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- 2021-06-10 发布
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1.若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )
A.y2=4x B.y2=6x
C.y2=8x D.y2=10x
【解析】由题意可知p>0,因为抛物线y2=2px,所以其准线方程为x=-,因为点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以|--2|=4,所以p=4,故抛物线方程为y2=8x。故选C。
9.已知点P(x0,y0)是抛物线y2=4x上的一个动点,Q是圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上的一个动点,则x0+|PQ|的最小值为( )
A.2-1 B.2
C.3 D.4
【答案】C
【解析】设抛物线y2=4x的焦点F(1,0),过点P(x0,y0)作准线l:x=-1的垂线,垂足为N,则x0+|PQ|=|PN|+|PQ|-1=|PF|+|PQ|-1≥|CF|-2=-2=5-2=3,当且仅当C,P,F三点共线且点Q在线段CF上时取等号,则x0+|PQ|的最小值是3,故选C.
10.已知抛物线y2=2px(p>0)过点A,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若=λ,则实数λ为( )
A. B.
C.3 D.2
【答案】D
11.已知直线l:y=kx+t与圆:x2+(y+1)2=1相切,且与抛物线C:x2=4y交于不同的两点M,N
,则实数t的取值范围是________________.
【答案】t>0或t<-3
【解析】因为直线l与圆相切,所以=1⇒k2=t2+2t.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x2-4kx-4t=0,
于是Δ=16k2+16t=16(t2+2t)+16t>0,
解得t>0或t<-3.
12.设抛物线C:y2=2x的焦点为F.若抛物线C上点P的横坐标为2,则|PF|=________.
【答案】
【解析】由题意知p=1,点P的横坐标xP=2,则由抛物线的定义,
得|PF|=xP+=2+=.
13.已知点P(2,1),若抛物线y2=4x的一条弦AB恰好是以P为中点,则弦AB所在直线方程是________.
【答案】2x-y-3=0
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2,且y=4x1,y=4x2,两式相减得2(y1-y2)=4(x1-x2),且x1≠x2,则直线AB的斜率kAB==2,又弦AB过点P,则所求直线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
14.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线y2-x2=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=__________.
【答案】2
15.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是________。
【解析】由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离即为点P到准线y=的距离,所以+2=3,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y。
【答案】x2=-4y
16.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点。若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为________。
【解析】设直线y=a与y轴交于M点,若抛物线y=x2上存在C点使得∠ACB=90°,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有除A,B外的交点即可,即使|AM|≤|MO|,所以≤a,所以a≥1或a≤0,因为由题意知a>0,所以a≥1。
【答案】[1,+∞)
17.已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是________。
【解析】抛物线焦点F(1,0),由题意05,故e>。
21.如图872所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点.
图872
(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;
(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.
(2)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消元得y2-4my-4=0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16(m2+1)>0.
|AB|=|y1-y2|
=·
=·
=4(m2+1).
所以4(m2+1)=20,解得m=±2,
所以直线l的方程是x=±2y+1,
即x±2y-1=0.
22.已知抛物线y2=2px(p>0),过点C(-2,0)的直线l交抛物线于A,B两点,坐标原点为O,·=12.
(1)求抛物线的方程;
(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程.
(2)由(1)知y2=4x,p=2,可知y1+y2=4m,y1y2=8.
设AB的中点为M,
则|AB|=2xM=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4.①
又|AB|=|y1-y2|=.②
由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2,
解得m2=3,m=±,
所以直线l的方程为
x+y+2=0或x-y+2=0.
23.抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.
(1)若=2 ,求直线AB的斜率;
(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.
【解析】(1)依题意知F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1.
将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x得
y2-4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-4.
因为=2 ,
所以y1=-2y2.
联立上述三式,消去y1,y2得m=±.
所以直线AB的斜率是±2.
(2)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,