 t2+t+m-(1+2t)i=0,则Error!解得 t=-1 2 ,m=1 4 ,故选 C.] 14.复数 z1,z2 满足 z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R), 并且 z1=z2,则 λ 的取值范围是(  ) A.[-1,1] B.[- 9 16 ,1] C.[- 9 16 ,7] D.[ 9 16 ,7] C [由复数相等的充要条件可得Error!化简得 4-4cos2θ=λ+3sin θ,由此可 得 λ=-4cos2θ-3sin θ+4=-4(1-sin 2θ)-3sin θ+4=4sin 2θ-3sin θ=4 (sin θ-3 8)2- 9 16 ,因为 sin θ∈[-1,1],所以 4sin2θ-3sin θ∈[- 9 16 ,7].] 15.给出下列命题: ①若 z∈C,则 z2≥0; ②若 a,b∈R,且 a>b,则 a+i>b+i; ③若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数; ④若 z=-i,则 z3+1 在复平面内对应的点位于第一象限. 其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号) ④ [由复数的概念及性质知,①错误;②错误;若 a=-1,则 a+1=0 不 满足纯虚数的条件,③错误;z3+1=(-i)3+1=i+1,④正确.] 16.已知复数 z1=cos 15°+sin 15°i 和复数 z 2=cos 45°+sin 45°i,则 z 1·z2= ________. 【导学号:79140165】 1 2 + 3 2 i [z1·z2=(cos 15°+sin 15°i)(cos 45°+sin 45°i)=(cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°)+(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)i=cos 60°+sin 60°i=1 2 + 3 2 i.]

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