2019年高考数学高分突破复习课件专题三 第1讲 46页

第 1 讲　空间几何体的三视图、表面积和体积 高考定位　 1. 三视图的识别和简单应用； 2. 简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问 . 1. (2018· 全国 Ⅲ 卷 ) 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 . 构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头 . 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( 　　 ) 真 题 感 悟 解析　 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选 A. 答案 　 A 答案　 B 3. (2018· 天津卷 ) 已知正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E ， F ， G ， H ， M ( 如图 ) ，则四棱锥 M － EFGH 的体积为 ________. 4. (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知三棱锥 S － ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径 . 若平面 SCA ⊥ 平面 SCB ， SA ＝ AC ， SB ＝ BC ，三棱锥 S － ABC 的体积为 9 ，则球 O 的表面积为 ________. 解析　 如图，连接 OA ， OB ，因为 SA ＝ AC ， SB ＝ BC ， SC 为球 O 的直径，所以 OA ⊥ SC ， OB ⊥ SC . 因为平面 SAC ⊥ 平面 SBC ，平面 SAC ∩ 平面 SBC ＝ SC ，且 OA ⊂ 平面 SAC ，所以 OA ⊥ 平面 SBC . 设球的半径为 r ，则 OA ＝ OB ＝ r ， SC ＝ 2 r ， 答案　 36π 1. 空间几何体的三视图 (1) 几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等 . (2) 由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体 . 考 点 整 合 2. 空间几何体的两组常用公式 热点一　空间几何体的三视图与直观图 【例 1 】 (1) (2018· 兰州模拟 ) 中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为 “ 堑堵 ”. 已知某 “ 堑堵 ” 的正视图和俯视图如图所示，则该 “ 堑堵 ” 的侧视图的面积为 ( 　　 ) (2) (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 某圆柱的高为 2 ，底面周长为 16 ，其三视图如图 . 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 ( 　　 ) 解析　 (1) 在俯视图 Rt △ ABC 中， 作 AH ⊥ BC 交于 H . 由三视图的意义 ，则 BH ＝ 6 ， HC ＝ 3 ， 答案 　 (1)C 　 (2)B 探究提高　 1. 由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认 . 二要熟悉常见几何体的三视图 . 2. 由三视图还原到直观图的思路 (1) 根据俯视图确定几何体的底面 . (2) 根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置 . (3) 确定几何体的直观图形状 . 【训练 1 】 (1) 如图，在底面边长为 1 ，高为 2 的正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 P 是平面 A 1 B 1 C 1 D 1 内一点，则三棱锥 P － BCD 的正视图与侧视图的面积之和为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2) (2017· 北京卷 ) 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 ( 　　 ) 解析　 (1) 设点 P 在平面 A 1 ADD 1 的射影为 P ′ ，在平面 C 1 CDD 1 的射影为 P ″ ，如图所示 . ∴ 三棱锥 P － BCD 的正视图与侧视图分别为 △ P ′ AD 与 △ P ″ CD ， 答案 　 (1)B 　 (2)B 热点二　几何体的表面积与体积 考法 1 　空间几何体的表面积 【例 2 － 1 】 (1) (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2 ，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 ( 　　 ) A.10 B.12 C.14 D.16 (2) (2018· 西安模拟 ) 如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( 　　 ) A.20π B.24π C.28π D.32π (2) 由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体， 故几何体的表面积 S ＝ 15π ＋ 4π ＋ 9π ＝ 28π. 答案 　 (1)B 　 (2)C 探究提高　 1. 由几何体的三视图求其表面积： (1) 关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小； (2) 还原几何体的直观图，套用相应的面积公式 . 2.(1) 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 . (2) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 . A.17π B.18π C.20π D.28π (2) (2018· 烟台二模 ) 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为 ( 　　 ) 答案 　 (1)A 　 (2)A 考法 2 　空间几何体的体积 【例 2 － 2 】 (1) (2018· 河北衡水中学调研 ) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( 　　 ) 探究提高　 1. 求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上 . 2. 求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解 . 【训练 3 】 (1) (2018· 江苏卷 ) 如图所示，正方体的棱长为 2 ，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ________. (2) (2018· 北京燕博园质检 ) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( 　　 ) 球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大 . 解析　 由 AB ⊥ BC ， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ，得 AC ＝ 10. 要使球的体积 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切 ， 设 底面 △ ABC 的内切圆的半径为 r . 答案　 B 【 迁移探究 1 】 若本例中的条件变为 “ 直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上 ” ，若 AB ＝ 3 ， AC ＝ 4 ， AB ⊥ AC ， AA 1 ＝ 12 ，求球 O 的表面积 . 解 　将直三棱柱补形为长方体 ABEC － A 1 B 1 E 1 C 1 ， 则球 O 是长方体 ABEC － A 1 B 1 E 1 C 1 的外接球 . ∴ 体对角线 BC 1 的长为球 O 的直径 . 【 迁移探究 2 】 若将题目的条件变为 “ 如图所示是一个几何体的三视图 ” 试求该几何体外接球的体积 . 解　 该几何体为四棱锥，如图所示，设正方形 ABCD 的中心为 O ，连接 OP . 由三视图， PH ＝ OH ＝ 1 ， 探究提高　 1. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接 . 球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或 “ 切点 ” 、 “ 接点 ” 作出截面图，把空间问题化归为平面问题 . 2. 若球面上四点 P ， A ， B ， C 中 PA ， PB ， PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题 . 答案 　 D 1. 求解几何体的表面积或体积 (1) 对于规则几何体，可直接利用公式计算 . (2) 对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解 . (3) 求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用 . (4) 求解几何体的表面积时要注意 S 表 ＝ S 侧 ＋ S 底 .