高中数学：第一章《计数原理》测试（2）（新人教A版选修2-3） 8页

第一章 计数原理单元测试题 时间:120分钟,满分150分 本套题难度适中,主要考查学生的基本知识、基本方法、基本能力,如1—9题和13题都是这一部分的基本题目类型,对排列、组合和二项式定理的基本知识考查比较全面,且在考查基本知识的同时,也注重学生数学思想的考查,如10、12、18题考查了学生分类讨论的思想方法,11,14,17,21,22考查了学生转化与化归的思想方法,这些题目需要大家有较高的分析能力和运算能力,以及综合应用能力.‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）‎ A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 ‎2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有 A．36种 B．48种 C．96种 D．192种 ‎3. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）‎ A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种 ‎4. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（　　）‎ Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个 ‎5. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 A 40种 B 60种 C 100种 D 120种 ‎6. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( )‎ A.72　　　　 B.60　　　　 C.48　　　　 D.52‎ ‎7.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（　 ）个数.‎ A.6　　　 B‎.9　　‎ C.10　 　　D.8 ‎ ‎8.AB和CD为平面内两条相交直线，AB上有m个点，CD上有n个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.设,则 ‎ 的值为( )‎ A.0　　　　 B.-1　　　　 C.1　　　　　 D. ‎ ‎10. 2006年世界杯参赛球队共32支,现分成8个小组进行单循环赛,决出16强(各组的前2名小组出线),这16个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出8强,再决出4强,直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( )‎ A.64 B‎.72 C.60 D.56‎ ‎11.用二项式定理计算9.985，精确到1的近似值为( )‎ A.99000　 B‎.99002　　‎‎ ‎ C.99004　　　 D.99005 ‎ ‎12. 从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为 （ ）‎ A.120 B‎.240 ‎‎ C.360 D.72‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列 有　　种不同的方法（用数字作答）.‎ ‎14. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有　　　个（用数字作答）．‎ ‎15. 若(2x3+)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于 .‎ ‎16. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答）‎ 三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17．如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，分析因电阻断路的可能性共有多少种情况。‎ ‎ ‎ ‎18．从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：‎ ‎　　①能组成多少个没有重复数字的七位数？‎ ‎　　②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？‎ ‎　　③在①中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？‎ ‎　　④在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？‎ ‎19．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.‎ （1） ‎43251是这个数列的第几项？‎ （2） 这个数列的第96项是多少？‎ （3） 求这个数列的各项和.‎ ‎20.（本小题满分12分）求证：能被25整除。‎ ‎21. （本小题满分14分）已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含的项的二项式系数.‎ ‎22. （本小题满分14分）若某一等差数列的首项为,公差为展开式中的常数项,其中m是除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值.‎ 单元测试卷参考答案 排列、组合、二项式定理 一、选择题：（每题5分，共60分）‎ ‎1、D　解析：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D ‎2、C　解析．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有种，选C ‎3、解析：5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B ‎4、A　解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有个，选A ‎5、B解析：从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种，选B ‎ ‎6、B 解析:只考虑奇偶相间,则有种不同的排法,其中0在首位的有种不符合题意,所以共有种.‎ ‎7、C　　解析: 比12340小的分三类:第一类是千位比2小为0,有个; 第二类是千位为2 ,百位比3小为0,有个; 第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个,所以12340是第10个数.‎ ‎8、D　　解析:在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点.‎ ‎9、C 解析: 由可得:‎ 当时, ‎ 当时, ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎10、A 解析:先进行单循环赛,有场,在进行第一轮淘汰赛,16个队打8场,在决出4强,打4场,再分别举行2场决出胜负,两胜者打1场决出冠、亚军,两负者打1场决出三、四名,共举行:48+8+4+2+1+1=64场.‎ ‎11、C　　解析:‎ ‎.‎ ‎12、A 解析:先取出一双有种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双,而后从每双中各取一只,有种不同的取法,共有种不同的取法.‎ 二、 填空题(每小题4分，共16分）‎ ‎13、1260　　解析：　由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有 ‎14、24　解析：可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有个五位数；③‎ ‎ 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个 ‎15、7　解析：若(2x3+)n的展开式中含有常数项，为常数项，即=0，当n=7，r=6时成立，最小的正整数n等于7.‎ ‎16、36种　　解析．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有种 三、解答题（共六个小题，满分74分）‎ ‎17.解：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有22―1=3种；………………………4分 支线c中至少有一个电阻断路的情况有22―1=7种，…………………………………6分 每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，‎ 因此灯A不亮的情况共有3×3×7=63种情况.………………………………………10分 ‎18. 解：①分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有种情况；‎ 第二步在5个奇数中取4个，可有种情况；‎ 第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有种情况，‎ 所以符合题意的七位数有个．………3分 ‎ ‎　　 ②上述七位数中，三个偶数排在一起的有个．……6分 ‎③上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有 个．……………………………………………9分 ‎④上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有个.…………………………………12分 ‎19.解：⑴先考虑大于43251的数，分为以下三类 ‎ 第一类：以5打头的有： =24‎ ‎ 第二类：以45打头的有： =6‎ ‎ 第三类：以435打头的有： =2………………………………2分 故不大于43251的五位数有：（个）‎ 即43251是第88项.…………………………………………………………………4分 ‎ ‎⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项，‎ 即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，‎ 所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.…8分 ‎⑶因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）·A·10000……………………………………………………………10分 同理它们在千位、十位、个位上也都有A个五位数，所以这个数列各项和为：‎ ‎（1+2+3+4+5）·A·（1+10+100+1000+10000） ‎ ‎=15×24×11111=3999960……………………………………………………………12分 ‎20.证明:因 ………………3分 ‎……………………8分 ‎ ‎……………………………………10分 显然能被25整除,25n能被25整除,‎ 所以能被25整除.…………………………………………………12分 ‎21. 设的展开式的通项为 ‎.………………………………6分 若它为常数项,则,代入上式.‎ 即常数项是27，从而可得中n=7，…………………10分 同理由二项展开式的通项公式知，含的项是第4项，‎ 其二项式系数是35.…………………………………………………………14分 ‎22. 由已知得：,又,………………………………2分 所以首项.……………………………………………………………………4分 ‎,所以除以19的余数是5,即………6分 的展开式的通项 ‎,‎ 若它为常数项,则,代入上式.‎ 从而等差数列的通项公式是：，……………………………………10分 设其前k项之和最大，则，解得k=25或k=26，‎ 故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，.………………………………………14分 ‎