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- 2021-06-10 发布
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广东省汕头市2017届高三上学期期末教学质量监测
理科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合,,全集,则( )
A. B. C. D.
2.设复数,,其中为虚数单位,则( )
A. B. C. D.
3.圆的圆心到直线的距离为1,则( )
A. B. C. D.2
4.函数的图象与轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,若要得到函数的图象,只要将的图象( )个单位
A.向左平移 B.向左平移 C. 向左平移 D.向左平移
5.函数的图象大致是( )
6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的,,依次输入的为2,2,5,则输出的( )
A.7 B.12 C. 17 D.34
7.假设你家订了一份牛奶,奶哥在早上6:00~7:00之间随机地把牛奶送到你家,而你在早上6:30~7:30之间随机第离家上学,则你在理考家前能收到牛奶的概率是( )
A. B. C. D.
8.设等比数列的前项和为,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.将二项式展开式各项重新排列,则其中无理项互不相邻的概率是( )
A. B. C. D.
10.已知定义在上的函数满足,且当时,成立,若,,,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
11.设,且,则( )
A. B. C. D.
12.在平面内,定点满足,,动点满足,,则的最大值是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.命题“若,则”的否命题为 .
14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .
15.为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器,这种仪器可以弹射到空中进行气候观测,如图所示,三地位于同一水平面上,这种仪器在地进行弹射实验,观测点两地相距100米,,在地听到弹射声音比地晚秒(已知声音传播速度为340米/秒),在地测得该仪器至高点处的仰角为,则这种仪器的垂直弹射高度 .
16.设变量满足约束条件,且的最小值是
,则实数 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分12分)数列的前项和满足,且成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18. (本小题满分12分)如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,,,是上的一点,.
(1)证明:平面;
(2)设二面角为,求直线与平面所成角的大小.
19.(本小题满分12分)为评估设备生产某种零件的性能,从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径/
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值.
(Ⅰ)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率);①;
②;③.
评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备的性能等级.
(2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
(ⅰ)从设备的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望;
(ⅱ)从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望.
20.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆及其上一点
(1)设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程;
(2)设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程;
(3)设点满足:存在圆上的两点和,使得求实数的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知,曲线在处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)求在上的最大值;
(3)证明:当时,.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆
的极坐标方程为,.
(1)求的参数方程;
(2)设点在上,在处的切线与直线垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定的坐标.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知,,函数的最小值为2.
(1)求的值;
(2)证明:与不可能同时成立.
试卷答案
一、选择题
1-5: CDADD 6-10:CDCAB 11、12:DB
二、填空题
13.若,则 14. 15.米 16.
三、解答题
17.(1)由题意,当时,,又因为,且,则,所以,又成等差数列,则,所以,解得,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,所以.
(2)由(1)知,∴,
∴
.
18.(1)解法一:因为底面为菱形,所以,又底面,所以.
设,连结,因为,故
,
解法二:以为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,其中,则,于是,从而,故,又,所以平面.
(2),设为平面的法向量,则,即且,令,则,设为平面的法向量,则,即且,令,则,所以,因为面面,故,即,故,于是,,,所以,因为与平面所成角和互余,故与平面所成角的角为.
19.(1)由题意知道:,
所以由图表知道:
所以该设备的性能为丙级别.
(2)由图表知道:直径小于或等于的零件有2件,大于的零件有4件共计6件
(i)从设备的生产流水线上任取一件,取到次品的概率为,
依题意,故.
(ii)从100件样品中任意抽取2件,次品数的可能取值为0,1,2
故.
20.解:圆的标准方程为,所以圆心,半径为5.
(1)由圆心在直线上,可设,因为与轴相切,与圆外切,所以,于是圆的半径为,从而,解得.因此,圆的标准方程为.
(2)因为直线,所以直线的斜率为.
设直线的方程为,即,则圆心到直线的距离
因为 而 所以,解得或.
故直线的方程为或.
(3)设.
因为,所以……①
因为点在圆上,所以,将①代入②,得.
于是点既在圆上,又在圆上,从而圆与圆有公共点,所以,解得.因此,实数的取值范围是.
21.(1),由题设得,,解得.
(2)由(1)知,∴,,∴在上单调递减,在上单调递增,所以,所以在上单调递增,所以.
(3)因为,又由(2)知,过点,且在处的切线方程为,故可猜测:当时,的图象恒在切线的上方.
下证:当当时,
设,则,
由(2)知,在上单调递减,在上单调递增,
又,∴,
所以,存在,使得,
所以,当时,;当时,,故在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
又,∴,当且仅当时取等号,故.
由(2)知,,即,
所以,即成立,当时,等号成立.
22.解:(1)由题意知:,,所以,,即,可化为,,可得的参数方程为(为参数,).
(2)设,由(1)知是以为圆心,1为半径的上半圆,因为在点处的切线与垂直,所以直线与的斜率相同,
∴,解得,即,故的直角坐标为,即.
23.(1)∵,∴.
(2)∵且,由基本不等式知道:,∴
假设与同时成立,则由及,得
同理,∴,这与矛盾,故与不可能同时成立.