四川省宜宾市叙州区二中2020届高三下学期第一次在线月考数学（理）试题 12页

‎2020年春四川省叙州区二中高三第一学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合,则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．定义运算，若，则复数对应的点在 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 ‎ A．年接待游客量逐年增加 B．各年的月接待游客量高峰期在8月 C．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的 ‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎5．已知均为单位向量，若，则与的夹角为 A． B． C． D．‎ ‎6．函数 在的图像大致为 ‎ A．B．C．D．‎ ‎7．的展开式中的系数为 ‎ A．320 B．300 C．280 D．260‎ ‎8．5人并排站成一行，如果甲乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是（ ）‎ A．12 B．36 C．72 D．120‎ ‎9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为 ‎ A． ‎ B． ‎ ‎ C．6 D．‎ ‎10．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设，，则 ‎ A．且 B．且 C．且 D．且 ‎12．过双曲线的右支上一点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，则的最小值为 ‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知，，，则向量在方向上的投影为__________．‎ ‎14．的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.‎ ‎15．在直三棱柱中，且,，设其外接球的球心为，且球的表面积为，则的面积为__________.‎ ‎16．以抛物线：的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则等于__________．‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）设为等差数列的前项和，，.‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）若成等比数列，求.‎ ‎18．（12分）每年七月份，我国J地区有25天左右的降雨时间，如图是J地区S镇2000-2018年降雨量（单位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：‎ ‎（I）假设每年的降雨天气相互独立，求S镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过350mm的概率；‎ ‎（II）在S镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元．而乙品种水果的亩产量m（kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01×m（元/kg），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；‎ 降雨量 ‎[100，200）‎ ‎[200，300）‎ ‎[300，400）‎ ‎[400，500）‎ 亩产量 ‎500‎ ‎700‎ ‎600‎ ‎400‎ ‎19．（12分）如图，梯形中，，，，将沿折到的位置，使得平面平面.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求二面角的余弦值.‎ ‎20．已知点，直线为平面内的动点，过点作直线 的垂线，垂足为点，且.‎ ‎（I）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（II）过点作两条互相垂直的直线与分别交轨迹于四点.求的取值范围.‎ ‎21．已知函数在区间上为增函数，.‎ ‎（I）求实数的取值范围；‎ ‎（II）当取最大值时，若直线：是函数的图像的切线，且，求的最小值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.‎ ‎（I）求曲线的普通方程，曲线的参数方程；‎ ‎（II）若分别为曲线，上的动点，求的最小值，并求取得最小值时，点的直角坐标.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 ‎（I）如果关于的不等式无解，求实数的取值范围；‎ ‎（II）若为不相等的正数，求证：.‎ ‎2020年春四川省叙州区二中高三第一学月考试 理科数学参考答案 ‎1．C 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C 9．C 10．C 11．B 12．A ‎13．3 14． 15． 16．.‎ ‎17．（1），，‎ 故.‎ ‎（2）由（1）知，.‎ ‎，，成等比数列，，‎ 即，解得，故.‎ ‎18．（1）频率分布直方图中第四组的频率为 该地区在梅雨季节的降雨量超过的概率为 所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率为 ‎（或.）‎ ‎（2）据题意，总利润为元，其中.‎ 所以随机变量（万元）的分布列如下表：‎ ‎ ‎ ‎27‎ ‎35‎ ‎31.2‎ ‎22.4‎ ‎ ‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ 故总利润（万元）的期望 ‎ （万元）‎ 因为，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润（万元）的期望更大.‎ ‎19．（1）在梯形中，过作于，‎ 则，又，所以，‎ ‎，，故，即.‎ 又平面平面，平面平面，‎ 平面，所以平面，‎ 又平面，所以.‎ ‎（2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 ‎，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量，则，‎ 即，解得，‎ 令，得，‎ 设平面的法向量，则，‎ 即，解得，‎ 令，得，‎ 所以，‎ 结合图形可知，二面角为钝角，它的余弦值为.‎ ‎20．（1）设动点，则，‎ 由，则，‎ 所以，化简得.‎ 故点的轨迹的方程为.‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，轴，‎ 可设，‎ ‎，‎ 当直线的斜率为0时，轴，同理得， ‎ 当直线的斜率存在且不为0时，设为，则直线的方程为：，‎ 设，由得:‎ ‎， ‎ 则 所以，‎ 则，‎ 直线的方程为：，‎ 同理可得：，‎ 所以 令，则 ‎，，‎ 由，得；，得；在上单调递减，在上单调递增 ‎，又，故.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎21．（1）∵，∴．‎ 又函数 在区间上为增函数，‎ ‎∴在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立．‎ 令，‎ 则当时，取得最小值，且，∴，‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎（2）由题意的，则，‎ 设切点坐标为，则切线的斜率，‎ 又，∴，‎ ‎∴．‎ 令，‎ 则，‎ 故当时，单调递减；当时，单调递增．‎ ‎∴当时，有最小值，且，∴的最小值为．‎ ‎22．（1）由曲线的参数方程为（为参数），‎ 消去，得，由，‎ 即，，即，‎ 的参数方程为（为参数）.‎ ‎（2）设曲线上动点为Q，则点到直线的距离：‎ d=, ‎ 当时，即时， 取得最小值，即的最小值为，‎ ‎，.‎ ‎23．（1）令 ，‎ 则当时，；当时，；当时，，‎ 综上可得，即．‎ 故要使不等式的解集是空集，则有，所以实数的取值范围为．‎ ‎（2）证明：由为不相等的正数，‎ 要证，即证，只需证，整理得，‎ ‎①当时，，可得，‎ ‎②当时，，可得，‎ 综上可得当均为正数时，从而成立．‎