高一数学（人教A版）必修4能力提升：2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 6页

能 力 提 升 一、选择题 1．(2013 内蒙古包头一中)已知 a、b 均为单位向量，它们的夹角 为 60°，那么|a＋3b|＝( ) A. 7 B. 10 C. 13 D．4 [答案] C [解析] 易知|a|＝1，|b|＝1，a·b＝1 2 ， ∴|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝13， ∴|a＋3b|＝ 13. 2．(2011～2012·广东佛山高三质检)已知向量 a＝(1,1)，2a＋b＝ (4,2)，则向量 a、b 的夹角为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 [答案] B [解析] 由于 2a＋b＝(4,2)， 则 b＝(4,2)－2a＝(2,0)， 则 a·b＝2，|a|＝ 2，|b|＝2. 设向量 a，b 的夹角为θ，则 cosθ＝ a·b |a||b| ＝ 2 2 . 又θ∈[0，π]，所以θ＝π 4. 3．(2011～2012·重庆南开中学)平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a ＝(2,0)，|b|＝1，则 a·b＝( ) A.1 2 B．1 C. 3 2 D. 3 [答案] B [解析] |a|＝2，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2×1×1 2 ＝1. 4．(2012·全国高考重庆卷)设 x、y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1， y)，c＝(2，－4)且 a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( ) A. 5 B. 10 C．2 5 D．10 [答案] B [解析] 由 a⊥c，得 2x－4＝0 则 x＝2，由 b∥c 得－4＝2y 则 y ＝－2， |a＋b|＝ 2＋12＋1－22＝ 10 [考点定位] 本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示、模 长公式，解决问题的关键在于根据 a⊥c，b∥c，得到 x，y 的值，只 要记住两个向量垂直、平行和向量的模的坐标形式的充要条件，就不 会出错，注意数字的运算。 5．已知向量 a＝( 3，1)，b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a·b ＝ 3，则 b 等于( ) A. 3 2 ，1 2 B. 1 2 ， 3 2 C. 1 4 ，3 3 4 D．(1,0) [答案] B [解析] 方法 1：令 b＝(x，y)(y≠0)，则 x2＋y2＝1， ① 3x＋y＝ 3， ② 将②代入①得 x2＋( 3－ 3x)2＝1，即 2x2－3x＋1＝0， ∴x＝1(舍去，此时 y＝0)或 x＝1 2 ⇒y＝ 3 2 . 方法 2：排除法，D 中 y＝0 不合题意；C 不是单位向量，舍去； 代入 A，不合题意，故选 B. 6．(2011～2012·河北省正定中学模拟)已知向量 a＝(2cosθ， 2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈ π 2 ，π ，则向量 a、b 的夹角为( ) A.3π 2 －θ B．θ－π 2 C.π 2 ＋θ D．θ [答案] A [解析] 解法一：由三角函数定义知 a 的起点在原点时，终点落在圆 x2 ＋y2＝4 位于第二象限的部分上 (∵π 2<θ<π)，设其终点为 P，则∠xOP＝θ， ∴a 与 b 的夹角为3π 2 －θ. 解法二：cos〈a，b〉＝ a·b |a|·|b| ＝－4sinθ 2×2 ＝－sinθ＝cos 3π 2 －θ ， ∵θ∈ π 2 ，π ，∴3π 2 －θ∈ π 2 ，π ， 又〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝3π 2 －θ. 二、填空题 7．设 a＝(1,2)，b＝(1，m)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 m 的取 值范围是________． [答案] －∞，－1 2 [解析] ∵a 与 b 的夹角为钝角，设为θ，则 cosθ<0 且 cosθ≠－1， ∴ 1＋2m<0， 1＋2m 5· 1＋m2 ≠－1， 解得 m<－1 2. 8．(2013·新课标理)已知两个单位向量 a、b 的夹角为 60°，c＝ta ＋(1－t)b，若 b·c＝0，则 t＝________. [答案] 2 [解析] ∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°， ∴a·b＝1 2 ，|b|2＝1， ∵b·c＝ta·b＋(1－t)b＝1 2t＋(1－t)＝1－1 2t＝0，∴t＝2. 9．(2011～2012·金华十校)△ABO 三顶点坐标为 A(1,0)、B(0,2)、 O(0,0)、P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP → ·OA → ≤0，BP → ·OB → ≥0，则 OB → ·AB → 的最小值为________． [答案] 3 [解析] ∵AP → ·OA → ＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0， ∴x≤1，∴－x≥－1， ∵BP → ·OB → ＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0， ∴y≥2. ∴OP → ·AB → ＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3. 三、解答题 10．已知平面向量 a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a ⊥c. (1)求 b 和 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m 与向量 n 的夹角的大小． [解析] (1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12. ∵a⊥c，∴3×4＋4y－0＝0.∴y＝－3. ∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)． (2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)， 设 m，n 的夹角为θ，则 cosθ＝ m·n |m||n| ＝ －3×7＋－4×1 －32＋－42× 72＋12 ＝－25 25 2 ＝－ 2 2 . ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝3π 4 ，即 m，n 的夹角为3π 4 . 11．已知向量 a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)． (1)试计算 a·b 及|a＋b|的值； (2)求向量 a 与 b 夹角的余弦值． [解析] (1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)， b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)， ∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1， |a＋b|＝ 4＋12＋3－12＝ 25＋4＝ 29. (2)由 a·b＝|a||b|cosθ， ∴cosθ＝ a·b |a||b| ＝ 1 2×5 ＝ 2 10. 12．已知 a＝(1,0)，b＝(0,1)，当 k 为整数时，向量 m＝ka＋b 与 n＝a＋kb 的夹角能否为 60°？证明你的结论． [解析] 假设 m、n 的夹角能为 60°， 则 cos60°＝ m·n |m||n| ， ∴m·n＝1 2|m||n|.① 又∵a＝(1,0)，b＝(0,1)， ∴|a|＝|b|＝1，且 a·b＝0. ∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，② |m||n|＝ k2a2＋2ka·b＋b2· a2＋2ka·b＋k2b2＝k2＋1.③ 由①②③，得 2k＝1 2(k2＋1)．∴k2－4k＋1＝0. ∵该方程无整数解． ∴m、n 的夹角不能为 60°.