2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期第二次月考数学（理）试题 Word版 10页

‎2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期第二次月考数学科（理科）试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.‎ ‎1、命题“存在R，0”的否定是 ‎ A.不存在R,0 B.存在R,0 ‎ C.对任意的,0 D.对任意的,0‎ ‎2、若，，则下列命题成立的个数为 ‎①；②；③；④。‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3、已知等差数列的前项和为，若，则=（　　）‎ A．13 B．35 C．49 D．63‎ ‎4、在空间直角坐标系中点关于平面对称点的坐标是（　　）‎ A．（1，﹣5，6） B．（1，5，﹣6） C．（﹣1，﹣5，6） D．（﹣1，5，﹣6）‎ ‎5、已知左、右焦点分别为的双曲线上一点，且，‎ 则（　　） A．1或33 B．1 C．33 D．1或11‎ ‎6、若，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．7‎ ‎7、椭圆的一个焦点是，那么实数的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8、有如下3个命题；‎ ‎①双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是定值；‎ ‎②双曲线的离心率分别是，则是定值；‎ ‎③过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是 ‎，则直线过定点；其中正确的命题有（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎9、两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于 （　　）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、已知正方体，过顶点作平面，使得直线和与平面所成的角都为，这样的平面可以有（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎11、边长为的正方形，将沿对角线折起，使为正三角形，则直线和平面所成的角的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12、已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13、等比数列中，前项和，则等于　　． ‎ ‎14、直线经过抛物线的焦点，且抛物线交于两点，若，则直线的斜率为　　．‎ ‎15、在平行六面体中，已知，，=　　．‎ ‎16、已知实数若满足，则的最小值是　　．‎ 三、解答题:本大题共6小题，共70分.‎ ‎17、(本小题满分10分)已知命题：方程的曲线是焦点在 轴上的双曲线；命题：方程无实根．若或为真，￢为真，求实数的取值范围．‎ ‎18、(本小题满分12分)（1）已知，且，‎ 求证：；‎ ‎（2）解关于的不等式：．‎ ‎19、(本小题满分12分)‎ 设正项等比数列的首项，前项和为，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项；‎ ‎（Ⅱ）求的前项和．‎ ‎20、(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为，为坐标原点，是抛物线上异于的两点．（ I）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点．‎ ‎21、(本小题满分12分)如图1，在直角中，，分别为中点，连接并延长交于点，将沿折起，使平面如图2所示．（1）求证：；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎22．(本小题满分12分)已知椭圆，倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，且线段的中点为．过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点，且满足，其中为实数．当直线平行于轴时，对应的．（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．‎ ‎2018—2019学年度上学期第二次阶段测试高二数学科（理科）答案 一、选择题 ‎1、D 2、C 3、C．4、B．5、C．6、D．7、D 8、A 9、D 10、C 11、C 12、A 二、填空题 ‎13、　-1　．14、　±4/3　．15、　　．16、　　．‎ 三、解答题 ‎17、(本小题满分10分)解：若方程+=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，‎ 则满足，即，得m＞2，即p：m＞2，‎ 若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，则判别式△=16（m﹣2）2﹣16＜0，‎ 即（m﹣2）2＜1，得﹣1＜m﹣2＜1，即1＜m＜3，即q：1＜m＜3，‎ 若￢q为真，则q为假，同时若p或q为真，则p为真命题，‎ 即，得m≥3，即实数m的取值范围是[3，+∞）．‎ 18、 解：（1）=‎ ‎===．‎ ‎∵a，b，c∈（0，+∞），∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴（当且仅当时，等号成立）．‎ ‎（2）原不等式可化为ax2+（a﹣2）x﹣2≥0，化简为（x+1）（ax﹣2）≥0．‎ ‎∵a＜0，∴．‎ ‎1°当﹣2＜a＜0时，；‎ ‎2°当a=﹣2时，x=﹣1；‎ ‎3°当a＜﹣2时，．‎ 综上所述，当﹣2＜a＜0时，解集为；‎ 当a=﹣2时，解集为{x|x=﹣1}；‎ 当a＜﹣2时，解集为．‎ ‎19、(本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）若q=1时，210•30a1﹣（210+1）20a1+10a1=0．a1=0与已知矛盾，‎ ‎∴q≠1，则由210•S30﹣（210+1）S20+S10=0‎ 可得，即210⋅（S30﹣S20）=S20﹣S10，‎ ‎∴，∵q≠1，∴S20﹣S10≠0，‎ ‎∴210⋅q10=1，即，∴q=，‎ 又∵an＞0，∴q＞0且q≠1∴q=，∴．‎ ‎（Ⅱ）∵．∴，即，‎ ‎∴{nSn}的前n项和Tn=（1+2+…+n）﹣（）=﹣（），‎ ‎，‎ 两式相减得==，‎ ‎∴Tn=．‎ 18、 ‎(本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），所以=1，所以p=2．‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）证明：①当直线AB的斜率不存在时，‎ 设 A（，t），B（，﹣t），‎ 因为直线OA，OB的斜率之积为﹣，所以=﹣，化简得t2=32．‎ 所以A（8，t），B（8，﹣t），此时直线AB的方程为x=8．…（7分）‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+b，A（xA，yA），B（xB，yB），‎ 联立得化简得ky2﹣4y+4b=0．…（8分）‎ 根据根与系数的关系得yAyB=，‎ 因为直线OA，OB的斜率之积为﹣，‎ 所以•=﹣，‎ 即xAxB+2yAyB=0．‎ 即+2yAyB=0，‎ 解得yAyB=0（舍去）或yAyB=﹣32．‎ 所以yAyB==﹣32，即b=﹣8k，所以y=kx﹣8k，‎ 即y=k（x﹣8）．‎ 综上所述，直线AB过x轴上一定点（8，0）．…（12分）‎ ‎21、(本小题满分12分)如图1，在直角△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，AB=2，D，E分别为AC，BD中点，连接AE并延长交BC于点F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD如图2所示．‎ ‎（1）求证：AE⊥CD；‎ ‎（2）求平面AEF与平面ADC所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）证明：由条件可知AB=AD，E为BD的中点，‎ 所以AE⊥BD，‎ 又面ABD⊥面BDC，‎ 面ABD∩面BCD=BD，且AE⊂面ABD，‎ 所以AE⊥面BCD，‎ 又因为CD⊂平面BCD，‎ 所以AE⊥CD．‎ ‎（2）以E为坐标原点O，EF，ED，EA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 在直角三角形ABF中，可得BF=2tan30°=2，‎ 可得EF=2cos60°=1，‎ 可得E（0，0，0），A（0，0，3），D（0，，0），C（3，2，0），B（0，﹣，0），‎ 由BE⊥平面AEF，可得平面AEF的法向量为=（0，﹣，0），‎ ‎=（0，，﹣3），=（3，2，﹣3），‎ 设平面ADC的法向量为=（x，y，z），‎ 由，令y=，可取=（﹣1，，1），‎ 可得cos＜，＞===﹣，‎ 则平面AEF与平面ADC所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎22．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，‎ 两式相减，‎ 故a2=3b2…（2分）‎ 当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，‎ ‎∵，，则，解得，‎ 故点A（或C）的坐标为．‎ 代入椭圆方程，得…4分 a2=3，b2=1，‎ 所以方程为…（6分）‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）‎ 由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），‎ ‎…①‎ 同理可得…②…（8分）‎ 由①②得：…③‎ 将点A、B的坐标代入椭圆方程得，‎ 两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，‎ 于是3（y1+y2）kAB=﹣（x1+x2）…④‎ 同理可得：3（y3+y4）kCD=﹣（x3+x4），…（10分）‎ 于是3（y3+y4）kAB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴kAB=kCD）‎ 所以3λ（y3+y4）kAB=﹣λ（x3+x4）…⑤‎ 由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]kAB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]‎ 把③代入上式得3（1+λ）kAB=﹣2（1+λ），‎ 解得：，‎ 当λ变化时，kAB为定值，．…（12分）‎