数学卷·2018届海南省海南中学高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版） 24页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年海南省海南中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）‎ ‎1．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　）‎ A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n ‎2．空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（3，﹣2，1）关于xOz坐标平面对称的点的坐标是（　　）‎ A．（﹣3，﹣2，1） B．（3，2，1） C．（﹣3，2，﹣1） D．（﹣3，2，1）‎ ‎3．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到P∈平面ABC的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．已知a＞b＞0，则方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0的曲线在同一坐标系中大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．命题“若∥且∥，则∥”‎ B．命题“若x＞2015，则x＞0”的逆命题 C．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题 D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题 ‎6．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率是，则此双曲线的离心率等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎7．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底．若向量在基底下的坐标为（3，5，7），则在基底下的坐标是（　　）‎ A．（4，﹣2，7） B．（4，﹣1，7） C．（3，﹣1，7） D．（3，﹣2，7）‎ ‎8．直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2x+1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1‎ ‎9．设直线l经过椭圆的右焦点且倾斜角为45°，若直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知△ABC的三顶点分别为A（1，4，1），B（1，2，3），C（2，3，1）．则AB边上的高等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎12．已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A、B分别为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上一点，且PF⊥x轴．过顶点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．已知向量与向量分别是直线l与直线m的方向向量，则直线l与直线m所成角的余弦值为　　．‎ ‎14．已知平面α的一个法向量为，点A（2，6，3）在平面α内，则点D（﹣1，6，2）到平面α的距离等于　　．‎ ‎15．已知过点P（﹣1，1）且斜率为k的直线l与抛物线y2=x有且只有一个交点，则k的值等于　　．‎ ‎16．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别在面对角线AC，A1C上且CM=2MA，A1N=2ND．记向量，用表示．‎ ‎18．（12分）设条件p：2x2﹣3x+1≤0；条件q：（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0．若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点．M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=AB=2．‎ ‎（1）求证：MN∥平面ADD1A1；‎ ‎（2）求直线MN与平面PAE所成角的正弦值．‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PC上的一点．‎ ‎（1）求证：PA⊥DE；‎ ‎（2）在棱PC上是否存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为﹣，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（，），且离心率为，直线l过点P（3，0），且与椭圆C交于不同的A、B两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求•的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知动圆过定点P（2，0），且在y轴上截得弦长为4．‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹Q的方程；‎ ‎（2）已知点E（m，0）为一个定点，过E点分别作斜率为k1、k2的两条直线l1、l2，直线l1交轨迹Q于A、B两点，直线l2交轨迹Q于C、D两点，线段AB、CD的中点分别是M、N．若k1+k2=1，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年海南省海南中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）‎ ‎1．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　）‎ A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．‎ ‎【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎　‎ ‎2．空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（3，﹣2，1）关于xOz坐标平面对称的点的坐标是（　　）‎ A．（﹣3，﹣2，1） B．（3，2，1） C．（﹣3，2，﹣1） D．（﹣3，2，1）‎ ‎【考点】空间中的点的坐标．‎ ‎【分析】根据关于谁对称谁就不变，直接写对称点的坐标即可．‎ ‎【解答】解：空间直角坐标系O﹣xyz中，‎ 点A（3，﹣2，1）关于xOz坐标平面对称的点的坐标是（3，2，1）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了空间中点的对称点坐标的求法问题，记住某些结论将有利于解题；‎ 空间直角坐标系中任一点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为P1（a，b，﹣c）；‎ 关于坐标平面yOz的对称点为P2（﹣a，b，c）；‎ 关于坐标平面xOz的对称点为P3（a，﹣b，c）．‎ ‎　‎ ‎3．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到P∈平面ABC的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】共线向量与共面向量．‎ ‎【分析】根据题意，由空间向量基本定理可得：P∈平面ABC的充要条件是存在实数α、β、γ，使得=α+β+γ成立，且α+β+γ=1，实数α、β、γ有且仅有1组；据此依次分析选项，验证α+β+γ=1是否成立，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，‎ 若P∈平面ABC，则存在实数α、β、γ，使得=α+β+γ成立，且α+β+γ=1，实数α、β、γ有且仅有1组；‎ 据此分析选项：‎ 对于A：中， +（﹣）+=0≠1，不满足题意；‎ 对于B：中， ++（﹣1）≠1，满足题意；‎ 对于C： =++中，1+1+1=3≠1，不满足题意；‎ 对于D： =﹣﹣中，1+（﹣1）+（﹣1）=﹣1≠1，不满足题意；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查空间向量的共线与共面的判断，关键是掌握空间向量共面的判断方法．‎ ‎　‎ ‎4．已知a＞b＞0，则方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0的曲线在同一坐标系中大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】根据题意，a＞b＞0，可以整理椭圆a2x2+b2y2=1与抛物线ax+by2=0变形为标准形式，可以判断其焦点所在的位置，进而分析选项可得答案．‎ ‎【解答】解：由a＞b＞0，‎ 椭圆a2x2+b2y2=1，即=1，焦点在y轴上；‎ 抛物线ax+by2=0，即y2=﹣x，焦点在x轴的负半轴上；‎ 分析可得，D符合，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查由椭圆、抛物线的方程判断图象的方法，注意先判断曲线的形状，再分析焦点等位置．‎ ‎　‎ ‎5．下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．命题“若∥且∥，则∥”‎ B．命题“若x＞2015，则x＞0”的逆命题 C．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题 D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题 ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据向量平行判断A，写出命题的逆命题．即可判断B，写出命题的否命题，即可判断C，根据原命题和逆否命题为等价命题判断D ‎【解答】解：对于A：零向量和和非零向量都平行，故若∥且∥，则∥”为假命题，‎ 对于B：命题“若x＞2015，则x＞0”的逆命题为“若x＞0，则x＞2015”显然为假命题，‎ 对于C：命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“则若xy≠0，则x≠0且y≠0”为真命题，‎ 对于D：命题“若x2≥1，则x≥1”为假命题，则逆否命题也为假命题，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，比较基础．‎ ‎　‎ ‎6．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率是，则此双曲线的离心率等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意得=，利用e=，可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意得=，‎ ‎∴e===2，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎7．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底．若向量在基底下的坐标为（3，5，7），则在基底下的坐标是（　　）‎ A．（4，﹣2，7） B．（4，﹣1，7） C．（3，﹣1，7） D．（3，﹣2，7）‎ ‎【考点】空间向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】=3+5+7=4（+）﹣（﹣）+7，根据坐标定义可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意， =3+5+7=4（+）﹣（﹣）+7‎ ‎∴在基底下的坐标为（4，﹣1，7）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】考查基底的概念，空间向量坐标的概念，以空间向量基本定理．‎ ‎　‎ ‎8．直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2x+1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】把圆的方程整理为标准方程，找出圆心坐标与半径r，根据直线与圆有两个不同交点得到直线与圆相交，即圆心到直线的距离d小于半径r，求出m的范围，即可作出判断．‎ ‎【解答】解：圆方程整理得：（x﹣1）2+y2=1，‎ ‎∴圆心（1，0），半径r=1，‎ ‎∵直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2x+1=0有两个不同交点，‎ ‎∴直线与圆相交，即d＜r，‎ ‎∴＜1，即|m+1|＜，‎ 解得：﹣﹣1＜m＜﹣1，‎ 则直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2x+1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆有两个不同的交点即为直线与圆相交．‎ ‎　‎ ‎9．设直线l经过椭圆的右焦点且倾斜角为45°，若直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】直线l的方程为，联立，得5x2﹣8+8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出|AB|．‎ ‎【解答】解：∵直线l经过椭圆的右焦点且倾斜角为45°，‎ ‎∴直线l过点F（，0），斜率k=tan45°=1，‎ ‎∴直线l的方程为，‎ 联立，得5x2﹣8+8=0，‎ ‎﹣160=32＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，‎ ‎∴|AB|==．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎10．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】由已知得||=||=，||=a， =a，，cos＜＞=，由此能求出的值．‎ ‎【解答】解：∵正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，‎ ‎∴||=||==，||=a， =a，，‎ ‎∴cos＜＞===，‎ ‎=||•||•cos＜＞==．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理和向量数量积公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎11．已知△ABC的三顶点分别为A（1，4，1），B（1，2，3），C（2，3，1）．则AB边上的高等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】利用向量共线的充要条件及向量垂直的充要条件列出方程组，求出的坐标；利用向量模的坐标公式求出CD长．‎ ‎【解答】解：设=λ，又=（0，﹣2，2）．‎ 则=（0，﹣2λ，2λ）．=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣2λ+1，2λ），‎ 由•=0，‎ 得λ=，∴ =（﹣1，，），‎ ‎∴||=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查向量共线的充要条件、考查向量垂直的充要条件、考查向量模的坐标公式．‎ ‎　‎ ‎12．已知O为坐标原点，F是椭圆C：‎ 的左焦点，A、B分别为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上一点，且PF⊥x轴．过顶点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），‎ 令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±，可得P（﹣c，±）．‎ 设直线AE的方程为y=k（x+a），‎ 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），‎ 设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即，即为a=3c，‎ 可得e=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题 ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．已知向量与向量分别是直线l与直线m的方向向量，则直线l与直线m所成角的余弦值为　　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】直线l与直线m所成角的余弦值为|cos＜＞|，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵向量与向量 分别是直线l与直线m的方向向量，‎ ‎∴直线l与直线m所成角的余弦值为：‎ ‎|cos＜＞|===．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查两直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎14．已知平面α的一个法向量为，点A（2，6，3）在平面α内，则点D（﹣1，6，2）到平面α的距离等于　　．‎ ‎【考点】平面的法向量．‎ ‎【分析】点D（﹣1，6，2）到平面α的距离d=，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵平面α的一个法向量为，‎ 点A（2，6，3）在平面α内，点D（﹣1，6，2），‎ ‎∴=（﹣3，0，﹣1），‎ ‎∴点D（﹣1，6，2）到平面α的距离d==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎15．已知过点P（﹣1，1）且斜率为k的直线l与抛物线y2=x有且只有一个交点，则k的值等于　0或或　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】易知符合条件的直线存在斜率，设直线方程为：y﹣1=k（x+1），与抛物线方程联立消掉y得x的方程，按照x2‎ 的系数为0，不为0两种情况进行讨论，其中不为0时令△=0可求．‎ ‎【解答】解：当直线不存在斜率时，不符合题意；‎ 当直线存在斜率时，设直线方程为：y﹣1=k（x+1），‎ 代入抛物线y2=x，可得k2x2+（2k﹣1+2k2）x+k2+2k+1=0，‎ 当k=0时，方程为：﹣x+1=0，得x=1，此时只有一个交点（1，1），直线与抛物线相交；‎ 当k≠0时，令△=（2k﹣1+2k2）2﹣4k2（k2+2k+1）=0，解得k=或，‎ 综上，k的值等于0或或，‎ 故答案为：0或或．‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．‎ ‎　‎ ‎16．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】设P（m，n ），则=1，m≥，利用两个向量的数量积公式化简的 解析式为 m2+2m﹣1，据在[，+∞）上是增函数，求出其值域．‎ ‎【解答】解：由题意可得 c=2，b=1，故 a=．设P（m，n ），则=1，m≥．‎ ‎=（m，n ）•（m+2，n）=m2+2m+n2==m2+2m﹣1 关于 m=﹣对称，故在[，+∞）上是增函数，当 m=时有最小值为 3+2，无最大值，‎ 故的取值范围为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，两个向量的数量积公式，化简的 解析式，‎ 是解题的关键，并注意m的取值范围．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）（2016秋•龙华区校级期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别在面对角线AC，A1C上且CM=2MA，A1N=2ND．记向量，用表示．‎ ‎【考点】空间向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】利用空间向量基本定理，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵‎ ‎【点评】本题考查空间向量基本定理，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•龙华区校级期中）设条件p：2x2﹣3x+1≤0；条件q：（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0．若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，结合充分必要条件的定义，得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：设A={x|2x2﹣3x+1≤0}，B={x|（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0}，‎ 化简得A={x|}，B={x|a≤x≤a+1}． ‎ 由于¬p是¬q的必要不充分条件，‎ 故p是q的充分不必要条件，即A⊊B，‎ ‎∴，解得，‎ 故所求实数a的取值范围是．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查结合的包含关系以及命题的关系，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•龙华区校级期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点．M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=AB=2．‎ ‎（1）求证：MN∥平面ADD1A1；‎ ‎（2）求直线MN与平面PAE所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ADD1A1的一个法向量，证明，故，即可证明MN∥平面ADD1A1；‎ ‎（2）求出平面PAE的一个法向量，即可求直线MN与平面PAE所成角的正弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则故A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1）．‎ 因为E、P分别是BC、A1D1的中点，所以．‎ 因为M、N分别是AE、CD1的中点，所以．‎ ‎．‎ 因为y轴⊥平面ADD1A1，所以是平面ADD1A1的一个法向量．‎ 由于，故．‎ 又MN⊄平面ADD1A1，故MN∥平面ADD1A1．‎ ‎（2）解：．‎ 设平面PAE的一个法向量为，则，即x=4y=2z．‎ 取y=1，得．‎ 设直线MN与平面PAE所成的角为θ，则 因此直线MN与平面PAE所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线面平行，考查线面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•龙华区校级期中）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PC上的一点．‎ ‎（1）求证：PA⊥DE；‎ ‎（2）在棱PC上是否存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为﹣，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】几何法：‎ ‎（1）推导出CD⊥平面PAD，从而PA⊥CD，进而PA⊥平面PCD，由此能证明PA⊥DE．‎ ‎（2）取AD的中点O，连接PO，CO，设CO与BD交于点F．推导出CD⊥‎ 平面ABCD，从而∠EFO是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出棱PC上存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为，并且．‎ 向量法：‎ ‎（1）取AD的中点O，连接PO，OB，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA⊥DE．‎ ‎（2）求出平面BDA的一个法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出棱PC上存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为，并且．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 几何法：‎ 证明：（1）∵平面PAD⊥底面ABCD，‎ 平面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD ‎∴CD⊥平面PAD（面面垂直的性质定理），‎ ‎∴PA⊥CD（线面垂直的定义），‎ 又∵PA⊥PD，CD∩PD=D，‎ ‎∴PA⊥平面PCD（线面垂直的判定定理）‎ ‎∴PA⊥DE（线面垂直的定义）．‎ 解：（2）如图，取AD的中点O，连接PO，CO，设CO与BD交于点F．‎ 等腰直角三角形PAD中，PO⊥AD，‎ ‎∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，‎ ‎∴CD⊥平面ABCD（面面垂直的性质定理）．‎ ‎∴PO⊥CO，PO⊥BD（线面垂直的定义）‎ 由题意知四边形BCDO是正方形，CO⊥BD，∴BD⊥平面POC（线面垂直的判定定理），‎ ‎∴BD⊥EF（线面垂直的定义），∴∠EFO是二面角E﹣BD﹣A的平面角，‎ ‎∴，∴，‎ 由题意知PO=1，，∴‎ 注意到直角△POC中，，‎ ‎∴∠EFC+∠ECF=90°，即EF⊥CE，‎ ‎∴，∴，即．‎ 故棱PC上存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为，并且．‎ 向量法：‎ 证明：（1）取AD的中点O，连接PO，OB ‎∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，‎ ‎∴CD⊥平面ABCD（面面垂直的性质定理），‎ 由题意知四边形BCDO是正方形，OA⊥OB ‎∴可如图建立空间直角坐标系，‎ 则P（0，0，1），C（﹣1，1，0），A（1，0，0），D=（﹣1，0，0），‎ ‎，，，‎ ‎∵E为棱PC上的一点，∴可设．‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，即PA⊥DE．‎ 解：（2）平面BDA的一个法向量为，‎ 设平面BDE的法向量为，‎ 由（1），‎ ‎∴⇒⇒，‎ 令x0=1，则y0=﹣1，，‎ 即面BDE的一个法向量，‎ ‎∴，‎ 整理得3λ2﹣4λ+1=0，解得或λ=1．‎ ‎∵λ∈（0，1），∴．‎ 故棱PC上存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为，并且．‎ ‎【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•龙华区校级期中）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（，），且离心率为，直线l过点P（3，0），且与椭圆C交于不同的A、B两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求•的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由椭圆的离心率e===，则=①，将M（，），代入椭圆方程，即可求得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设其方程为：y=k（x﹣3），代入椭圆方程，由△＞0，解得：k2＜， =（x1﹣3，y1），=（x2﹣3，y2），则•=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=（k2+1）[x1x2﹣3（x1+x2）+9]，由韦达定理可知，代入求得•=2+，由k的取值范围，即可求得•的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由已知可得：由椭圆的离心率e===，则=①，‎ 由点M（，）在椭圆上，②，解得：a2=6，b2=4，‎ ‎∴椭圆C的方程为：； ‎ ‎（2）①当直线l的斜率不存在时，l的方程为：x=3与椭圆无交点．‎ 故直线l的斜率存在，设其方程为：y=k（x﹣3），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，整理得：（3k2+2）x2﹣18k2x+27k2﹣12=0，‎ ‎∵△=（18k2）2﹣4（3k2+2）（27k2﹣12）＞0，解得：k2＜，‎ x1+x2=，x1x2=，（6分）‎ ‎∵=（x1﹣3，y1），=（x2﹣3，y2）‎ ‎∴•=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=（x1﹣3）（x2﹣3）+k2（x1﹣3）（x2﹣3），‎ ‎=（k2+1）[x1x2﹣3（x1+x2）+9]‎ ‎=（k2+1）（﹣+9）=‎ ‎=2+，（10分）‎ ‎∵0≤k2≤，‎ ‎∴＜≤，‎ ‎∴＜2+≤3，‎ ‎∴•∈（，3]．（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•龙华区校级期中）已知动圆过定点P（2，0），且在y轴上截得弦长为4．‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹Q的方程；‎ ‎（2）已知点E（m，0）为一个定点，过E点分别作斜率为k1、k2的两条直线l1、l2，直线l1交轨迹Q于A、B两点，直线l2交轨迹Q于C、D两点，线段AB、CD的中点分别是M、N．若k1+k2=1，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）设动圆圆心为O1（x，y），动圆与y轴交于R，S两点，由题意，得|O1P|=|O1S|，由此得到=，从而能求出动圆圆心的轨迹Q的方程．‎ ‎（2）由，得，由已知条件推导出M、N的坐标，由此能证明直线MN恒过定点（m，2）．‎ ‎【解答】解：（1）设动圆圆心为O1（x，y），动圆与y轴交于R，S两点．‎ 由题意，得|O1P|=|O1S|．‎ 当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥RS交RS于H，则H是RS的中点．‎ ‎∴|O1S|=．‎ 又|O1P|=，‎ ‎∴=，化简得y2=4x（x≠0）．‎ 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为（0，0）也满足方程y2=4x．‎ ‎∴动圆圆心的轨迹Q的方程为y2=4x．‎ ‎（2）证明：由，得．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则．‎ 因为AB中点，所以．‎ 同理，点．‎ ‎∴‎ ‎∴直线MN：，即y=k1k2（x﹣m）+2‎ ‎∴直线MN恒过定点（m，2）．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎