数学理卷·2017届广东省汕头市潮南实验学校高三上学期期中考试（2016 14页

潮南实验学校2017届高三期中考试 理科数学试题及答案 一、选择题 ‎1、已知全集，集合，，那么（ ）‎ A. B. ‎ C . D. ‎ ‎2、若为实数且，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3、给出下列3个命题，其中正确的个数是 （ ）‎ ‎①若“命题为真”，则“命题为真”；‎ ‎②命题“”的否定是“”；‎ ‎ ③“tanx>‎0”‎是"sin2x>0"的充要条件 .‎ A．1个 B．2个 C. 3个 D．0个 ‎4、投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )‎ 开始 是 否 输出k 结束 开始 是 否 输出k 结束 A.0.648 B.‎0.432 ‎ C.0.36 D.0.312‎ ‎5、 ( )‎ A．π B. C．π＋1 D．π－1‎ ‎6、 若函数的图象在区间上至少有两个最高点，两个最低点，则的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7、执行如题（7）图所示的程序框图，若输出K的值为8，则判断框图可填入的条件是　　（　　）‎ A、s B、s ‎ C、s D、s ‎8、存在函数满足，‎ 对任意都有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9、一条光线从点射出，经轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）‎ A.或 B. 或 C.或 D.或 ‎10、已知正实数满足，则的最小值是 （ ）‎ A. B. C. D. 6‎ ‎11、的展开式中，的系数为( )‎ A.10 B‎.20 C.30 D.60‎ ‎12、已知异面直线成角，为空间中一点，则过与都成角的平面 （ ） ‎ A．有且只有一个 B．有且只有两个 ‎ C．有且只有三个 D．有且只有四个 二、填空题 ‎13、已知某几何体的三视图（单位：cm）如右图所示，则该几何体表面积是 。‎ ‎14、已知非零向量满足，，‎ 若的最小值是m, 最大值是M,则2‎ ‎15、设是抛物线：的焦点，过的直线交抛物线于，两点，当时，以为直径的圆与轴相交所得弦长是 ‎ ‎16、某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为； 二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为；……；依此规律得到n级分形图.‎ n级分形图中所有线段长度之和为___ ‎ 三、解答题 ‎17、（本题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知错误！未找到引用源。‎ ‎(1)求角B的大小； ‎ ‎(2)若，求b的取值范围.‎ ‎17.解（1）由已知得，即.因为，所以,又,所以,又，所以. 【6分】‎ ‎（2）由余弦定理，有，因为，,所以，又因为，所以，即. 【12分】【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎18、某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.‎ ‎(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；‎ ‎(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎18、解：（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，‎ 则【4分】‎ ‎（Ⅱ）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3【5分】‎ ‎【8分】‎ ‎【10分】‎ 所以X的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以．【12分】‎ ‎19、（本题满分12分）如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，底面是菱形，,点P在底面上的射影为ΔACD的重心，点M为线段上的点．‎ ‎（1）当点M为PB的中点时，求证：PD//平面ACM；‎ ‎（2）当平面CDM与平面CBM所成锐二面角的余弦值为时，求 的值．‎ ‎19、解：（1）设AC、BD的交点为I，连结MI， 因为I、M分别为BD、BP的中点，所以PD//MI，又MI在平面ACM内，‎ 所以PD//平面ACM； 【4分】‎ ‎（2）设CD的中点为O，分别以OA、OC为x轴、y轴，‎ 过O点垂直平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则,，，，， 【5分】‎ 设【6分】‎ 则 ‎，‎ 设平面法向量为，则且 令则【8分】【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 设平面CBM的法向量为，则且，‎ 令则 【10分】‎ 所以 ‎ ， 【12分】‎ ‎20、（本题满分12分）设椭圆：， 分别是椭圆的左右焦点，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．‎ ‎（I）是否存在直线，使得 ，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；‎ ‎（II）若是椭圆经过原点的弦，且， 是否为定值？若是，请求出，若不是，说明理由．‎ ‎20、解：（I）由题可知，直线与椭圆必相交．‎ ‎①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．‎ ‎②设存在直线为，且，.‎ 由得，‎ ‎，，‎ ‎=‎ 所以，故直线的方程为或【6分】‎ ‎（II）设,‎ 由（II）可得：‎ ‎ |MN|=‎ ‎ =．‎ 由消去y，并整理得： ，‎ ‎|AB|=，‎ ‎∴为定值【12分】‎ ‎21、设函数，其中.‎ ‎ （Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；‎ ‎ （Ⅱ）若成立，求的取值范围.‎ ‎21、解：函数的定义域为 令 ‎（1）当时，，在上恒成立 所以，函数在上单调递增无极值；‎ ‎（2）当 时， ‎ ‎①当时， ， ‎ 所以，，函数在上单调递增无极值；‎ ‎②当 时， 设方程的两根为 ‎ 因为 所以， 由可得：‎ 所以，当时， ，函数单调递增；‎ 当时， ，函数单调递减；‎ 当时， ，函数单调递增；‎ 因此函数有两个极值点．‎ ‎（3）当 时，由可得：‎ 当时， ，函数单调递增；‎ 当时， ，函数单调递减；‎ 因此函数有一个极值点．‎ 综上：当 时，函数在上有唯一极值点；‎ 当时，函数在上无极值点；‎ 当时，函数在上有两个极值点；【6分】‎ ‎（II）由（I）知，（1）当时，函数在上单调递增，‎ 因为所以，时， ，符合题意；‎ ‎ （2）当 时，由 ，得 所以，函数在上单调递增，‎ 又，所以，时， ，符合题意；‎ ‎（3）当 时，由 ，可得所以 时，函数 单调递减；‎ 又所以，当时， 不符合题意；‎ ‎（4）当时，‎ 设 因为时，‎ ‎ ‎ 所以在上单调递增，因此当时，，即 可得：当 时，‎ 此时， 不合题意.综上所述，的取值范围是 ‎ ‎【12分】‎ ‎22、选修4—1：几何证明选讲 ‎ 如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于、两点与底边上的高交于点，与、‎ 分别相切于、两点． ‎ ‎ （Ⅰ）证明： ；‎ ‎（Ⅱ） 若等于的半径，且，求四边形的面积．‎ ‎22、解：（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分线．又因为分别与、相切于、两点，所以，故．从而．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎,，故是的垂直平分线，又是的弦，所以在上．连接，，则．由等于的半径得，所以．所以和都是等边三角形．因为，所以，．‎ 因为，，所以．于是，．所以四边形的面积．‎ ‎23、选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．‎ ‎（Ⅰ）.求与交点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值．‎ ‎23、解：（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立解得或 所以与交点的直角坐标为和【5分】‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此 得到极坐标为，的极坐标为．所以 ‎，当时，取得最大值，最大值为．‎ ‎【10分】‎ ‎24、选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为4．‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的最小值．‎ ‎24、解：(Ⅰ)因为 ‎，当且仅当时，等号成立，又，所以,所以的最小值为,‎ 所以．【5分】‎ ‎(Ⅱ)由(1)知，由柯西不等式得 即.当且仅当,即时，等号成立 所以的最小值为.【10分】‎