数学卷·2018届河北省邯郸市鸡泽一中高二上学期第三次月考数学试卷（文科） （解析版） 17页

‎2016-2017学年河北省邯郸市鸡泽一中高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．“a＞|b|”是“a2＞b2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎4．已知命题p：∃φ∈R，使f（x）=sin（x+φ）为偶函数；命题q：∀x∈R，cos2x+4sinx﹣3＜0，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q） D．（￢p）∧（￢q）‎ ‎5．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（　　）‎ A．12 B．10 C．8 D．2+log35‎ ‎6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2=ab=，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知数列an=（n∈N*），则数列{an}的前10项和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设实数m，n满足m＞0，n＜0，且，则4m+n（　　）‎ A．有最小值9 B．有最大值9 C．有最大值1 D．有最小值1‎ ‎9．点P（x，y）为不等式组表示的平面区域上一点，则x+2y取值范围为（　　）‎ A． B． C．[﹣1，2] D．[﹣2，2]‎ ‎10．已知中心在原点的双曲线，其右焦点为F（3，0），且F到其中一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎11．若函数f（x）=x2﹣2x+m（x∈R）有两个不同零点，并且不等式f（1﹣x）≥﹣1恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1] D．[0，1]‎ ‎12．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．全称命题：∀x∈R，x2＞1的否定是　　．‎ ‎14．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinA=　　．‎ ‎15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a5=26，S4=28，则a10的值为　　．‎ ‎16．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，求an．‎ ‎18．已知命题p：曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点；命题表示焦点在x轴上的椭圆．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m取值范围．‎ ‎19．设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为，且c=2，已知点A（）‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．‎ ‎20．在△ABC中，，BC=1，．‎ ‎（Ⅰ）求sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎21．已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点和短轴的一个端点构成边长为4的正三角形．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若=2，求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省邯郸市鸡泽一中高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．“a＞|b|”是“a2＞b2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据绝对值大于或等于0，得“a＞|b|”成立时，两边平方即有“a2＞b2”成立；而当“a2＞b2”成立时，可能a是小于﹣|b|的负数，不一定有“a＞|b|”成立．由此即可得到正确选项．‎ ‎【解答】解：先看充分性 当“a＞|b|”成立时，因为|b|≥0，所以两边平方得：“a2＞b2”成立，故充分性成立；‎ 再看必要性 当“a2＞b2”成立时，两边开方得“|a|＞|b|”，‎ 当a是负数时有“a＜﹣|b|＜0”，此时“a＞|b|”不成立，故必要性不成立 故选A ‎　‎ ‎2．在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理表示出cos∠BAC，把三角形三边长代入即可求出∠BAC的余弦值，求解即可．‎ ‎【解答】解：∵c=AB=5，b=AC=3，a=BC=7，‎ ‎∴根据余弦定理得：‎ cos∠BAC===﹣．‎ ‎∠BAC=．　‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．‎ ‎【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，‎ F（）准线方程x=，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，‎ ‎∴|AF|+|BF|==3‎ 解得，‎ ‎∴线段AB的中点横坐标为，‎ ‎∴线段AB的中点到y轴的距离为．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．已知命题p：∃φ∈R，使f（x）=sin（x+φ）为偶函数；命题q：∀x∈R，cos2x+4sinx﹣3＜0，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q） D．（￢p）∧（￢q）‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】首先，判断命题P和命题q 的真假，然后，结合复合命题的真值表进行判定即可．‎ ‎【解答】解：∵当φ=时，f（x）=sin（x+φ）=cosx，此时f（x）为偶函数，‎ 所以命题p为真命题；‎ ‎∵y=cos2x+4sinx﹣3‎ ‎=1﹣2sin2x+4sinx﹣3‎ ‎=﹣2sin2x+4sinx﹣2‎ ‎=﹣2（sinx﹣1）2，‎ 当sinx=1时y=0，‎ 所以y≤0即cos2x+4sinx﹣3≤0‎ 所以命题q为假命题；￢q为真命题；‎ 所以p∨￢q为真命题 故选C ‎　‎ ‎5．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（　　）‎ A．12 B．10 C．8 D．2+log35‎ ‎【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．‎ ‎【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．‎ ‎【解答】解：∵a5a6=a4a7，‎ ‎∴a5a6+a4a7=2a5a6=18‎ ‎∴a5a6=9‎ ‎∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10‎ 故选B ‎　‎ ‎6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2=ab=‎ ‎，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理计算cosC，得出sinC，代入面积公式S=即可求出面积．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∵a2+b2﹣c2=ab=，‎ ‎∴cosC==，‎ ‎∴sinC==．‎ ‎∴S△ABC=absinC==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．已知数列an=（n∈N*），则数列{an}的前10项和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：数列an==，‎ ‎∴Sn=+…+==，‎ ‎∴S10=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．设实数m，n满足m＞0，n＜0，且，则4m+n（　　）‎ A．有最小值9 B．有最大值9 C．有最大值1 D．有最小值1‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】通过“1”的代换，利用基本不等式求解表达式的最值，判断选项即可．‎ ‎【解答】解：因为，所以4m+n=（4m+n）（）=5+．‎ 又m＞0，n＜0，所以≥4，当且仅当n=2m时取等号，故5+≤5﹣4=1．‎ 当且仅当时取等号．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．点P（x，y）为不等式组表示的平面区域上一点，则x+2y取值范围为（　　）‎ A． B． C．[﹣1，2] D．[﹣2，2]‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 设z=x+2y，则y=，‎ 平移直线y=由图象可知当直线y=在第一象限内和圆相切时，‎ 直线y=的截距最大，此时z最大，‎ 圆心O到直线x+2y﹣z=0的距离d=，‎ 此时z=，（z=﹣舍掉），‎ 当直线y=经过点B时，直线y=的截距最小，此时z最小．‎ 由，‎ 解得，即B（0，﹣1），‎ 此时z=x+2y=0﹣2=﹣2，‎ 即z的最小值为﹣2，‎ ‎∴﹣2≤z≤‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．已知中心在原点的双曲线，其右焦点为F（3，0），且F到其中一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设双曲线方程为，求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式由F到其中一条渐近线的距离为，能求出双曲线方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线中心在原点，其右焦点为F（3，0），‎ ‎∴设双曲线方程为，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=，‎ ‎∵F到其中一条渐近线的距离为，‎ ‎∴=，解得a=2．‎ ‎∴双曲线方程为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．若函数f（x）=x2﹣2x+m（x∈R）有两个不同零点，并且不等式f（1﹣x）≥﹣1恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1] D．[0，1]‎ ‎【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】根据函数f（x）=x2﹣2x+m（x∈R）有两个不同零点，即△＞0求出m的范围，根据不等式f（1﹣x）≥﹣1恒成立即为m≥﹣x2恒成立，求得右边二次函数的最大值，求出m的范围，两者取交集．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+m（x∈R）有两个不同零点，‎ ‎∴△＞0，即4﹣4m＞0，∴m＜1．‎ ‎∵不等式f（1﹣x）≥﹣1恒成立，‎ ‎∴（1﹣x）2﹣2（1﹣x）+m≥﹣1恒成立，‎ 化简得m≥﹣x2恒成立，‎ 由（﹣x2）max=0．‎ 可得m≥0，‎ ‎∴m∈[0，1）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】设P（m，n ），由得到n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得到 b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得到 m2 的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得的范围．‎ ‎【解答】解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，‎ ‎∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．‎ 把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，‎ 把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，‎ ‎ b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥． ‎ 又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．‎ 综上，≤≤，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．全称命题：∀x∈R，x2＞1的否定是　　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题：∀x∈R，x2＞1的否定是：，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinA=　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】依题意，易求B=，利用正弦定理=即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，A+B+C=π，A+C=2B，‎ ‎∴3B=π，B=；‎ 又a=1，b=，‎ ‎∴由正弦定理=得：sinA===，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a5=26，S4=28，则a10的值为　37　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，再由等差数列的通项公式求得a10的值．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 由a3+a5=26，S4=28，得：‎ ‎，解得：．‎ ‎∴a10 =a1+9d=1+36=37．‎ 故答案为：37．‎ ‎　‎ ‎16．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=　　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．‎ ‎【解答】解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，‎ 圆心到直线y=x的距离为=2，‎ ‎∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．‎ 则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，‎ 令y′=2x=1解得x=，故切点为（， +a），‎ 切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，‎ 由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，‎ 即解得a=或﹣．‎ 当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，求an．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】利用公式可求出数列{an}的通项an．‎ ‎【解答】解：a1=S1=3+2=5，‎ an=Sn﹣Sn﹣1=（3+2n）﹣（3+2n﹣1）=2n﹣1，‎ 当n=1时，2n﹣1=1≠a1，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．已知命题p：曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点；命题表示焦点在x轴上的椭圆．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p，q一真一假，进而可得m取值范围．‎ ‎【解答】解：命题p为真⇔△=（2m﹣3）2﹣4＞0⇔…‎ 若命题q为真⇔m＞2…‎ ‎∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题 ‎∴p，q一真一假 …‎ 若p真q假，则∴…‎ 若q真p假，则∴…‎ 综上，或…‎ ‎　‎ ‎19．设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为，且c=2，已知点A（）‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）利用焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为，且c=2，求出几何量，即可求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线L方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意， =，c=2，‎ ‎∴a=1，b=，‎ ‎∴双曲线的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），代入双曲线方程，两式相减，‎ 结合点A（1，）为线段MN的中点，可得2（x1﹣x2）﹣3（y1﹣y2），∴k=，‎ ‎∴直线L方程为y﹣=（x﹣1），即4x﹣6y﹣1=0．‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，，BC=1，．‎ ‎（Ⅰ）求sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，根据cosC，求得sinC，进而利用正弦定理求得sinA．‎ ‎（2）先根据余弦定理求得b，进而根据=BC•CA•cos（π﹣C）求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，由，得，‎ 又由正弦定理：得：．‎ ‎（2）由余弦定理：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC得：，‎ 即，解得b=2或（舍去），所以AC=2．‎ 所以， =BC•CA•cos（π﹣C）=‎ 即．‎ ‎　‎ ‎21．已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；‎ ‎（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．‎ ‎【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{an}是递增的等差数列，‎ 故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，‎ 故an=2+（n﹣2）×=n+1，‎ ‎（2）设数列{}的前n项和为Sn，‎ Sn=，①‎ Sn=，②‎ ‎①﹣②得Sn==，‎ 解得Sn==2﹣．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点和短轴的一个端点构成边长为4的正三角形．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若=2，求直线l的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由等边三角形的性质，求得a与b的值，求得椭圆方程；‎ ‎（2）设直线l的方程，代入椭圆当成，由向量的坐标运算及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆C的方程为（a＞b＞0），椭圆焦点在x轴上，则c=2，a=2c=4，‎ b2=a2﹣c2=12，‎ ‎∴椭圆的标准方程：；‎ ‎（2）设直线的方程为x=my+2，‎ 代入椭圆方程，整理得（3m2+4）y2+12my﹣36=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），焦点F2（2，0），则根据=2，得（2﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣2，y2），‎ 由此得﹣y1=2y2，‎ 解方程得：y1，2=，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，‎ 代入﹣y1=2y2，y2=，y22=，‎ 得5m2=4，故m=±，‎ ‎∴直线的方程为x±﹣2=0．‎