人教版高三数学总复习课时作业20 9页

课时作业20　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、选择题 ‎1．已知α∈，sinα＝，则tan2α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－，∴tanα＝－.∴tan2α＝＝＝－.‎ 答案：D ‎2．已知sin(π－α)＝－，则＝(　　)‎ A. B．－ C. D．2‎ 解析：∵sin(π－α)＝－，∴sinα＝－.‎ ‎∴＝ ‎＝2sinα＝－.‎ 答案：B ‎3．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cosβ＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.‎ 答案：C ‎4．已知cos＝－，则cosx＋cos的值是(　　)‎ A．－ B．± C．－1 D．±1‎ 解析：cosx＋cos ‎＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx ‎＝＝cos＝－1.‎ 答案：C ‎5．已知α、β都是锐角，若sinα＝，sinβ＝，则α＋β 等于(　　)‎ A. B. C.和 D．－和－ 解析：由α、β都为锐角，所以cosα＝＝，cosβ＝＝.所以cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝，所以α＋β＝.故选A.‎ 答案：A ‎6．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵C＝120°，‎ ‎∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC＝－tan120°＝.‎ 又∵tan(A＋B)＝，‎ ‎∴＝.∴1－tanAtanB＝，tanAtanB＝.‎ 答案：B 二、填空题 ‎7．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin eq lc( c)(avs4alco1(β＋f(5π,4)))＝________.‎ 解析：依题意可将已知条件变形为 sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝，sinβ＝－.‎ ‎∴sin(β＋)＝sinβcos＋cosβsin＝－×(－)＋(－)×(－)＝＋＝.‎ 答案： ‎8．化简：－＝________.‎ 解析：原式＝＝－ ‎＝－tan2α.‎ 答案：－tan2α ‎9．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于________．‎ 解析：由sin2α＋cos2α＝得sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α＝.∵α∈，∴cosα＝，∴α＝，∴tanα＝tan＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎10．(2014·广东卷)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.‎ 解：(1)∵f＝Asin＝Asin ‎＝Asin＝A＝，∴A＝.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin 故f(θ)＋f(－θ)‎ ‎＝sin＋sin＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴cosθ＝，∴cosθ＝.‎ 又θ∈，∴sinθ＝＝，‎ ‎∴f＝sin(π－θ)＝sinθ＝.‎ ‎11．已知，0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.‎ ‎(1)求sin2β的值；‎ ‎(2)求cos的值．‎ 解：(1)法1：∵cos＝coscosβ＋sinsinβ ‎＝cosβ＋sinβ＝，‎ ‎∴cosβ＋sinβ＝，∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.‎ 法2：sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.‎ ‎(2)∵0<α<<β<π，‎ ‎∴<β－<π，<α＋β<，‎ ‎∴sin>0，cos(α＋β)<0.‎ ‎∵cos＝，sin(α＋β)＝，‎ ‎∴sin＝，cos(α＋β)＝－，‎ ‎∴cos＝cos ‎＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin ‎＝－×＋×＝.‎ ‎1．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是(　　)‎ A．sin(α＋β)>sinα＋sinβ B．cos(α＋β)>cosαcosβ C．sin(α＋β)>sin(α－β)‎ D．cos(α＋β)>cos(α－β)‎ 解析：∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，‎ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，‎ 又∵α、β都是锐角，∴cosαsinβ>0，‎ 故sin(α＋β)>sin(α－β)．‎ 答案：C ‎2．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：因为四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，‎ 所以∠AED＝.‎ 又因为在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，‎ 所以sin∠BEC＝，cos∠BEC＝.‎ 于是sin∠CED＝sin ‎＝sincos∠BEC－cossin∠BEC ‎＝×－×＝.故选B.‎ 答案：B ‎3．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，‎ α，‎ β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cosα＝________.‎ 解析：依题设及三角函数的定义得：‎ cosβ＝－，sin(α＋β)＝.‎ 又∵0<β<π，∴<β<π，<α＋β<π，sinβ＝，cos(α＋β)＝－.‎ ‎∴cosα＝cos[(α＋β)－β]‎ ‎＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ ‎＝－×＋×＝.‎ 答案： ‎4．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．‎ ‎(1)求a，θ的值；‎ ‎(2)若f＝－，α∈，求sin的值．‎ 解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝，所以f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)，由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.‎ ‎(2)由(1)得，f(x)＝－sin4x，因为f＝－sinα＝－，即sinα＝ ‎，又α∈，从而cosα＝－，所以有sin＝sinαcos＋cosαsin＝.‎