数学卷·2018届浙江省绍兴市诸暨中学高二上学期期中数学试卷 （解析版） 29页

‎2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.把答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎1．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　）‎ A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0‎ C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0‎ ‎2．椭圆和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么|PF1|•|PF2|的值是（　　）‎ A．m﹣a B．m2﹣a2 C． D．‎ ‎3．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（　　）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 ‎5．设有直线m、n和平面α、β．下列四个命题中，正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m⊈α，则m∥α ‎6．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎7．已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=（　　）‎ A．± B．± C．1或7 D．4±‎ ‎8．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（　　）‎ A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值 B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值 C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大 D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小 ‎10．如图四边形ABCD，AB=BD=DA=2．BC=CD=，现将△ABD沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小在[，]‎ ‎，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（　　）‎ A．[0，]∪（，1） B．[，] C．[0，] D．[0，]‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎11．已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为　　．‎ ‎12．已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是　　，半径是　　．‎ ‎13．如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是　　．‎ ‎14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值是　　．‎ ‎15．一个几何体的三视图如图所示，求此几何体的体积．‎ ‎16．设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是　　．‎ ‎17．如图所示，已知双曲线﹣=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）‎ ‎18．（10分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．‎ ‎（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程； （写一般式）‎ ‎（2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．‎ ‎19．（10分）如图，在几何体P﹣ABCD中，平面ABCD⊥‎ 平面PAB，四边形ABCD为矩形，△PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E，F 分别为AC，BP中点．‎ ‎（Ⅰ）求证EF∥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．‎ ‎20．（10分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且BE⊥PD．‎ ‎（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣B的大小．‎ ‎21．（10分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一个动点M到左焦点F1的距离的最大值 为+1‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线L的斜率为k，且过左焦点F1，与椭圆C相交于P、Q两点，若△PQF2的面积为，试求k的值及直线L的方程．‎ ‎22．（12分）分别过椭圆E： =1（a＞b＞0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.把答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎1．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　）‎ A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0‎ C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．‎ ‎【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，‎ 所以=，所以b=±5，‎ 所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．椭圆和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么|PF1|•|PF2|的值是（　　）‎ A．m﹣a B．m2﹣a2 C． D．‎ ‎【考点】圆锥曲线的共同特征．‎ ‎【分析】不妨设P在双曲线的右支上，则|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|﹣|PF2|‎ ‎=2a，由此即可求得|PF1|•|PF2|的值．‎ ‎【解答】解：由题意，不妨设P在双曲线的右支上，则|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|﹣|PF2|=2a ‎∴|PF1|=m+a，|PF2|=m﹣a ‎∴|PF1|•|PF2|=m2﹣a2‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆、双曲线的标准方程，考查椭圆、双曲线的定义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项 ‎【解答】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A 若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；‎ 若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为C；‎ 若俯视图为D，则正视图中上图中间还有一条虚线，故该几何体的俯视图不可能是D 故选D ‎【点评】本题考查三视图与直观图的关系，考查空间想象能力，作图能力．‎ ‎　‎ ‎4．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（　　）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 ‎【考点】平面图形的直观图．‎ ‎【分析】由图形和A′O′=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B'C'，AO⊥BC，且AO=，故三角形为正三角形．‎ ‎【解答】解：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，‎ ‎∵A′O′=‎ ‎∴AO=‎ ‎∵B′O′=C′O′=1∴BC=2‎ ‎∴AB=AC=2‎ ‎∴△ABC为正三角形．‎ 故选A ‎【点评】本题考查了平面图形的直观图的画法及其先关性质，把握好直观图与原图形的关系，是个基础题．‎ ‎　‎ ‎5．设有直线m、n和平面α、β．下列四个命题中，正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m⊈α，则m∥α ‎【考点】命题的真假判断与应用；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】由题意设有直线m、n和平面α、β，在此背景下对四个选项逐一判断找出正确选项，A选项可由线线平行的条件作出判断，B选项可由面面平行的条件作出判断，C选项可由线面垂直的条件作出判断，D选项可由线面平行的条件作出判断．‎ ‎【解答】解：当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确，‎ B选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B不正确，‎ C选项再加上m垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C不正确，‎ D选项中由α⊥β，m⊥β，m⊈α，可得m∥α，故是正确命题 故选D ‎【点评】本题考点是命题真假的判断与应用，考查了线线平行的判定，面面平行的判定，线面垂直的判定，线面平行的判定，解题的关键是有着较强的空间想像能力，能根据题设条件想像出实物图形，本题考查了空间想像能力，推理判断的能力，命题真假的判断与应用题是近几年高考的热点，主要得益于其考查的知识点多，知识容量大，符合高考试卷命题精、博的要求 ‎　‎ ‎6．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】连接B1G，EG，先利用长方形的特点，证明四边形A1B1GE为平行四边形，从而A1E∥B1G，所以∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角，再在三角形B1GF中，分别计算三边的长度，利用勾股定理即可得此角的大小 ‎【解答】解：如图：连接B1G，EG ‎∵E，G分别是DD1，CC1的中点，‎ ‎∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形 ‎∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角 在三角形B1GF中，B1G===‎ FG===‎ B1F===‎ ‎∵B1G2+FG2=B1F2‎ ‎∴∠B1GF=90°‎ ‎∴异面直线A1E与GF所成角为90°‎ 故选 D ‎【点评】本题考查了空间异面直线所成的角的作法、证法、算法，长方体的性质及其中的数量关系的应用，将空间问题转化为平面问题的思想方法 ‎　‎ ‎7．已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=（　　）‎ A．± B．± C．1或7 D．4±‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4的圆心C（1，a），半径R=2，‎ ‎∵直线和圆相交，△ABC为等边三角形，‎ ‎∴圆心到直线的距离为Rsin60°=，‎ 即d==，‎ 平方得a2﹣8a+1=0，‎ 解得a=4±，‎ 故选：D ‎【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定．‎ ‎【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．‎ ‎【解答】解：设双曲线方程为，‎ 则F（c，0），B（0，b）‎ 直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，‎ 所以，即b2=ac 所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，‎ 所以或（舍去）‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（　　）‎ A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值 B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值 C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大 D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小 ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后根据余弦函数的单调性可判断e1的单调性；同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的关系．‎ ‎【解答】解：连接BD，AC设AD=t，则BD==‎ ‎∴双曲线中a=‎ e1=‎ ‎∵y=cosθ在（0，）上单调减，进而可知当θ增大时，y==减小，即e1减小 ‎∵AC=BD ‎∴椭圆中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣cosθ）‎ AC+AD=+t，∴a'=（+t）‎ e2==‎ ‎∴e1e2=×=1‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的离心率的表示，考查考生对圆锥曲线的性质的应用，圆锥曲线是高考的重点每年必考，平时要注意基础知识的积累和练习．‎ ‎　‎ ‎10．如图四边形ABCD，AB=BD=DA=2．BC=CD=，现将△ABD沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小在[，]，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（　　）‎ A．[0，]∪（，1） B．[，] C．[0，]‎ ‎ D．[0，]‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．‎ ‎【解答】解：取BD中点O，连结AO，CO，‎ ‎∵AB=BD=DA=2．BC=CD=，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO=1，AO=，‎ ‎∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，‎ 以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，‎ 过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，‎ B（0，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），‎ 设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，‎ 连AO、BO，则∠AOC=θ，A（），‎ ‎∴，，‎ 设AB、CD的夹角为α，‎ 则cosα==，‎ ‎∵，∴cos，∴|1﹣|∈[0，]．‎ ‎∴cos．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎11．已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，‎ ‎∴，解得，a=2‎ ‎∴双曲线的方程为 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是　（﹣2，﹣4）　，半径是　5　．‎ ‎【考点】圆的一般方程．‎ ‎【分析】由已知可得a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2，把a=﹣1代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a=2代入原方程，由D2+E2﹣4F＜0说明方程不表示圆，则答案可求．‎ ‎【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，‎ ‎∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．‎ 当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，‎ 配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；‎ 当a=2时，方程化为，‎ 此时，方程不表示圆，‎ 故答案为：（﹣2，﹣4），5．‎ ‎【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．‎ ‎　‎ ‎13．如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是　x+2y﹣8=0　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】若设弦的端点为M（x1，y1）、N（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．‎ ‎【解答】解：设弦的端点为M（x1，y1）、N（x2，y2），‎ 代入椭圆方程+=1，得 ‎9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；‎ ‎①﹣②，得9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；‎ 由中点坐标=4， =2，代入上式，得 ‎36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴直线斜率为k==﹣，‎ 所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），‎ 即x+2y﹣8=0．‎ 故答案为：x+2y﹣8=0．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥曲线的中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值是　　．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】以D为原点，AD为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：以D为原点，AD为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，‎ 则B（1，1，0），C1（0，1，1），D（0，0，0），D1（0，0，1），‎ ‎=（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，1，0），‎ 设平面BB1D1D的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=1，得=（1，﹣1，0），‎ 设直线BC1与平面BB1D1D所成角为θ，‎ 则sinθ===，‎ ‎∴cosθ==，‎ ‎∴直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎15．一个几何体的三视图如图所示，求此几何体的体积．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，高为3，下部为正方体，边长为4的组合体．分别求得体积再相加．‎ ‎【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高h1=3，正方体棱长为4‎ V正方体=Sh2=42×4=64‎ V四棱锥=Sh1=×42×3=16‎ 所以V=64+16=80‎ ‎【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键 ‎　‎ ‎16．设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由双曲线x2﹣=1，得a2=1，b2=3，‎ ‎∴．‎ 不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，‎ 把x=2代入x2﹣=1，得y=±3，即|PF2|=3，‎ 此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；‎ 由PF1⊥PF2，得，‎ 又|PF1|﹣|PF2|=2，①‎ 两边平方得：，‎ ‎∴|PF1||PF2|=6，②‎ 联立①②解得：，‎ 此时|PF1|+|PF2|=．‎ ‎∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（）．‎ 故答案为：（）．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎17．如图所示，已知双曲线﹣=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先求出直线l的方程为y=（x﹣c），与y=±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±x，‎ ‎∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，‎ ‎∴kl=，‎ ‎∴直线l的方程为y=（x﹣c），‎ 与y=±x联立，可得y=﹣或y=，‎ ‎∵，‎ ‎∴=2•，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∴c=2b，‎ ‎∴e==．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）‎ ‎18．（10分）（2014秋•咸阳期末）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．‎ ‎（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程； （写一般式）‎ ‎（2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】（1）先求出圆的圆心坐标，从而可求得直线l的斜率，再由点斜式方程可得到直线l的方程，最后化简为一般式即可．‎ ‎（2）先根据点斜式方程求出方程，再由点到线的距离公式求出圆心到直线l的距离，进而根据勾股定理可求出弦长．‎ ‎【解答】解：（1）圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），‎ 因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，‎ 直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．‎ ‎（2）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，‎ 直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0‎ 圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．‎ ‎【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，高考中对直线与圆的方程的考查以基础题为主，故平时就要注意基础知识的积累和应用，在考试中才不会手忙脚乱．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）（2016秋•诸暨市校级期中）如图，在几何体P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四边形ABCD为矩形，△PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E，F 分别为AC，BP中点．‎ ‎（Ⅰ）求证EF∥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（I）连结BD，则E为BD的中点，利用中位线定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；‎ ‎（II）取AB中点O，连接PO，DO，得出PO⊥平面ABCD，于是，∠PDO为DP与平面ABCD所成角，求出OP，DP，得直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：因为E为AC中点，所以DB与AC交于点E．‎ 因为E，F分别为AC，BP中点，所以EF是△BDP的中位线，‎ 所以EF∥DP．‎ 又DP⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，‎ 所以EF∥平面PCD．‎ ‎（Ⅱ）解：取AB中点O，连接PO，DO．‎ ‎∵△PAB为正三角形，∴PO⊥AB，‎ 又∵平面ABCD⊥平面PAB ‎∴PO⊥平面ABCD，∴DP在平面ABCD内的射影为DO，∠PDO为DP与平面ABCD所成角，‎ OP=，DP=，在Rt△DOP中，sin∠PDO=，‎ ‎∴直线DP与平面ABCD所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，作出线面角并证明是解题关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2016秋•诸暨市校级期中）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且BE⊥PD．‎ ‎（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣B的大小．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由于直线PA与CD不在同一平面内，要把两条异面直线移到同一平面内，做AF∥CD，异面直线PA与CD所成的角与AF与PA所成的角相等．‎ ‎（Ⅱ）证明CD⊥平面PDB，可得CD⊥BE，结合BE⊥PD即可得证．‎ ‎（Ⅲ）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD．过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD，则∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：取BC中点F，连接AF，则CF=AD，且CF∥AD，‎ ‎∴四边形ADCF是平行四边形，‎ ‎∴AF∥CD，‎ ‎∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角 ‎∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．‎ ‎∵PB=AB=BF=1，‎ ‎∴AB⊥BC，‎ ‎∴PA=PF=AF=．‎ ‎∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°‎ 即异面直线PA与CD所成的角等于60°．‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．‎ ‎∴CD⊥BD 又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、‎ ‎∵PB∩BD=B，‎ ‎∴CD⊥平面PBD，‎ ‎∴CD⊥BE ‎∵CD∩PD=D，BE⊥PD ‎∴BE⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅲ）解：连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD、‎ ‎∵PB⊥平面ABCD，‎ ‎∴平面PBD⊥平面ABD，‎ ‎∴AO⊥平面PBD、‎ 过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD、‎ ‎∴∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．‎ 在Rt△ABD中，AO=．‎ 在Rt△PAD中，AH==．‎ 在Rt△AOH中，sin∠AHO==．‎ ‎∴∠AHO=60°．‎ 即二面角A﹣PD﹣B的大小为60°．‎ ‎【点评】此题主要考查异面直线的角度、二面角的平面角的计算，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2016秋•诸暨市校级期中）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一个动点M到左焦点F1的距离的最大值 为+1‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线L的斜率为k，且过左焦点F1，与椭圆C相交于P、Q两点，若△PQF2的面积为，试求k的值及直线L的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由，a+c=，可得a、b、c；‎ ‎（Ⅱ）联立化简，结合韦达定理求解求得PQ，用距离公式得点F2到直线l的距离d，s△PQF2=|PQ|•d=，即可求得k．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ），a+c=∴‎ ‎．椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）F1（﹣1，0），F2（1，0），直线l：y=k（x+1），‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2）‎ 联立得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0‎ ‎∴．‎ ‎=，‎ 点F2到直线l的距离，‎ ‎∴s△PQF2=|PQ|•d=‎ 化简得：16k4+16k2﹣5=0，‎ ‎（4k2+5）（4k2﹣1）=0，∴k2=，k=±‎ ‎∴直线l的方程为x±2y+1=0．‎ ‎【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2015•山西四模）分别过椭圆E： =1（a＞b＞0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出椭圆E的方程．‎ ‎（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．‎ ‎【解答】解：（1）当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，‎ 即k3=﹣k4，‎ ‎∴l2垂直于x轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，‎ 解得a=，b=，‎ ‎∴椭圆E的方程为．‎ ‎（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），‎ 当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），‎ 当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），由，‎ 得，‎ ‎∴，，‎ ‎===，‎ 同理k3+k4=，‎ ‎∵k1+k2=k3+k4，‎ ‎∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，‎ 由题意知m1≠m2，‎ ‎∴m1m2+2=0，‎ 设P（x，y），则，‎ 即，x≠±1，‎ 由当直线l1或l2斜率不存在时，‎ P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，‎ ‎∴点P（x，y）点在椭圆上，‎ ‎∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），‎ 使得|PM|+|PN|为定值2．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值的判断与证明，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，解题时要注意函数与方程思想、等价转化思想的合理运用．‎ ‎　‎