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- 2021-06-10 发布
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兰州二中 2019—2020 学年度第一学期期中考试
高一年级数学试题
命题教师:王雯倩
第Ⅰ卷
一、选择题:本大道共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题的 4 个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 ,集合 ,则 =( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 后可求 .
【详解】 ,故 .
故选:B.
【点睛】本题考查集合的运算(交集和补集),此类属于基础题.
2.下列四个图形中,不是以 x 为自变量的函数的图象是( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:图形 C 中有“一对多”情形,故选 C.
考点:本题考查函数定义.
U = R { } { }0 , 1A x x B x x= > = > UA C B∩
{ }0 1x x≤ < { }0 1x x< ≤ { }0x x < { }1x x >
UC B UA C B∩
{ }| 1UC B x x= ≤ { }| 0 1UA C B x x∩ = < ≤
3.已知集合 A={a-2,2a2+5a,12},-3∈A,则 a 的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据元素与集合关系分类讨论,再验证互异性得结果
【详解】∵-3∈A
∴-3=a-2 或-3=2a2+5a
∴a=-1 或 a=- ,
∴当 a=-1 时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故 a=-1 应舍去
当 a=- 时,a-2=- ,2a2+5a=-3,满足.
∴a=- .
故选 B.
【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性,考查基本分析求解能力,属基础
题.
4.已知函数 ,那么 的值为( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将 代入 即可得结果.
【详解】解:因为 ,
所以 ,
故选 C
【点睛】本题考查已知解析式,求函数值,是基础题.
1− 3
2
− 1 3
2
− 1− 3
2
−
3
2
3
2
7
2
3
2
2( ) 1f x x= + ( 1)f a +
2 2a a+ + 2 1a + 2 2 2a a+ +
2 2 1a a+ +
1a + 2( ) 1f x x= +
2( ) 1f x x= +
2 2( 1) ( 1) 1 2 2f a a a a+ = + + = + +
5.下列等式成立的是( ).
A. log2(8-4)=log2 8-log2 4 B. =
C. log2 23=3log2 2 D. log2(8+4)=log2 8+log2 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质进行分析、判断即可得到答案.
【详解】根据对数的运算性质逐个进行判断可得,选项 A,B,D 都不符合对数的运算性质,选
项 C 符合.所以 C 正确.
故选 C.
【点睛】解答本题时容易出现错误,解题的关键是记清对数的三个运算性质及换底公式,属
于基础题.
6.已知函数 y=f(x)定义域是[-2,3],则 y=f(2x-1)的定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵函数 y=f(x)定义域是[−2,3],
∴由−2⩽2x−1⩽3,
解得− ⩽x⩽2,
即函数的定义域为 ,
本题选择 C 选项.
7.下列四个函数中,在 上为增函数的是( ).
A. B.
C. D.
【答案】C
2
2
log 8
log 4 2
8log 4
50, 2
[ ]1,4− 1 ,22
−
[ ]5,5−
1
2
1 ,22
−
( )0, ∞+
( ) 3f x x= − ( ) 2 3f x x x= −
( ) 1
1f x x
= − +
( )f x x= −
【解析】
【分析】
A,B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断;C 利用 以及平移
的思路去判断;D 根据 的图象的对称性判断.
【详解】A. 在 上是减函数,不符合;
B. 在 上是减函数,在 上是增函数,不符合;
C. 可认为是 向左平移一个单位所得,所以在 上是增函数,
符合;
D. 图象关于 轴对称,且在 上是增函数,在 上是减函数,不符
合;
故选 C.
【点睛】(1)一次函数 、反比例函数 的单调性直接通过 的
正负判断;
(2)二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断;
(3)复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.
8.已知函数 在定义域 上是减函数,且 ,则实数 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的单调性和定义域得出不等关系组,即得解.
【详解】已知函数 在定义域 上是减函数,且 ,
1y x
= −
y x= −
( ) 3f x x= − R
( ) 2 3f x x x= − 3, 2
−∞
3 ,2
+∞
( ) 1
1f x x
= − +
1y x
= − ( )1,− +∞
( )f x x= − y ( ),0−∞ ( )0, ∞+
( )0y kx b k= + ≠ ( )0ky kx
= ≠ k
( )y f x= ( )1,1− ( ) ( )2 1 1f a f a− < − a
2 ,3
+∞
2 ,13
( )0,2 ( )0, ∞+
( )y f x= ( )1,1− ( ) ( )2 1 1f a f a− < −
故选:B
【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式,考查了学生转化划归,数学运算能力,属
于基础题.
9.设 , , ,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别将三个幂值进行化简,转化为以 2 为底的指数幂的形式,然后利用指数函数的单调性进
行判断.
【详解】解: ,
因为函数 在定义域上为单调递增函数,所以 .
故选:D.
【点睛】本题主要考查了指数幂的大小比较,将不同底的指数幂转化为同底的指数幂.然后
利用指数函数的单调性进行判断大小是解决本题的关键.
10.国内快递重量在 1000 克以内的包裹邮资标准如下表:
运送距离 …
邮资 (元) 5.00 6.00 7.00 8.00 …
如果某人从北京快递 900 克的包裹到距北京 的某地,他应付的邮资是( )
A. 5.00 元 B. 6.00 元 C. 7.00 元 D. 8.00 元
2 1 1
21 2 1 1 131 1 1
a a
a a
a
− > −
∴ − < − < ∴ < <
− < − <
0.9
1 4y = 0.48
2 8y =
1.5
3
1
2y
− =
3 1 2y y y> > 2 1 3y y y> > 1 2 3y y y> >
1 3 2y y y> >
1.5
0.9 2 0.9 1.8 0.48 3 0.48 1.44 1.
3
5
1 2
14 2 2 , 2 2 28 2,y y y
−
× × = = = = = =
==
2xy = 1 3 2y y y> >
( )x km 0 500x< ≤ 500 1000x< ≤ 1000 1500x< ≤ 1500 2000x< ≤
y
1300km
【答案】C
【解析】
【分析】
根据表格,写出邮资 与运送距离 的函数关系式,判断出 ,即得解.
【详解】邮资 与运送距离 的函数关系式为:
故选:C
【点睛】本题考查了分段函数的应用,考查了学生数学应用,转化划归,数学运算的能力,
属于基础题.
11. 是偶函数,则 , , 的大小关系为( )
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义,确定 的值和函数解析式,再根据函数的单调性和奇偶性的性质,比较
大小即可.
【详解】 是偶函数,
, ,则 , ;
在 上单调递减
,即
故选 B.
y x 1300 (1000,1500]∈
y x
5,0 500
6,500 1000
7,1000 1500
8,1500 2000
x
xy x
x
< ≤
< <= < ≤
< ≤
1300 (1000,1500]∈
7y∴ =
( ) ( ) 21 2 3f x m x mx= − + + ( )1f − ( )2f − ( )3f
( ) ( ) ( )3 2 1f f f> − > − ( ) ( ) ( )3 2 1f f f< − < −
( ) ( ) ( )2 3 1f f f− < < − ( ) ( ) ( )1 3 2f f f− < < −
m
2( ) ( 1) 2 3f x m x mx= − + +
0m∴ = 2( ) 3f x x= − + ( 1) (1)f f− = ( 2) ( 2)f f− =
2( ) 3f x x= − + (0, )+∞
∴ (1) ( 2) ( 3)f f f> > ( 1) ( 2) ( 3)f f f− > − >
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断和性质,考查二次函数单调性的应用,考查推理能力与
计算能力,解题的关键是根据函数的奇偶性,将自变量变换到同一单调区间后再比较函数值
的大小.
12.若奇函数 在 内是减函数,且 , 则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
,选 D.
点睛:解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式,然后
根据函数的单调性去掉“ ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意 与 的取值应
在外层函数的定义域内
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.函数 的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据偶次根式的被开方非负和分母不为 0 列式可解得.
【详解】要使函数有意义,只需 ,解得 且 .
故函数 的定义域为 .
故答案为:
【点睛】
本题考查了含偶次根式和分母的函数定义域的求法,属于基础题.
14.已知函数 ,若 ,则 x=___________
( )f x ( ,0)−∞ ( 2) 0f − = ( ) 0x f x⋅ >
( 2,0) (2, )− +∞ ( , 2) (0,2)−∞ − ∪
( , 2) (2, )−∞ − +∞ ( 2,0) (0,2)−
( ) 0x f x⋅ > 0 0 0 2 2 0( ) 0 (2) ( ) 0 ( 2)
x x x xf x f f x f
> < ⇒ ⇒ < < − < < > = < = −
或 或
( ( )) ( ( ))f g x f h x>
f ( )g x ( )h x
1( ) 1 2f x x x
= + + −
[ 1,2) (2, )− +∞
1 0
2 0
x
x
+ ≥
− ≠ 1x ≥ − 2x ≠
( )f x [ 1,2) (2, )− +∞
[ 1,2) (2, )− +∞
2 1, 0
2 , 0
x xy
x x
+ ≤= − >
( ) 10f x =
【答案】
【解析】
【分析】
当 时, ,当 时,由 可得结果.
【详解】因为函数 ,
当 时, ,
当 时, ,
可得 (舍去),或 ,故答案为 .
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,以及分类
讨论思想的应用,属于简单题.
15.函数 的图象必经过__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由 ,由此变形得到: ,分析函数结构即得解
【详解】指数函数图像过点 ,即 ,
由此变形得到:
故所求图像必过点:
故答案为:
【点睛】本题考查了指数函数过定点问题,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算能力,
属于基础题.
16.若 , 是 这两个函数中 较小者,则 的最大值是____.
【答案】1
【解析】
【分析】
的
3−
0x > ( ) 2 0 10f x x= − < ≠ 0x ≤ ( ) 2 1 10f x x= + =
( ) 2 1, 0
2 , 0
x xf x
x x
+ ≤= − >
0x > ( ) 2 0 10f x x= − < ≠
0x ≤ ( ) 2 1 10f x x= + =
3x = 3x = − 3−
( )5 1 0xy a a−= + ≠
(5,2)
0 1a = 0 1 2a + =
(0,1) 0 1a =
0 1 2a + =
(5,2)
(5,2)
x∈R ( )f x 22 ,y x y x= − = ( )f x
通过比较两个函数的大小,分类讨论求出函数的解析式,然后求出 的最大值.
【详解】由已知可得: .
当 时, ;
当 时, ,所以函数 的最大值为 1.
故答案 :1
【点睛】本题考查了求函数的最大值问题,考查了数学阅读能力和数学运算能力.
三、解答题(17 题共 10 分,18-22 题每题 12 分,共 70 分)
17.(1)
(2)
【答案】(1)110;(2)
【解析】
【分析】
(1)利用指数幂的运算法则即得解;
(2)利用对数的运算法则即得解.
【详解】(1)原式
(2)原式
【点睛】本题考查了指数与对数运算,考查了学生概念理解,数学运算能力,属于基础题.
18.已知集合 A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},
为
( )f x
2
, 2 1( ) 2 , 1 2
x xf x x x x
− ≤ ≤= − > < − 或
2 1x− ≤ ≤ 2 ( ) 1f x− ≤ ≤
1 2x x> < −或 ( ) 1f x < ( )f x
( ) 201 6 30.25 343 7 21.5 8 2 2 36 3
− × − + × + × −
1 32 4lg lg8 lg 2452 49 3
− +
1 3lg5 lg 22 2
−
1 11 13 2 33 34 42 2( ) 1 2 2 2 3 ( )3 3
×= × + × + × −
2 108 110= + =
15
3 2 2
2
1 2 4lg lg 2 lg(5 7 )2 7 3
= − + ×
1 1(5lg 2 2lg7) 4lg 2 (lg5+2lg7)2 2
= − − +
1 1(5lg 2 2lg7) 4lg 2 (lg5+2lg7)2 2
= − − +
3 1lg 2 lg52 2
= − +
(1)若 A 只有一个元素,试求 a 的值,并求出这个元素;
(2)若 A 是空集,求 a 的取值范围;
(3)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2) ;(3) 或
【解析】
【分析】
(1)根据方程为一次方程与二次方程分类讨论,对应求解得结果,(2)根据方程无解条件列
不等式,解得结果,(3)A 中至多只有一个元素就是 A 为空集,或有且只有一个元素,所以求
(1)(2)结果的并集即可.
【详解】(1)若 A 中只有一个元素,则方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个实根,
当 a=0 时,方程为一元一次方程,满足条件,此时 x=- ,
当 a≠0,此时△=4-4a=0,解得:a=1,此时 x=-1,
(2)若 A 是空集,
则方程 ax2+2x+1=0 无解,
此时△=4-4a<0,解得:a>1.
(3)若 A 中至多只有一个元素,
则 A 为空集,或有且只有一个元素,
由(1),(2)得满足条件的 a 的取值范围是:a=0 或 a≥1.
【点睛】本题考查方程的解与对应集合元素关系,考查基本分析求解能力,属基础题.
19.已知 ,求函数 的最大值和最小值.
【答案】 ,
【解析】
【分析】
由 , 求 解 x 的 范 围 , 令 , 转 化 为
,利用二次函数性质即得解.
【详解】
1a > 0a = 1a ≥
1
2
2 2 0x x− ≤
11 14 24 2
x x
y
−
= −
⋅
+
max 2y = min 1y =
2 2 0x x− ≤ 1
2
x
t =
11 14 24 2
x x
y
−
= −
⋅
+
( ) 24 4 2y f t t t= = − +
2 2 0 ( 2) 0x x x x− ≤ ∴ − ≤
故
而
令
则
当 即 时,
当 即 时,
【点睛】本题考查了指数与二次函数复合函数的值域问题,考查了学生综合分析,转化划归,
数学运算能力,属于中档题.
20.二次函数 满足 ,且 ,
(1)求 的解析式;
(2)在区间 上 的图象恒在 图象的上方,试确定实数 的范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)设 ,代入 , 待定系数即得解;
(2)转换 的图象恒在 图象上方为 ,令
,转化为二次函数在定区间的最小值即得解.
【详解】(1)由题设
∵
∴ 又
∴
∴
0 2x≤ ≤
1 2
4 2 41 1 1 1
2 2 24 2 4
x x x x
y
−
= − + = ⋅ ⋅
− ⋅ +
1 1 12 4
x
t x ≤ ≤
=
( ) 2
24 4 2 4 1
2 1y f t t t t
= = −
= − + +
1
2t = 1x = min 1y =
1t = 0x = max 2y =
( )f x ( ) ( )1 2f x f x x+ − = ( )0 1f =
( )f x
[ 11]− , ( )y f x= 2y x m= + m
2( ) 1f x x x= − + 1m < −
2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ ( ) ( )1 2f x f x x+ − = ( )0 1f =
2( ) 1y f x x x= = − + 2y x m= + 2 1 2x x x m− + > +
2( ) 3 1g x x x m= − + −
2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠
(0) 1f =
1c = ( 1) ( ) 2f x f x x+ − =
2 2( 1) ( 1) ( ) 2a x b x c ax bx c x+ + + + − + + =
2 2ax a b x+ + =
∴ ∴
∴
(2)当 时, 的图象恒在 图象上方
∴ 时 恒成立,即 恒成立
令 ,
时,
故只要 即可,
实数 的范围
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算能
力,属于中档题.
21.设 是定义在 上的奇函数,且对于任意 ,当 时,都有
.
(1)若 ,试比较 与 的大小;
(2)解不等式 .
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)利用函数奇偶性及 ,转化 为 即得解;
(2)利用函数单调性和定义域,列出不等式组,即得解.
【详解】(1)因为 ,所以 ,
由题意得: ,
所以
又 是定义在 上的奇函数,
2 2
0
a
a b
=
+ =
1
1
a
b
=
= −
2( ) 1f x x x= − +
[ 1,1]x∈ − 2( ) 1y f x x x= = − + 2y x m= +
[ 1,1]x∈ − 2 1 2x x x m− + > + 2 3 1 0x x m− + − >
2( ) 3 1g x x x m= − + −
[ 1,1]x∈ − 2
min( ) (1) 1 3 1 1 1g x g m m= = − × + − = − −
1m < −
m 1m < −
( )f x [ 11]− , , 11[ ]a b∈ − , 0a b+ ≠
( ) ( ) 0f a f b
a b
+ − >−
a b> ( )f a ( )f b
1 1
2 4f x f xæ ö æ öç ÷ ç ÷- < -ç ÷ ç ÷è ø è ø
( ) ( )f a f b> 1 5
2 4x x
− ≤ ≤
a b> ( ) ( ) 0f a f b
a b
+ − >− ( ) ( ) 0f a f b− >
a b> 0a b− >
( ) ( ) 0f a f b
a b
+ − >−
( ) ( ) 0f a f b+ − >
( )f x R
∴ ,
∴ ,即
(2)∵ 是 上的增函数,
∴不等式
等价于
∴原不等式的解集是 .
【点睛】本题考查了函数性质综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算能力,属于
中档题.
22.近年来,雾霾日趋严重,雾霾的工作、生活受到了严重的影响,如何改善空气质量已成为
当今的热点问题,某空气净化器制造厂,决定投入生产某型号的空气净化器,根据以往的生
产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律,每生产该型号空气净化器 (百台),其总成
本为 (万元),其中固定成本为 12 万元,并且每生产 1 百台的生产成本为 10 万元(总
成本=固定成本+生产成本),销售收入 (万元)满足 ,
假定该产品销售平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:
(1)求利润函数 的解析式(利润=销售收入-总成本);
(2)工厂生产多少百台产品时,可使利润最多?
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)12 .
【解析】
试题分析:(1)先求得 ,再由 ,由分段函数式可得所求;(2)
分别求出各段的最大值,注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法,然后比较两个最
值即可得到结果.
( ) ( )f b f b− = −
( ) ( ) 0f a f b− > ( ) ( )f a f b>
( )f x [ 1,1]−
1 1
2 4f x f xæ ö æ öç ÷ ç ÷- < -ç ÷ ç ÷è ø è ø
11 12
11 14
x
x
− ≤ − ≤
− ≤ − ≤
1 5
2 4x x
− ≤ ≤
x
( )P x
( )Q x
20.5 22 ,0 16( ) {
224, 16
x x xQ x
x
− + ≤ ≤=
>
( )y f x=
20.5 12 12,0 16( ) {
212 10 , 16
x x xf x
x x
− + − ≤ ≤=
− >
( )P x ( ) ( ) ( )f x Q x P x= −
试题解析:(1)由题意得
∴ .
(2)当 时, 函数 递减,∴ 万元
当 时,函数
当 时, 有最大值 60 万元
所以当工厂生产 12 百台时,可使利润最大为 60 万元 .
【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式,属于难题.与实际应
用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,
解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学
模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数,构造分段函数时,做到分段合理、不重
不漏,分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).
( ) 12 10P x x= +
( ) ( ) ( ) 20.5 12 12,0 16{
212 10 , 16
x x xf x Q x P x
x x
− + − ≤ ≤= − =
− >
16x > ( )f x ( ) ( )16 52f x f< =
0 16x≤ ≤ ( ) ( )20.5 12 60f x x= − − +
12x = ( )f x